Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp BD toán 12

Chỉnh hợpĐịnh nghĩaCho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt . Mỗi cách chọn ra k phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là .

HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP A TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Gv: Phan Cơng Trứ - Trường THPT Thanh Bình – Đồng Tháp Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ ) Mỗi cách xếp n phần tử X theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử ký hiệu Pn Pn = n ! = 1.2 n Quy ước: 0! = Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hốn vị Vậy có P5 = 5! = 120 cách Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1a2 a3a4 a5 với a1 ≠ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a1 ≠ nên có cách chọn a1 + Bước 2: chữ số cịn lại vào vị trí có 4! = 24 cách Vậy có 4.24 = 96 số Chỉnh hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ ) Mỗi cách chọn k ( ≤ k ≤ n ) phần tử X xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Ank k An = n! (n − k )! Nhận xét: n An = n ! = Pn Ví dụ Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn chỗ ngồi từ băng ghế để người vào có hốn vị chỉnh hợp chập Vậy có A7 = 7! = 2520 cách (7 − 5)! Ví dụ Từ tập hợp X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5} lập số tự nhiên có chữ số khác Giải Gọi A = a1a2 a3a4 với a1 ≠ a1 , a2 , a3 , a4 phân biệt số cần lập + Bước 1: chữ số a1 ≠ nên có cách chọn a1 + Bước 2: chọn chữ số lại để vào vị trí A53 cách Vậy có A53 = 300 số Tổ hợp Định nghĩa Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( n ≥ ) Mỗi cách chọn k ( ≤ k ≤ n ) phần tử X gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu k Cn k Cn = n! k !(n − k )! Ví dụ Có 10 sách tốn khác Chọn cuốn, hỏi có cách Giải Mỗi cách chọn 10 sách tổ hợp chập 10 Vậy có C10 = 210 cách chọn Ví dụ Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn nam có C52 Suy có 3C52 cách chọn + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C32 cách - Bước 2: chọn nam có Suy có 5C32 cách chọn + Trường hợp 3: chọn nữ có cách Vậy có 3C52 + 5C32 + = 46 cách chọn Ví dụ Hỏi lập số tự nhiên có chữ số cho số đó, chữ số hàng ngàn lớn hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn hàng chục chữ số hàng chục lớn hàng đơn vị Giải Gọi A = a1a2 a3a4 với ≥ a1 > a2 > a3 > a4 ≥ số cần lập X = { 0; 1; 2; ; 8; 9} Từ 10 phần tử X ta chọn phần tử lập số A Nghĩa khơng có hốn vị tổ hợp chập 10 Vậy có C10 = 210 số Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ tự cịn tổ hợp khơng Phương pháp giải tốn 4.1 Phương pháp Bước Đọc kỹ yêu cầu số liệu đề Phân toán trường hợp, trường hợp lại phân thành giai đoạn Bước Tùy giai đoạn cụ thể giả thiết toán để sử dụng quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án tổng kết trường hợp Ví dụ Một nhóm công nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ phó nam có nữ Hỏi có cách lập tổ cơng tác Giải + Trường hợp 1: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách - Bước 3: chọn 13 nam cịn lại có C13 cách 2 Suy có A15 C13 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 2: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C52 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách - Bước 3: chọn 13 nam cịn lại có 13 cách Suy có 13 A15 C52 cách chọn cho trường hợp + Trường hợp 3: chọn nữ nam - Bước 1: chọn nữ có C53 cách - Bước 2: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách Suy có A15 C53 cách chọn cho trường hợp 2 2 Vậy có A15 C13 + 13 A15 C52 + A15 C53 = 111300 cách Cách khác: + Bước 1: chọn 15 nam làm tổ trưởng tổ phó có A15 cách + Bước 2: chọn tổ viên, có nữ - Trường hợp 1: chọn nữ nam có 5.C13 cách - Trường hợp 2: chọn nữ nam có 13.C52 cách - Trường hợp 3: chọn nữ có C53 cách 2 Vậy có A15 ( 5.C13 + 13.C5 + C5 ) = 111300 cách 4.2 Phương pháp Đối với nhiều toán, phương pháp dài Do ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo phép toán A U A = X ⇒ A = X \ A Bước Chia yêu cầu đề thành phần yêu cầu chung X (tổng quát) gọi loại yêu cầu riêng A Xét A phủ định A, nghĩa không thỏa yêu cầu riêng gọi loại Bước Tính số cách chọn loại loại Bước Đáp án số cách chọn loại trừ số cách chọn loại Chú ý: Cách phân loại loại có tính tương đối, phụ thuộc vào chủ quan người giải Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác Giải + Loại 1: chữ số a1 tùy ý, ta có 5! = 120 số + Loại 2: chữ số a1 = 0, ta có 4! = 24 số Vậy có 120 – 24 = 96 số Ví dụ 10 Một nhóm có nam nữ Chọn người cho có nữ Hỏi có cách Giải + Loại 1: chọn người tùy ý 13 người có C13 cách + Loại 2: chọn nam (khơng có nữ) nam có C73 cách Vậy có C13 − C73 = 251 cách chọn Ví dụ 11 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Giải 10 + Loại 1: chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn 10 câu có khơng q loại dễ, trung bình khó 10 - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách 10 - Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C13 cách 10 - Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 10 10 10 10 Vậy có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra Chú ý: Giải phương pháp phần bù có ưu điểm ngắn nhiên nhược điểm thường sai sót tính số lượng loại Ví dụ 12 Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình khó Hỏi lập đề kiểm tra Cách giải sai: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ câu có C97 cách - Trường hợp 2: chọn câu trung bình có cách - Trường hợp 3: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp 4: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp 5: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 7 7 Vậy có C20 − ( + C9 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 đề kiểm tra! Sai sót cách tính số đề loại Chẳng hạn, tính số đề trường hợp ta tính lặp lại trường hợp trường hợp Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 cách 7 7 Vậy có C20 − ( C16 + C13 + C11 ) = 64034 đề kiểm tra Sai sót ta tính lặp lại số cách chọn đề có câu dễ đề có câu trung bình trường hợp trường hợp Cách giải đúng: + Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C20 cách + Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: chọn câu dễ trung bình 16 câu có C16 cách - Trường hợp 2: chọn câu dễ khó 13 câu có C13 − C97 cách - Trường hợp 3: chọn câu trung bình khó 11 câu có C11 − cách 7 7 Vậy có C20 − ( C16 + C13 − C9 + C11 − 1) = 64071 đề kiểm tra Ví dụ 13 Hội đồng quản trị công ty gồm 12 người, có nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu phải có nữ Giải + Loại 1: bầu người tùy ý (không phân biệt nam, nữ) - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A12 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C10 cách 2 Suy có A12 C10 cách bầu loại + Loại 2: bầu người toàn nam - Bước 1: bầu chủ tịch phó chủ tịch có A72 cách - Bước 2: bầu ủy viên có C52 cách Suy có A72 C52 cách bầu loại 2 Vậy có A12 C10 − A72 C52 = 5520 cách Hoán vị lặp (tham khảo) Cho tập hợp X có n phần tử gồm n1 phần tử giống nhau, n2 phần tử khác lại giống nhau, …, nk phần tử khác lại giống ( n1 + n2 + + nk = n ) Mỗi cách n phần tử vào n vị trí hốn vị lặp, số hốn vị lặp n! n1 !n2 ! nk ! Ví dụ 14 Từ chữ số 1, 2, lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Giải Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống chữ số giống Vậy có 10! = 2520 số 5!2!3! Cách giải thường dùng: + Bước 1: chọn 10 vị trí để chữ số có C10 cách + Bước 2: chọn vị trí cịn lại để chữ số có C52 cách + Bước 3: chữ số vào vị trí cịn lại có cách Vậy có C10 C52 = 2520 số B BÀI TẬP Bài Cần xếp nam nữ vào hàng ghế có chỗ ngồi cho nam ngồi kề nữ ngồi kề Hỏi có cách Bài Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đơi số cạnh Tính số cạnh đa giác Bài Tính số số tự nhiên đơi khác có chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số đứng cạnh Bài Tính số số tự nhiên có chữ số đôi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số có mặt chữ số Bài Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người họ muốn mua kề Họ tìm lơ đất chia thành rao bán (các chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu Bài Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành số tự nhiên có chữ số phân biệt Tính tổng số thành lập Bài Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường trịn tâm O Bài Cho đa giác có 2n cạnh nội tiếp đường trịn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh đa giác Tính số hình chữ nhật Bài Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có em khối 12, em khối 11 em khối 10 Tính số cách chọn em đội dự trại hè cho khối có em chọn Bài 10 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác Tính số tập hợp khác rỗng chứa số chẵn phần tử X Bài 11 Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp cho khơng có đủ màu Bài 12 Giải vơ địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vịng trịn lượt, biết trận đấu: đội thắng điểm, hòa điểm, thua điểm có 23 trận hịa Tính số điểm trung bình trận tồn giải Bài 13 Tính số số tự nhiên gồm chữ số chọn từ 1, 2, 3, 4, cho chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Bài 14 Tính số số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chữ số thành lập từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Bài 15 Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn Bài 16 Từ nhóm 12 học sinh gồm học sinh khối A, học sinh khối B học sinh khối C chọn học sinh cho khối có học sinh Tính số cách chọn Bài 17 Tính số tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa Bài 18 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Tính số cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Bài 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập thành số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt nhỏ 25000 Tính số số lập Bài 20 Tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số tập hợp chứa phần tử A, tìm số k ∈ { 1; 2; ; n} cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn C HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Xét loại ghế gồm ghế có chỗ, ghế có chỗ ghế có chỗ ngồi + Bước 1: ghế có chỗ khơng phân biệt nên chọn vị trí để ghế chỗ ngồi có A42 = 12 cách + Bước 2: nam vào ghế chỗ có 3! = cách 10 + Bước 3: nữ vào ghế chỗ có 2! = cách Vậy có 12.6.2 = 144 cách Bài Chọn n đỉnh đa giác ta lập cạnh đường chéo Số cạnh đường chéo Cn2 Suy số đường chéo Cn2 − n Ta có: Cn − n = 2n ⇔ n! − n = 2n 2!(n − 2)! ⇔ n(n − 1) = 6n ⇔ n = Vậy có cạnh Bài Xét số có chữ số gồm 0, 1, 2, chữ số “kép” (3, 4) + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí có 5! = 120 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 120.2 = 240 số + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí cịn lại có 4! = 24 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 24.2 = 48 số Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài + Loại 1: chữ số a1 Sắp chữ số vào vị trí có A64 = 360 cách Sắp chữ số 0, 3, 4, vào vị trí có 4! = 24 cách Suy có 360 – 24 = 336 số + Loại 2: chữ số a1 (vị trí a1 có chữ số 0) Sắp chữ số vào vị trí có A53 = 60 cách Sắp chữ số 3, 4, vào vị trí có 3! = cách Suy có 60 – = 54 số Vậy có 336 – 54 = 282 số Cách khác: + Loại 1: Số tự nhiên có chữ số tùy ý - Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách - Bước 2: Chọn chữ số khác a1 vào vị trí cịn lại có A53 = 60 cách Suy có 5.60 = 300 số 11 + Loại 2: Số tự nhiên có chữ số gồm 0, 3, 4, (khơng có 2) - Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách - Bước 2: Sắp chữ số cịn lại vào vị trí 3! = cách Suy có 3.6 = 18 số Vậy có 300 – 18 = 282 số Bài Xem lơ đất có vị trí gồm vị trí nền, vị trí vị trí + Bước 1: nhóm thứ chọn vị trí cho có cách cách có 2! = cách chọn cho người Suy có 4.2 = cách chọn + Bước 2: nhóm thứ hai chọn vị trí cịn lại cho có cách cách có 3! = cách chọn cho người Suy có 3.6 = 18 cách chọn Vậy có 8.18 = 144 cách chọn cho người Bài + Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ A4 = 24 số A ta lập 12 cặp số có tổng 333 Ví dụ 012 + 321 = 333 Suy tổng số A 12.333 = 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ A32 = số B ta lập cặp số có tổng 44 Ví dụ 032 + 012 = 44 Suy tổng số B 3.44 = 132 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Cách khác: + Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số A A4 = 24 số Số lần chữ số có mặt hàng trăm, hàng chục đơn vị 24 : = lần - Tổng chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) 24 số là: 6.(0 + + + 3) = 36 Suy tổng số A 36.(100 + 10 + 1) = 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số B A32 = số Số lần chữ số 1, 2, có mặt hàng chục đơn vị : = lần - Tổng chữ số hàng chục (đơn vị) số 2.(1 + + 3) = 12 Suy tổng số B 12.(10 + 1) = 132 12 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Bài Nhận thấy hình chữ nhật tạo thành có đường chéo đường kính đường trịn Vẽ đường thẳng d qua tâm O không qua đỉnh đa giác d chia đa giác thành phần, phần có 10 đỉnh Suy số đường chéo đa giác qua tâm O 10 Chọn 10 đường chéo lập hình chữ nhật Vậy có C10 = 45 hình chữ nhật Bài + Lý luận tương tự câu 65 ta có Cn2 hình chữ nhật + Số tam giác tạo thành từ 2n đỉnh đa giác C2n (2n)! n! + Từ giả thiết ta có: C2 n = 20Cn ⇔ 3! 2n − ! = 20 2! n − ! ( ) ( ) ⇔ 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) = 20 ⇔ n =8 Vậy có C82 = 28 hình chữ nhật Bài Cách giải sai: + Chọn tùy ý em đội có C18 = 18564 cách + Chọn em đội thuộc khối 12 khối 11 có C13 = 1716 cách + Chọn em đội thuộc khối 12 khối 10 có C12 = 924 cách + Chọn em đội thuộc khối 11 khối 10 có C11 = 462 cách Vậy có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách chọn! Sai chỗ lớp 12 lớp 11 ta tính lặp lại Cách giải đúng: + Chọn tùy ý em đội có C18 = 18564 cách + Chọn em đội thuộc khối 12 khối 11 có C13 = 1716 cách + Chọn em đội thuộc khối 12 khối 10 có C12 − C76 = 917 cách + Chọn em đội thuộc khối 11 khối 10 có C11 − C66 = 461 cách Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn Bài 10 + Số tập hợp chứa phần tử X C10 = 45 + Số tập hợp chứa phần tử X C10 = 210 13 + Số tập hợp chứa phần tử X C10 = 210 + Số tập hợp chứa phần tử X C10 = 45 + Số tập hợp chứa 10 phần tử X Vậy có 45 + 210 + 210 + 45 + = 511 tập hợp Bài 11 + Trường hợp 1: chọn bi đỏ trắng có C94 = 126 cách + Trường hợp 2: chọn bi đỏ vàng bi vàng có C10 − C44 = 209 cách 4 + Trường hợp 3: chọn bi trắng vàng có C11 − ( C5 + C6 ) = 310 cách Vậy có 126 + 209 + 310 = 645 cách Cách khác: + Loại 1: chọn tùy ý 15 viên bi có C15 = 1365 cách + Loại 2: chọn đủ màu có 720 cách gồm trường hợp sau: - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 180 cách - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 240 cách - Chọn bi đỏ, bi trắng bi vàng có 300 cách Vậy có 1365 – 720 = 645 cách Bài 12 + Do thi đấu vòng tròn lượt nên đội đấu với trận Số trận đấu giải C14 = 91 + Tổng số điểm đội trận hòa nên tổng số điểm 23 trận hòa 2.23 = 46 + Tổng số điểm đội trận khơng hịa nên tổng số điểm 68 trận khơng hịa 3.68 = 204 Vậy số điểm trung bình trận 46 + 204 250 = điểm 91 91 Bài 13 Xem số có chữ số vị trí thẳng hàng + Bước 1: chọn vị trí để chữ số (khơng hốn vị) có C72 = 21 cách + Bước 2: chọn vị trí cịn lại để chữ số (khơng hốn vị) có C53 = 10 cách + Bước 3: chọn chữ số 1, 4, để vào vị trí cịn lại (có hốn vị) có A32 = cách Vậy có 21.10.6 = 1260 số Bài 14 + Loại 1: chữ số a1 14 - Bước 1: chọn vị trí đầu để chữ số có cách - Bước 2: chọn chữ số (trừ chữ số 1) để vào vị trí cịn lại có A74 = 840 cách Suy có 3.840 = 2520 số + Loại 2: chữ số a1 - Bước 1: chọn vị trí thứ để chữ số có cách - Bước 2: chọn chữ số (trừ 1) để vào vị trí cịn lại có A63 = 120 cách Suy có 2.120 = 240 số Vậy có 2520 – 240 = 2280 số Bài 15 13 + Loại 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A có C52C25 cách + Loại 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A không thỏa yêu cầu 10 - Trường hợp 1: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A có C52C10 C15 cách - Trường hợp 2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khối A có C52C10C15 cách 13 10 Vậy có C5 ( C25 − C10 C15 − C10C15 ) = 51861950 cách Bài 16 + Trường hợp 1: khối có học sinh khối cịn lại khối có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có cách - Bước 2: khối chọn ta chọn học sinh có C4 = cách - Bước 3: khối lại khối có cách chọn Suy có 3.4.4.4 = 192 cách + Trường hợp 2: khối có học sinh khối cịn lại có học sinh - Bước 1: chọn khối có học sinh có C32 = cách - Bước 2: khối chọn ta chọn học sinh có C42 = cách - Bước 3: khối cịn lại có cách chọn Suy có 3.6.6.4 = 432 cách Vậy có 192 + 432 = 624 cách Cách khác: + Chọn học sinh tùy ý có C12 = 792 cách 15 + Chọn học sinh khối A B (tương tự khối A C, B C) có C85 = 56 cách Vậy có 792 – 3.56 = 624 cách Bài 17 + Số tập hợp không chứa phần tử X \ { 0; 1} C50 + Số tập hợp chứa phần tử X \ { 0; 1} C5 + Số tập hợp chứa phần tử X \ { 0; 1} C52 + Số tập hợp chứa phần tử X \ { 0; 1} C53 + Số tập hợp chứa phần tử X \ { 0; 1} C54 + Số tập hợp chứa phần tử X \ { 0; 1} C55 Suy số tập hợp X \ { 0; 1} C50 + C5 + C52 + C53 + C54 + C55 = 32 Ta hợp tập hợp với {1} 32 tập hợp thỏa toán Bài 18 Cách giải sai: + Trường hợp 1: chọn học sinh lớp A lớp B có C94 cách + Trường hợp 2: chọn học sinh lớp A lớp C có C84 cách + Trường hợp 3: chọn học sinh lớp B lớp C có C74 cách Vậy có C94 + C84 + C74 = 231 cách! Sai ta tính lặp lại trường hợp chọn học sinh lớp A trường hợp chọn học sinh lớp B Cách giải sai khác: + Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có C12 = 495 cách + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp - Bước 1: chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có: 5.4.3 = 60 cách - Bước 2: chọn học sinh học sinh lại lớp có cách Suy có 9.60 = 540 cách chọn loại (lớn số cách chọn loại 1!) Sai thực bước bước 2, vơ tình ta tạo thứ tự cách chọn Có nghĩa từ tổ hợp chuyển sang chỉnh hợp! Cách giải đúng: + Loại 1: chọn tùy ý 12 học sinh có C12 = 495 cách 16 + Loại 2: chọn học sinh có mặt lớp, ta có trường hợp sau: - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có C52 4.3 = 120 cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.C42 = 90 cách - Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.4.C32 = 60 cách Vậy có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách Bài 19 Gọi số cần lập A = a1a2 a3a4 a5 với ≤ a1 ≤ + Trường hợp 1: a1 = Có cách chọn a5 A53 cách chọn chữ số cịn lại nên có A53 = 240 số + Trường hợp 2: a1 = 2, a2 lẻ Có cách chọn a2, cách chọn a5 A42 cách chọn chữ số cịn lại nên có 2.3 A42 = 72 số + Trường hợp 3: a1 = 2, a2 chẵn Có cách chọn a2, cách chọn a5 A42 cách chọn chữ số cịn lại nên có 2.2 A42 = 48 số Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số Bài 20 Số tập hợp chứa k phần tử A Cnk Ta có: Cn = 20Cn ⇔ n! n! = 20 4!( n − ) ! 2!( n − ) ! ⇔ (n − 2)(n − 3) = 240 ⇔ n = 18 18! 18!  ≥ k k  C18 ≥ C18−1   k !( 18 − k ) ! ( k − 1)!( 19 − k ) ! ⇒ k ⇔ k +1 18! 18! C18 ≥ C18   ≥  k !( 18 − k ) ! ( k + 1)!( 17 − k ) !  19 − k ≥ k 17 19 ⇔ ⇔ ≤k≤ 2 k + ≥ 18 − k Vậy k = 17 ... có hốn vị tổ hợp chập 10 Vậy có C10 = 210 số Nhận xét: i) Điều kiện để xảy hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp n phần tử phải phân biệt ii) Chỉnh hợp tổ hợp khác chỗ sau chọn k n phần tử chỉnh hợp có thứ... nhân, hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp Bước Đáp án tổng kết trường hợp Ví dụ Một nhóm cơng nhân gồm 15 nam nữ Người ta muốn chọn từ nhóm người để lập thành tổ cơng tác cho phải có tổ trưởng nam, tổ. .. lập 12 cặp số có tổng 333 Ví dụ 012 + 321 = 333 Suy tổng số A 12. 333 = 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ A32 = số B ta lập cặp số có tổng 44 Ví dụ 032 + 012 = 44 Suy tổng