TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I Tổ Toán ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯƠNG BỒI DƯỜNG LẦN II NĂM HỌC 2012 -2013 Môn thi: Toán 11 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I (2,0 điểm) Tính giới hạn của hàm số sau : a) (1,0 điểm) x x x x 2 3 4 3 lim 3 → − + − b) (1,0 điểm) 3 2 2 0 3 1 2 1 lim 1 cos → − + + − x x x x Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình : sin 2 cos2 tan cot cos sin + = − x x x x x x Câu III ( 2 điểm) a, (1,0 điểm) Tính tổng 0 1 2 2 3 3 4 4 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2 2 2 2 2 = + + + + + + S C C C C C C . b, (1,0 điểm) Ban chấp hành đoàn trường có 18 học sinh trong đó khối 12 có 10 em, khối 11 có 5 em, khối 10 có 3 em. Cần chọn 8 em đi dự trai hè. Tính xắc suất để 8 em được chọn có cả 3 khối. Câu IV( 2 điểm) a, (1,0 điểm) Cho hàm số .siny x x= . Chứng minh rằng: 2( sin ) 0xy y x xy ′ ′′ − − + = . b, (1,0 điểm) Cho hàm số 3 1 ( )= − + − m y x mx m C (m là số thực) Tìm m để tiếp tuyến của ( ) m C tại điểm M có hoành độ x = -1 cắt đương tròn có phương trình ( ) ( ) 2 2 2 3 4− + − =x y theo một dây cung AB có độ dài bé nhất. Câu V( 3 điểm) : Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh bằng a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB. a) (1,0 điểm) Chứng minh tam giác SAD vuông. b) (1,0 điểm) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. c) (1,0 điểm) Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). … …HẾT……… … Xem đáp án tại http://thpt-thachthanh1-thanhhoa.violet.vn ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI KHẢO SÁT LẦN I KHỐI 11 (2012-2013) (gồm 3 trang) 1 Câu Nội dung Điểm I a) x x x x x x x x 2 3 3 4 3 ( 3)( 1) lim lim 3 3 → → − + − − = − − x x 3 lim( 1) 2 → = − = 1.0 Ta có 3 2 2 0 3 1 1 2 1 1 lim 1 cos 1 cos x x x L x x → − + + − ÷ = + − − ÷ 0.25 Xét 2 2 1 2 2 0 0 2 1 1 2 lim lim 2 1 cos 2sin 2 1 1 2 x x x x L x x x → → + − = = = − + + ÷ 0.25 Xét ( ) 3 2 2 2 2 0 0 3 2 2 2 3 3 1 1 3 lim lim 2 1 cos 2sin 3 1 3 1 1 2 x x x x L x x x x → → − + = = = − − − − + ÷ ÷ 0.25 Vậy 1 2 2 2 4L L L= + = + = 0.25 II Giải phương trình: sin 2 cos 2 tan cot cos sin x x x x x x + = − (1) (1) xsin xcos xcos xsin xcosxsin xsinx2sinxcosx2cos −= + ⇔ ( ) xcosxsin xcosxsin xcosxsin xx2cos 22 − = − ⇔ 0,25 ⇔ ≠ ⇔ = −Dk sin2x 0pt cosx cos2x ⇔ + − = 2 2cos x cosx 1 0 0,25 1 cosx (cosx 1 :loaïi vì sinx 0) 2 ⇔ = = − ≠ 0,25 π+ π ±=⇔ 2k 3 x 0,25 III a) ( ) 2013 0 1 2 2 3 3 4 4 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 1 2 2 2 2 2 2 + = + + + + + + C C C C C C Vậy 2013 3=S 1.0 b) Số cách chọn 8 học sinh tùy ý là : 8 18 43758=C . 0.25 Những trường hợp không có đủ học sinh cả 3 khối là: + Không có hs khối 12: ó 8 8 C cách + Không có HS khối 11 : có 8 13 C cách. + Không có HS khối 10 : có 8 15 C cách. 0.25 Mặt khác trong các cách chọn không có HS khối 11, không có HS khối 10 thì có 8 10 C cách chọn 8 HS khối 12 được tính hai lần. Vậy số cách chọn 8 HS có đủ cả ba khối là: 8 8 8 8 8 10 18 13 15 8 36080+ − − − =C C C C C cách. 0.25 Xắc suất 36080 0.82 43758 = ≈P 0.25 2 IV a) ' " sin cos cos cos sin 2cos sin = + = + − = − y x x x y x x x x x x x 0.5 Thay vào 2( sin ) 0xy y x xy ′ ′′ − − + = ta được : 2 2 sin 2(sin cos sin ) (2cos sin ) 0 sin 2 cos 2 cos sin 0 0 0 − + − + − = ⇔ − + − = ⇔ = xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 0.5 b) 3 1= − + − ⇒y x mx m ' ( 1) 3− = −y m Phương trình tiếp tuyến của (d) tại diểm M(-1;2m-2) là: ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 1 0= − + + − ⇔ − − + + =y m x m m x y m Đương tròn ( ) ( ) 2 2 2 3 4− + − =x y có tâm I(2;3) , bán kính R = 2 0,25 0.25 Để (d) cắt ( ) m C thì khoảng cách d(I,(d)) < 2 Gọi H là trung điểm của AB Ta có 2 2 2 2= = −AB HB R IH do đó AB ngắn nhất Khi IH lớn nhất 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2. 3 1 4 ( ,( )) 2 3 1 3 1 3 1 − + − + − = = = ≤ = < − + − + − + m m m IH d I d R m m m (áp dụng BĐT Bunhiacopxki) Vậy (d) luôn cắt ( ) m C tại hai điểm phân biệt A, B. AB ngắn nhất 2= khi m = 2 0.25 V a),Chứng minh tam giác SAD vuông. SAB ABCD SAB ABCD AB SI AB SI ABCD( ) ( ),( ) ( ) , ( )⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ 0.5 AD AB AD SI ⊥ ⊥ AD SAB AD SA SAD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ vuông tại A 0,5 3 B I A H b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. *) ⇒BC AD BC SAD/ / / /( ) *) Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD, BC ⇒ = = MN BQ AD MN BQ AD , / / 1 2 ⇒ MNQB là hình bình hành ⇒ NQ MB/ / 0.5 AD SAB AD MB( )⊥ ⇒ ⊥ mà AD //BC, MB// NQ nên BC NQ⊥ AD MB⊥ , MB SA MB SAD MB SD NQ SD( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Vậy NQ là đoạn vuông góc chung của BC và SD Tam giác SAB đều cạnh a (gt) nên MB = 3 2 a a d BC SD NQ 3 ( , ) 2 ⇒ = = 0.5 c)Gọi F là trung điểm của AD. Chứng minh (SID) ⊥ (SFC). Tam giác SAB đều cạnh a nên 3 2 a SI = ∆ = ∆ ⇒ ∠ = ∠ 1 1 ( )AID DFC cgc D C , ∠ + ∠ = ⇒ ∠ + ∠ = ⇒ ⊥ 0 0 1 1 1 1 90 90C F D F ID CF mặt khác CF SI CF SIK SID SFC( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 1.0 …… HẾT…… 4 . − = 2 2cos x cosx 1 0 0 ,25 1 cosx (cosx 1 :loaïi vì sinx 0) 2 ⇔ = = − ≠ 0 ,25 π+ π ±=⇔ 2k 3 x 0 ,25 III a) ( ) 20 13 0 1 2 2 3 3 4 4 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 1 2 2 2 2 2 2 +. ) 3 2 2 2 2 0 0 3 2 2 2 3 3 1 1 3 lim lim 2 1 cos 2sin 3 1 3 1 1 2 x x x x L x x x x → → − + = = = − − − − + ÷ ÷ 0 .25 Vậy 1 2 2 2 4L L L= + = + = 0 .25 II Giải phương trình: sin 2. 2 3 3 4 4 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 20 13 2 2 2 2 2 = + + + + + + S C C C C C C . b, (1,0 điểm) Ban chấp hành đoàn trường có 18 học sinh trong đó khối 12 có 10 em, khối 11 có 5 em, khối