cơ sở toán học của giải thuật di truyền

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA GIẢI THUẬT DI TRUYỀN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA GIẢI THUẬT DI TRUYỀN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ MẠNH XUÂN THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Tổng quan về giải thuật di truyền 3 1.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các vấn đề cơ bản của giải thuật di truyền . . . . . . . . 8 1.2.1 Mã hoá - mô tả di t ruyền cho lời giải của bài toán 8 1.2.2 Tạo l ập lời giải ban đầu (khởi tạ o quần thể) . . . 9 1.2.3 Xây dựng hàm phù hợp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Các toán tử di truyền . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Giải thuật di truyền kinh điển . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Mã hoá - Biểu diễn các biến bằng véc tơ nhị phân 11 1.3.2 Toán tử chọn lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Toán tử lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.4 Toán tử đột biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.5 Hàm phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.6 Giải thuật di truyền cổ điển . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA) . . . . . . 20 1.4.1 Giới thiệu RCGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Các toán tử của RCGA . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 Một số mô hình tiến hóa. . . . . . . . . . . . . . 23 2 Cơ sở toán học của giải thuật di truyền 26 2.1 Định lý sơ đồ của Holland. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Một số khá i niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2 Mô hình Markov của giải thuật di truyền . . . . . . . . . 31 2.2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Xích Markov trong G A . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Một số vấn đề khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Dạng biểu diễn ma trận của toán tử lai ghép trong RCGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Điều kiện thà nh công của toán tử lai ghép . . . . 44 2.3.3 Toán tử lai ghép SBX . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Ngày nay sự phát triển mạnh như vũ bão của máy tính điện tử đã làm thay đổi sâu sắc đến nhiều l ĩnh vực của cuộc sống, với tốc độ tính toán nhanh và chính xác, nhiều bài toán tính toá n phức tạp trước đây đã được giải quyết trọn vẹn. Hơn thế nữa, nhiều kỹ thuật tính toán dựa trên sự mô phỏng hoạt động tự nhiên hay bắt chước suy nghĩ của con người đã rất phát triển và tạo ra nhiều công cụ tính toán mới có hiệu năng cao. Gi ải thuật di truyền (GA – Genetic Algorithm) là một tr ong những công cụ chính trong hệ thống tính toán mềm hay còn gọi là trí tuệ tính t oán. GA được đề xuất từ khoảng những năm 70 của thế kỷ trước dựa trên sự mô phỏng quá trình tiến hoá tự nhiên. GA chủ yếu giải quyết vấn đề tìm nghiệm trong lớp các bài toán tối ưu có độ phức tạp tính toán lớn. GA tìm kiếm lời giải của bài toán dựa trên một quần thể được hiểu như một tập những lời giải và tiến hoá quần thể đó dựa trên các toán tử di truyền như chọn lọc, lai ghép, đột biến. Sau khi được giới thiệu, GA đã được các nhà toán học và ti n học nghiên cứu và phát triển rất nhanh, nhiều dạng bi ến thể cũng như vấn đề cải ti ến các toán tử được đề xuất và kết quả thử nghi ệm cho thấy tính hiệu quả rõ rệt của giải thuật này. Tuy vậy, GA là một giải thuật xác suất, hầu hết nó chỉ đưa ra những lời giải chấp nhận được trong thời g ian ngắn mà chưa chắc đã đạt được lời giải tối ưu. Kết quả của quá trình tiến hoá để chọn lời giải t ốt nhất phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên: quần thể khởi tạo ngẫu nhiên, chọn cá thể để tiến hoá ngẫu nhiên, việc sinh ra cá thể mới cũng là ngẫu nhiên, . . . Vì vậy việc nghiên cứu cơ sở t oán học của giải thuật để đảm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 bảo chắc chắn sẽ đạt được lời giải tối ưu toàn cục của bài toán l à việc làm rất khó khăn mặc dù điều này hợp với quy luật tự nhiên và thử nghiệm đều cho kết quả tốt. Cho tới nay người ta mới chỉ đạt được một số kết quả sơ bộ về sự hội tụ của giải thuật chủ yếu dựa trên định lý sơ đồ của Ho llan và dựa trên mô hình Markov. Đề tài này nhằm tập trung nghiên cứu cơ sở toán học của GA, tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống một số kết quả nghiên cứu về mô hình toán học của GA cũng như đánh gi á sự hội tụ của giải thuật. Do điều kiện nghiên cứu cũng như khả năng lập trình còn hạn chế nên chưa đặt ra việc thử nghiệm trên những bài to án cụ thể. Đề tài gồm những nội dung chính sau: Chương 1 trình bày những vấn đề tổng quan về giải thuật di truyền, nguyên lý chung, giải t huật di truyền kinh điển dựa trên mã hoá nhị phân và giải thuật di truyền mã hoá số thực. Mô tả tường minh giải thuật cũng như một số dạng toán tử di truyền tiêu biểu. Chương 2 trình bày những vấn đề nghiên cứu về cơ sở toán của giải thuật bao gồm định lý sơ đồ của Hollan, mô hình Markov của giải thuật và một số phân tí ch t oán học của các to án t ử. Như đã nêu trên, do GA là thuật toán xác suất chứ không tiền định nên việc phân tích mô hình toán học của nó là cực kỳ khó khăn. Luận văn này chỉ đặt ra mục tiêu là tìm hiểu và tr ình bày lại một cách hệ thống những nội dung cơ bản như đã nêu. Dù rất cố gắng song do còn nhiều hạn chế về thờ i gian, kiến thức,. . . nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong được sự góp ý của các thầy cô cùng các bạn học viên để hoàn thiện hơn nữa hoặc có thể thác triển tiếp đề tài này. Trong suốt quá trình làm đề tài em nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều các thầy cô giáo của Đại học Thái Nguyên và các bạn học vi ên lớp CHTK2, đặc biệt là sự hướng dẫn rấ t tận tình của thầy g iáo TS.Vũ Mạnh Xuân. Em xin chân thành cảm ơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Tổng quan về giải thuật di truyền 1.1 Khái quát chung Giải thuật di truyền (Gennetic algorithims - GA) là k ỹ thuật chung giúp giải quyết vấn đề - bài toán bằng cách mô phỏng sự tiến hoá của con người hay của sinh vật nói chung trong điều kiện quy định sẵn của môi trường. Giải thuật di truyền cũng như các thuật toán tiến hoá nói chung hình thành dựa trên quan niệm cho rằng, quá trình tiến hoá tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lý nhất và tự nó đã mang tính tối ưu. Quan niệm này có thể được xem như một tiên đề đúng không chứng minh được nhưng phù hợp với thực tế khách quan. Quá trình tiến hoá thể hiện tính tối ưu ở chỗ, thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước. Tiến hoá tự nhiên được duy trì nhờ 2 quá trình cơ bản: sinh sản và chọn lọc tự nhiên. Xuyên suốt quá trình tiến hoá tự nhiên các thế hệ mới luôn được sinh ra để bổ sung, thay thế t hế hệ cũ. Cá thể nào không thích ứng được với môi trường sẽ bị đào thải. Sự thay đổi môi trường cũng là động lực thúc đẩy quá trình tiến ho á. Ngược lại, tiến hoá cũng tác động trở lại góp phần làm thay đổi môi trường. Các cá thể mới sinh ra trong quá trình ti ến hoá nhờ sự lai ghép thế hệ cha mẹ. Một cá thể mới có thể mang những tính t rạng của cha mẹ (di Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 truyền), cũng có thể mang những tính trạng hoàn toàn khác (đột biến). Di truyền và đột biến là 2 cơ chế có vai trò quan trọng như nhau trong quá trình tiến hoá. Dù rằng đột biến xảy ra xác suấ t nhỏ hơn nhiều so với hiện tượng di truyền. Giải thuật di t ruyền sử dụng các thuật ngữ vay mượn của di truyền học. Ta có thể nói về các cá thể ( hay kiểu gen, cấu trúc) trong mộ t quần thể, các cá thể này cũng còn được gọi là các chuỗi hay các Nhiễm sắc thể (NST). Trong GA, ta chỉ nói về những cá thể có 1 NST; các NST được tạo thành từ các đơn vị - các gen - biểu diễn trong một chuỗi tuyến tính, mỗi gen kiểm soát một (số) đặc trưng. Gen với những đặc trưng nhất định có vị trí nhất định trong NST. Bất cứ đặc trưng nào của mỗi cá thể có t hể tự biểu hiện một cách phân biệt, và gen có thể nhận mộ t số giá trị khác nhau (các giá trị về tính năng). Một vấn đề - bà i toán đặt ra sẽ được mã hoá thành các chuỗi bit với chiều dài cố định. Nói một cách chính xác là các thông số của bài toán sẽ được chuyển đổi và biểu hiện lại dưới dạng các chuỗi bit. Các thông số này có thể là các biến của một hàm hoặc hệ số của một biểu thức toán học. Người ta gọi các chuỗi bit này là mã genome (gen) ứng với mỗi cá thể, các gen đều có cùng chiều dài. Nói ngắn gọn, m ột lời giải sẽ được biểu diễn bằng một chuỗi bit cũng giống như mỗi cá thể đều được quy định bằng gen của cá thể đó vậy. Đối với thuật giải di truyền một cá thể chỉ có 1 gen duy nhất và 1 gen cũng chỉ phục v ụ cho m ột cá thể duy nhất. Mỗi kiểu (nhóm) gen (ta gọi là 1N ST) sẽ biểu diễn m ột lời giải của bài toán đang giải (ý nghĩa của 1 NST cụ thể được người sử dụng xá c định trước), một tiến trình tiến hoá được thực hiện trên 1 quần thể các NST tương ứng với một quá trình tì m kiếm lời giải trong không gia n lời giải. Tìm kiếm đó cần cân đối hai mục tiêu (có vẻ mâu thuẫn nhau). Khai thác những lời giải tốt nhất và khảo sát không gian tìm kiếm. GA là phương pháp tìm kiếm (độc lập miền) tạo được sự cân đối đáng kể giữa việc khai thác và khảo sát không gian tìm kiếm . Thực ra, GA thuộc lớp các giải thuật xác suất, nhưng l ại rất khác Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 những giải thuật ngẫu nhiên vì chúng kết hợp các phần tử tìm kiếm trực tiếp và ngẫu nhiên. Khác biệt quan trọng giữa tìm kiếm của GA và các phương pháp tìm kiếm khác là GA duy trì và xử lý một tập các lời giải (ta gọi là một quần thể) - tất cả những phương pháp khác phần l ớn xử lý m ột đi ểm tro ng không gian tìm kiếm. Chính v ì vậy, GA mạnh hơn các phương pháp tìm kiếm hiện có rất nhiều. GA thực hiện tiến trình tìm kiếm lờ i giải tối ưu theo nhiều hướng bằng cách duy tr ì một quần thể các lời gi ải và thúc đẩy sự thành hì nh và trao đổi thông tin giữa các hướng này. Quần thể trải qua tiến trình tiến hoá, ở mỗi t hế hệ l ại tái sinh các lời giải tương đối "tốt"; trong k hi các lời giải tương đối "xấu" thì chết đi. Để phân biệt các lời giải khác nhau; hàm mục tiêu được dùng để đóng vai t rò môi trường. Các thuật to án, tuy có những điểm khác biệt, nhưng đều mô phỏng các quá t rình cơ bản: lai ghép, đột bi ến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên. * Quá trình lai ghép (Crossover): Phép lai là quá trình hình thành nhiễm sắc thể mới trên cơ sở nhiễm sắc thể cha - mẹ, bằng cách ghép một hay nhiều đoạn gen, hai (hay nhiều) nhiễm sắc thể cha - mẹ với nhau. Phép lai xảy ra xác suất P c có thể mô phỏng như sau: • Chọn ngẫu nhiên hai (hay nhiều) cá thể bất kỳ trong quầ n thể. Giả sử các nhiễm sắc thể của cha - mẹ đều có m gen. • Tạo một số ngẫu nhiên trong khoảng từ 1 đến m − 1 (ta gọi là điểm lai). Điểm lai chứa các chuỗi cha - mẹ dài m thành hai nhóm chuỗi con dài m 1 và m 2 . Hai chuỗi nhiễm sắc thể con mới sẽ là m 11 + m 22 và m 21 + m 12 . • Đưa hai cá thể mới này vào quần thể để tham gia các quá trình tiến hoá tiếp theo . * Quá trình đột biến (Muta tion) Đột biến là hiện tượng cá thể con mang một (số) tính trạ ng không có trong mã di t ruyền của cha - mẹ. Phép đột biến xảy ra với xác suấ t P m , nhỏ hơn rất nhiều so với xác suất lai P c . Phép đột biến có thể mô phỏng như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 • Chọn ng ẫu nhiên một cá thể bất kỳ cha - mẹ trong quần thể. • Tạo một số ngẫu nhiên k trong khoảng từ 1 đến m, 1 ≤ k ≤ m. • Thay đổi gen t hứ k và trả cá thể này về quần thể để tham gia quá trình tiến hoá tiếp theo. * Quá trình sinh sản và chọn lọc (Selection) Phép tái sinh là quá trình trong đó, các cá thể được sao chép trên cơ sở độ thí ch nghi của nó. Độ thích nghi là một hàm gán một giá trị thực cho các cá thể trong quần thể. Quá trình này có thể được mô phỏng như sau: • Tính độ thích nghi của từng cá thể trong quần thể hiện hành, lập bảng cộng dồn các giá trị thích nghi (theo số thứ tự gán cho từng cá thể). Giả sử quần thể có n cá thể. Gọi độ thích nghi của cá thể thứ i là F i , tổ ng dồn thứ i là F ti , tổ ng độ thích nghi của t oàn quần thể là F m . • Tạo một số ngẫu nhiên F trong đoạn từ 0 đến F m . • Chọn cá thể thứ k đầu tiên thoả mãn F ≥ F tk đưa vào quần thể của thế hệ mới. Phép chọn là quá trình lo ại bỏ các cá thể xấu trong quần thể để chỉ giữ lại trong quần thể các cá thể tốt. Phép chọn có thể được mô phỏng như sau: • Sắp xếp quần thể theo thứ tự độ thích nghi giảm dần. • Loại bỏ các cá thể cuối dãy để chỉ giữ lại n cá thể tốt nhất. (Ta giả sử quần thể có kích thước cố định n). Một g iải thuật di truyền, gi ải một bài t oán được cho phải có 5 thành phần sau: + Một cấu trúc dữ liệu I biểu diễn không gian lời giải của bà i toán. + Phương phá p khởi tạo quần thể ban đầu P (0). + Hàm đị nh ng hĩa độ t hích nghi eval (.) đóng vai trò môi trường. + Các phép toán di truyền như đã mô phỏ ng trên. + Và cá c tham số g iải thuật di tr yền sử dụng ( kích thước quần thể, xác suất lai, đột biến, ). * Cấu trúc giải thuật di truyền tổng quát. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... giải thuật di truyền 1.2.1 Mã hoá - mô tả di truyền cho lời giải của bài toán Việc mô tả di truyền cho lời giải cho bài toán gồm hai phần cơ bản: Xây dựng cấu trúc gen cho mỗi lời giải của bài toán để từ mỗi lời giải ta có thể mã hoá thành một NST (chuỗi các gen) Giải mã các NST để nhận được lời giải Đây là vấn đề cần giải quyết trước khi giải bài toán với GA Tuỳ thuộc vào nội dung của mỗi bài toán mà... dụng vì nó vừa có tính tinh hoa, vừa đảm bảo tính đa dạng của quần thể Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chương 2 Cơ sở toán học của giải thuật di truyền Không như các phương pháp tối ưu đơn định thông thường, với các phương pháp tối ưu xác suất rất khó để hình thức hoá vì rằng tác động của thuật toán là không đơn định trong tự nhiên Các phương pháp này... http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 1.3 Giải thuật di truyền kinh điển Giải thuật di truyền kinh điển sử dụng mã hóa nhị phân, mỗi cá thể được mã hóa là một chuỗi nhị phân có chiều dài cố định 1.3.1 Mã hoá - Biểu di n các biến bằng véc tơ nhị phân Ta sử dụng véc tơ nhị phân có độ dài L như một NST để biểu di n giá trị thực của biến x ∈ [lx , ux ] Độ dài L của NST phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán Một bit mã hoá... END; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 1.4 1.4.1 Giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA) Giới thiệu RCGA Trong phần này ta quan tâm tới giải thuật di truyền mã hóa số thực (RCGA- Real-Coded Genetic Algorithm) để giải các bài toán tối ưu giá trị thực trong không gian Rn và không có các ràng buộc đặc biệt Một cách tổng quát, bài toán tối ưu số thực có thể... miền xác định của lời giải để tạo ra chuỗi NST ban đầu Với mã hoá số thực: tạo ngẫu nhiên N véc tơ thực trong Rm 1.2.3 Xây dựng hàm phù hợp Hàm phù hợp đánh giá khả năng phù hợp của tập lời giải theo yêu cầu bài toán Hàm này được xây dựng cho từng bài toán với yêu cầu cụ thể Thông thường trong các bài toán tối ưu hàm này chính là hàm mục tiêu của bài toán 1.2.4 Các toán tử di truyền a Toán tử chọn... thể cho các thông tin về kỳ vọng hoặc tác động trung bình của giải thuật Trong giải thuật di truyền còn có một số khó khăn hơn trong việc đánh giá sự hội tụ vì: - Chỉ một sự chuyển tiếp đơn giản từ một lần tạo sinh đến thế hệ kế tiếp đã thường sử dụng tới ba toán tử xác suất, hơn nữa cấu trúc bên trong giải thuật di truyền khá phức tạp - Mỗi toán tử xác suất sử dụng trong GA đều rất phức tạp, có nhiều... chúng lại ít phù hợp hơn: S3 = (1 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 1) 2.2 Mô hình Markov của giải thuật di truyền Trong giải thuật di truyền, mỗi quần thể được tạo sinh có đặc trưng là chỉ phụ thuộc theo xác suất vào quần thể trước đó, do vậy GA có thể được mô hình hóa bởi một xích Markov Các tính chất của quần thể hữu hạn, chẳng hạn như xu hướng di truyền có thể được khảo sát cẩn thận sử dụng xích Markov hữu hạn Không... tự nhiên và thuận tiện trong việc thực hiện các toán tử tiến hóa Sau đây ta sẽ xem xét cụ thể hơn các toán tử này trong giải thuật di truyền mã hoá số thực 1.4.2 Các toán tử của RCGA 1.4.2.1 Toán tử chọn lọc Ta thấy toán tử chọn lọc đã trình bày trong GA kinh điển không cần một đòi hỏi đặc biệt nào về việc mã hoá cá thể, vì vậy trong GA mã hoá số thực, toán tử chọn lọc vẫn được áp dụng như đối với GA... thuật toán di truyền Bắt đầu: t=0 Khởi tạo P (t) Tính độ thích nghi cho các cá thể thuộc P (t) Khi (điều kiện dừng chưa thoả) lặp t = t + 1; Tái sinh P (t) từ P (t − 1); Lai Q(t) từ P (t − 1); Đột biến R(t) từ P (t − 1); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Chọn lọc P (t) từ P (t − 1) ∪ Q(t) ∪ R(t) ∪ P (t); Hết lặp Kết thúc 1.2 Các vấn đề cơ bản của giải thuật. .. toán tử ảnh hưởng đến cơ sở của sự hội tụ Trong chương này tôi trình bày một định lý quan trọng là định lý sơ đồ của Holland đưa ra năm 1975 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 2.1 2.1.1 Định lý sơ đồ của Holland Một số khái niệm - Một chuỗi H = (h1 , , hn) trên bảng chữ cái {0, 1,∗ } gọi là một sơ đồ (nhị phân) độ dài n Ký hiệu ∗ được gọi là ký tự đại di n . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA GIẢI THUẬT DI TRUYỀN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái. http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA GIẢI THUẬT DI TRUYỀN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS về giải thuật di truyền, nguyên lý chung, giải t huật di truyền kinh điển dựa trên mã hoá nhị phân và giải thuật di truyền mã hoá số thực. Mô tả tường minh giải thuật cũng như một số dạng toán