Bài toán nguyên hàm có nhiều cách giải

Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  1 BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢI Bài toán: Tính 1 sin . 1 cos x x I e dx x     Bài giải: Cách 1: (tách, dùng nguyên hàm từng phần) Ta có 1 sin . . 1 cos 1 cos x x x I e dx e dx x x       (1) Xét sin . 1 cos x x J e dx x    . Đặt   2 2 2 sin cos cos sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x dx u du dx x x x          x x dv e dx v e   . sin . 1 cos 1 cos x x x e J e dx x x       (2). Từ (1) và (2) ta có: sin . 1 cos x x I e C x    . Cách 2: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có       1 sin 1 cos 1 sin . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I e dx e dx x x x           www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  2 2 1 cos sin sin cos . 1 cos x x x x x e dx x       2 1 cos . 1 cos x x e dx x     2 sin sin cos . 1 cos x x x x e dx x     2 1 cos . sin x x e dx x    1 cos . sin x x e dx x    (1) Xét 2 2 2 2 1 cos sin cos cos . . sin sin x x x x x x J e dx e dx x x              ' ' 2 1 cos sin sin 1 cos . sin x x x x x e dx x      ' 1 cos 1 cos . sin sin x x x x e dx e d x x                               1 cos 1 cos sin sin x x x x e e dx x x                              (2) Từ (1) và (2) ta có: 1 cos . sin x x I e C x    . Cách 3: (phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có       1 sin 1 cos 1 sin . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I e dx e dx x x x           www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  3 2 1 sin sin cos . 1 cos x cox x x x e dx x       2 2 1 1 cos . . . . sin sin sin sin x x x x cox x e dx e dx e dx e dx x x x x         Ñaët 1 2 1 . sin x I e dx x   ; 2 2 . sin x cox I e dx x   ; 3 1 . sin x I e dx x   ; 4 cos . sin x x I e dx x   . Ta coù:   1 2 1 . cot cot cot . sin x x x x I e dx e d x e x x e dx x          4 cos cot . cot sin x x x x e x e dx e x I x        . 1 4 cot x I I e x    .   3 1 1 1 . sin sin sin sin x x x x e I e dx d e e d x x x x                    2 2 .cos sin sin sin x x x e e x e dx I x x x      . 3 2 sin x e I I x    . www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  4 Vậy ta có:     1 2 3 4 1 4 3 2 I I I I I I I I I        1 cos cot . sin sin x x x e x e x e x x      Suy ra 1 cos . sin x x I e C x    . * Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng!          2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos . . . sin sin 1 cos sin 1 cos x x x x x x x e e e x x x x x           2 sin sin . . 1 cos sin 1 cos x x x x e e x x x     Cách 4: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có 2 2 2 2 tan 2 1 1 tan 1 sin 2 . . 1 cos 1 tan 2 1 1 tan 2 x x x x x I e dx e dx x x x            2 tan 2 tan 1 2 2 . 2 x x x e dx     2 1 tan 1 tan . 2 2 2 x x x x e dx e dx                  www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  5   tan tan 2 2 x x x x e d d e                     . tan tan tan 2 2 2 x x x x x x e d e d e     . Suy ra . tan 2 x x I e C  . Cách 5: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có : 1 sin 1 sin . . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I e dx e dx e dx x x x           (1) Xét nguyên hàm   2 1 1 cos . . 1 cos 1 cos x x x J e dx e dx x x          2 2 2 sin cos cos . 1 cos x x x x e dx x          2 cos cos 1 sin .sin . 1 cos x x x x x e dx x              ' ' 2 sin cos 1 cos 1 . sin . 1 cos x x x x x e dx x       www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  6 ' sin sin 1 cos 1 cos x x x x e dx e d x x                               sin sin . . 1 cos 1 cos x x x x e e dx x x      (2) Từ (1) và (2) ta được : sin . 1 cos x x I e C x    . Cách 6: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có 1 sin . . 1 cos 1 cos x x x I e dx e dx x x       (1) Xét 2 1 . tan 1 cos 2 2 cos 2 x x x e x J e dx dx e d x x                    sin 2 . tan tan . . tan . 2 2 2 cos 2 x x x x x x x x e e dx e e dx x       2 2 sin . cos 2 2 . tan tan . .tan . 2 2 2 2 cos 2 x x x x x x x x x e e dx e e dx x       sin . tan tan . . tan . 2 2 2 1 cos x x x x x x x x e e dx e e dx x        (2) www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  7 Từ (1) và (2) ta có: . tan 2 x x I e C  . * Chú ý: Kết quả ở cách 4 và cách trước đều đúng! 2 sin 2 sin .cos sin 2 2 2 . tan . . . 2 1 cos cos 2 cos 2 2 x x x x x x x x x e e e e x x x     . Cách 7: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có 1 sin . . 1 cos 1 cos x x x I e dx e dx x x       2 2 2 sin . cos 2 2 . 2 cos 2 cos 2 2 x x x x e dx e dx x x       tan tan 2 2 x x x x e d d e                 tan tan . . tan 2 2 2 x x x x x x e d e e d                              Suy ra: . tan 2 x x I e C  . Cách 8: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  8 Ta có 2 2 2 sin 2 sin cos cos 1 sin 2 2 2 2 . . 1 cos 2 cos 2 x x x x x x x I e dx e dx x x         2 2 2 sin cos 2 2 1 . tan 1 . 2 2 2 cos 2 x x x x x e dx e dx x                              2 1 1 tan 1 . 2 tan . 2 2 2 2 x x x x e dx e dx                  2 1 1 . tan . 2 2 cos 2 x x x e dx e dx x       tan tan 2 2 x x x x e d d e                 tan tan . . tan 2 2 2 x x x x x x e d e e d                              Suy ra: . tan 2 x x I e C  . Cách 9: (dùng nguyên hàm từng phần hai lần) Đặt   2 2 2 1 sin cos cos sin sin 1 cos 1 cos x x x x x u du dx x x          www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr ầ n Tu ấ n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com  9   2 1 cos sin 1 cos x x dx x     . x x dv e dx v e   . Ta có   2 1 sin 1 cos sin . . 1 cos 1 cos x x x x x I e e dx x x             2 2 1 sin 1 cos sin . . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x x e e dx e dx x x x             2 1 sin sin . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x e dx x e e dx x x x          (1) Xét   2 sin . 1 cos x x J e dx x    . Đặt x x u e du e dx   ;       2 2 1 cos sin 1 1 cos 1 cos 1 cos d x x dv dx v x x x          . 1 cos 1 cos x x e e J dx x x       (2). Từ (1) và (2) ta có: sin . 1 cos x x I e C x    . www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com Tr n Tu n Anh - Mail: TranTuanAnh858@gmail.com 10 Caựch 10: (phửụng phaựp heọ soỏ baỏt ủũnh) Ta xaực ủũnh heọ soỏ a, b, c sao cho: ' cos sin 1 sin . 1 cos 1 cos x x a x b x c x e e x x (1) Ta coự: ' cos sin . 1 cos x a x b x c e x 2 sin cos 1 cos sin cos sin 1 cos x a x b x x x a x b x c e x cos sin . 1 cos x a x b x c e x 2 2 sin sin cos cos cos 1 cos x a x a x x b x b x e x 2 2 sin cos sin sin 1 cos x a x x b x c x e x 2 ( ).cos ( ) sin . ( ) cos 1 cos x a b c x b c x b c a b x e x 2 2 cos 1 cos x a x e x . www.MATHVN.com - Toỏn hc Vit Nam www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... (2) Từ (1) và (2) ta có:     I  J  2 e xd tan x          2       I  J  2e x tan x  2  e x d tan x         2 2    Suy ra I  e x tan x C 2 Cách 12: (dùng nguyên hàm phụ) Ta có I  1  sin x x e dx 1  cos x www.DeThiThuDaiHoc.com 12 Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Xét nguyên hàm phụ Ta có: I  J  2  2e x... 1  cos x Cách 11: (dùng nguyên hàm phụ) Ta có I  (sin  1  sin x x e dx   1  cos x sin2 x x x x  cos2  2 sin cos 2 2 2 2 e x dx x 2 cos2 2 x x x   cos )2 cos2 (  ) 2 2 e xdx  2 4 e xdx  x x 2 cos2 cos2 2 2 x  sin2 (  ) 2 4 e x dx Xét nguyên hàm phụ J   x cos2 2 www.DeThiThuDaiHoc.com 11 Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Ta có: I J ... 2 e x d tan      2  2 x cos 2 1 e x dx   1  cos x x x cos 2 2 e x dx x 2 cos2 2 2 sin (2) Từ (1) và (2) ta có:   I  J  2e x tan x  2  e x tan x dx   2 2   I  J  2  tan x e x dx   2  Suy ra I  e x tan x C 2 Cách 13: (dùng tính chất của nguyên hàm) Ta có 1  sin x x 1 sin x e  e x  e x 1  cos x 1  cos x 1  cos x www.DeThiThuDaiHoc.com 13 Trần Tuấn Anh-Mail: TranTuanAnh858@gmail.com...  1  cos x  1  cos x  Nên ta có: '  ' 1  sin x x x  sin x   e x '  sin x    sin x e x         e  e       1  cos x  1  cos x  1  cos x      1  cos x     Vậy  sin x ' 1  sin x x x I  e dx    e  dx  1  cos x   1  cos x    sin x ' sin x x   d e   e x  C    1  cos x  1  cos x  Tác giả bài viết: Trần Tuấn Anh Mail: TranTuanAnh858@gmail.com . TranTuanAnh858@gmail.com  1 BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM CÓ 13 NHIỀU CÁCH GIẢI Bài toán: Tính 1 sin . 1 cos x x I e dx x     Bài giải: Cách 1: (tách, dùng nguyên hàm từng phần) Ta có 1 sin . . 1 cos.  . Cách 5: (phương pháp biến đổi, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có : 1 sin 1 sin . . . 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I e dx e dx e dx x x x           (1) Xét nguyên hàm .             (2) Từ (1) và (2) ta có: 1 cos . sin x x I e C x    . Cách 3: (phương pháp tách, phương pháp nguyên hàm từng phần) Ta có       1 sin 1 cos 1 sin . . 1 cos 1