chương hệ phương trình lượng giác trong tam giác

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho A BCΔ có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của    A ,B,C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp A BCΔ , S là diện tích A BC Δ thì === =+− =+− =+− =+− =+− =+− 222 22 222 22 222 22 abc 2R sin A sin B sin C abc2bccosAbc4S.cotg bac2accosBac4S.cotgB cab2abcosCab4S.cotg A C Bài 184 Cho A BCΔ . Chứng minh: 22 A 2B a b bc=⇔=+ Ta có: 2 2 22 22 2 a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sinB.sinC=+⇔ = + ()() ()() ()() () () () () ⇔−= ⇔− −− = ⇔−= ⇔− + − = ⇔+ −= ⇔ −= += > ⇔−=∨−=π− ⇔ = 22 sin A sin B sin B sin C 11 1 cos 2A 1 cos 2B sin Bsin C 22 cos 2B cos 2A 2sin B sin C 2 sin B A sin B A 2 sin B sin C sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0 ABBAB Bloại A 2B Cách khác: −= ⇔− += +− + − ⇔= 22 sin A sin B sin B sin C (s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C AB AB AB AB 2 cos sin .2 sin co s sin B sin C 22 2 2 ()() () () () () ⇔+ −= ⇔−= +=> ⇔−=∨−=π− ⇔= sin B A sin A B sin B sin C sin A B sin B do sin A B sin C 0 ABBAB Bloại A 2B Bài 185: Cho A BCΔ . Chứng minh: ( ) 22 2 sin A B ab sin C c − − = Ta có −− = 22 22 22 222 ab 4RsinA4RsinB c4RsinC ()() ()() ()() () () () −−− − == −+ − − == +− − == += > 22 22 22 2 11 1 cos 2A 1 cos 2B sin A sin B 22 sin C sin C 2sin A B sin B A cos 2B cos 2A 2sin C 2sin C sin A B . sin A B sin A B sin C sin C do sin A B sin C 0 Bài 186: Cho A BCΔ biết rằng A B1 tg tg 223 ⋅ =⋅ Chứng minh ab 2c+= Ta có : ⋅=⇔ = A B1 A B A B tg tg 3sin sin cos cos 223 22 22 A B do cos 0,cos 0 22 ⎛⎞ >> ⎜⎟ ⎝⎠ () A BABA 2sin sin cos cos sin sin 22 22 22 AB AB AB cos cos cos 22 2 AB AB cos 2cos * 22 ⇔=− +− + ⎡⎤ ⇔− − = ⎢⎥ ⎣⎦ −+ ⇔= B Mặt khác: () ab2RsinAsinB+= + () () () +− = ++ = =+ = = A BAB 4R sin cos 22 AB AB 8R sin cos do * 22 4R sin A B 4R sin C 2c Cách khác: () += ⇔+= ab2c 2R sin A sin B 4R sin C +− ⇔= −++ ⎛⎞ ⇔== = ⎜⎟ ⎝⎠ A BAB CC 2sin cos 4sin cos 22 22 A BC AB AB cos 2 sin 2 cos do sin cos 22 2 2 C 2 ⇔+= − ⇔= A BAB AB A cos cos sin sin 2 cos cos 2sin sin 22 22 22 2 AB AB 3sin sin cos cos 22 22 B 2 ⇔⋅= A B1 tg tg 223 Bài 187: Cho A BCΔ , chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì cotgA,cotgB, cotgC 222 a,b,c cũng là cấp số cộng. Ta có: () ⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB * Cách 1: ( ) () ()() () ()()() [] ()()() 2 2 22 22 22 2 2 222 sin A C 2cosB Ta có: * sin B 2sin A sinCcosB sin A sin C sin B sinB cosA C cosA C cosA C sin B cos A C cos A C cos A C 1 sin B cos B cos 2A cos 2C 2 1 sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C 2 2sin B sin A sin C + ⇔=⇔= ⇔=− +−−−+ ⎡⎤⎡⎤ ⎣⎦⎣⎦ ⇔= +−− + ⇔=− + ⎡ ⎤ ⇔=− −− +− ⎣ ⎦ ⇔=+ ⇔ 22 2 222 222 222 2b a c 4R 4R 4R 2b a c a , b ,c là câùp số cộng =+ ⇔=+ ⇔• Cách 2: () =+− ⎛⎞ ⇔=+− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔=+− +− = +− +− == +− +− +− ⇔+=⋅ ⇔ =+ 222 222 222 22 2 22 2 2 22 22 2 2 22 22 2 222 Ta có: a b c 2ab cos A 1 abc4bcsinA.cotgA 2 abc4ScotgA bca Do đó cotgA 4S acb abc Tương tự cotgB , cotgC 4S 4S bca abc acb Do đó: * 2 4S 4S 4S 2b a c Bài 188: Cho A BCΔ có 22 sin B sin C 2sin A+= 2 Chứng minh  0 BAC 60 .≤ () 22 2 22 2 22 2 22 2 Ta có: sin B sin C 2sin A bc2a 4R 4R 4R bc 2a* += ⇔+= ⇔+= A Do đònh lý hàm cosin nên ta có 222 abc2bccos=+− ( ) () ()  +−− +− ⇔= = + =≥= ≤ 22 22 22 2 22 0 2b c b c bca cos A ( do * ) 2bc 4bc bc 2bc1 do Cauchy 4bc 4bc 2 Vạây : BAC 60 . Cách khác: đònh lý hàm cosin cho =+− ⇒+=+ 222 222 a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A Do đó (*) a bc cos A a abc cos A ( do Cauchy) b cbc ⇔+ = + ⇔== ≥ 22 222 22 1 242 Bài 189: Cho A BCΔ . Chứng minh : ( ) 222 Ra b c cotgA+cotgB+cotgC abc ++ = +− = +− +− == + +++ ++= = ++ = 22 2 22 2 2 22 222 22 222 bca Ta có: cotgA 4S acb abc Tương tự: cotgB ,cotgC 4S 4S abc abc Do đó cot gA cot gB cot gC abc 4S 4 4R abc R abc 2 Bài 190: Cho A BCΔ có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Giả sử A < B < C. Chứng minh: = + 111 abc Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A 24 Mà A B C nên A ,B ,C 77 7 π ππ ++=π = = = Cách 1: += + ⎛⎞ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ππ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ππ + = ππ ππ π π ⎛⎞ =⋅ = ⎜⎟ ππ ⎝⎠ π =⋅ = ππ = 11 1 1 Ta có: b c 2R sin B 2R sin C 11 1 24 2R sin sin 77 42 sin sin 1 77 24 2R sin sin 77 3 2sin .cos 143 77 do sin sin 23 2R 7 7 sin .sin 77 cos 11 7 R2RsinA 2sin .cos 77 1 a Cách 2: =+⇔ = + + ⇔= + = ⇔= = = ππ ===• 111 1 1 1 a b c sin A sin B sin C 11 1sin4Asin2A sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 34 do : sin 3A sin sin sin 4A 77 Bài 191: Tính các góc của A BCΔ nếu sin A sin B sin C 12 3 == Do đònh lý hàm sin: abc 2R sin A sin B sin C === nên : () sin A sin B sin C * 12 3 == abc 2R 4R 2R 3 bc ba3 a 2 3 c2a ⇔= = ⎧ = ⎪ ⇔= =⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ () () 2 22 222 0 0 Ta có: c 4a a 3 a cba Vạây ABC vuông tạiC Thay sin C 1 vào * ta được sin A sin B 1 12 3 1 sin A 2 3 sin B 2 A30 B60 == + ⇔=+ Δ = == ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: 2 22 2 BC AB AC 2AM 2 += + hay : 2 22 2 a a cb2m 2 += + Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến,  A MB = α , AC = b, AB = c, S là diện tích UABC. Với 0 < < 90 α 0 a/ Chứng minh: 22 bc cotg − 4S α= b/ Giả sử α= , chứng minh: cotgC – cotgB = 2 0 45 a/ UAHM vuông HM MB BH cotg A HAH − ⇒α= = () aBH cotg 1 2AH AH ⇒α= − Mặt khác: () 22 22 ac2accosBc bc 4S 2AH.a +− − − = 2 Đặt BC = a 22 bc a ccosB a BH 4S 2AH AH 2AH AH − ⇒=−=− (2) Từ (1) và (2) ta được : 22 bc cotg 4S − α= Cách khác: Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +− α= 22 1 2 A MBMc cotg 4S (3) +− −α= 22 2 2 A MCMb cotg 4S (4) Lấy (3) – (4) ta có : − α= 22 bc cotg 4S ( vì S 1 =S 2 = S 2 ) b/Ta có: cotgC – cotgB = HC HB HC HB A HAH AH − −= = () ( ) MH MC MB MH A H +−− = = α= = 0 2MH 2cotg 2cotg45 2 A H Cách khác : p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: +− = 22 1 BM c AM cotg B 4S 2 (5) +− = 22 2 CM b AM cotg C 4S 2 (6) Lấy (6) – (5) ta có : − −= = 22 bc cotg C cot gB 2 cot g 2S α =2 ( vì S 1 =S 2 = S 2 và câu a ) Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là thỏa b m,m c b c m c 1 bm =≠ . Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC Ta có: 2 2 b 22 c m c bm = () () ()( () ) ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔= ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔+−=+− ⇔−= − ⇔−=− + ⎛⎞ ⇔=+ ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 22 2 2 2 22 44 22 22 2 2 22 22 2 2 4 4 22 2 2 2 2 2 222 1b ac 22 c b 1c ba 22 cb bc ac ab bc 22 1 ac ab c b 2 1 ac b c b c b 2 c 2a c b 1 do 1 b Thay vào (1), ta có (1) thành +=+ 22 2 bca2bccosA = 2 a2bccosA ()() () ⇔== + ⇔= = 222 a4RsinA cos A 2bc 2 2R sin B 2R sin C sin B C cos A sin A 2 sin A sin B sin C sin Bsin C + ⇔= =+ sinBcosC sinCcosB 2 cotgA cotgC cotgB sin B sin C Bài 194 : Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ Vậy 2 A BC 3 ′ = C 22 c 2 222 222 9c 4m c 9c 2 b a 2 5c a b ⇔= ⎛⎞ ⇔= +− ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔=+ 22 5c c 2abcosC⇔=+ (do đònh lý hàm cos) ()()() 2 2 2c ab cosC 2 2RsinC 2RsinA 2RsinB cosC ⇔= ⇔= ⇔= ⇔= 2 2 sin C sin A sin B cos C 2sinC cosC sin A sin B sin C () + ⇔= 2sin A B cotgC sin A sin B () () + ⇔= ⇔+= 2 sin A cos B sin B cos A cotgC sin A sin B 2 cotg B cotgA cotgC III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC thì ()()() abc 111 S a.h b.h c.h 222 111 S absinC acsinB bcsinA 222 abc S 4R Spr S ppapbpc === === = = =−−− Bài 195: Cho UABC chứng minh: 2 2S sin 2A sin 2B sin2C R ++= Ta có: () sin2A+ sin2B + sin2C = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] = 3 abc 1abc = 4. . . 2R 2R 2R 2 R == 32 14RS 2S 2 RR Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : S = Diện tích (UABC) = () 22 1 asin2B bsin2A 4 + Ta có : () 1 S = dt ABC absin C 2 Δ= () + 1 =absinAB 2 [] + 1 = ab sin A cos B sinB cos A 2 () ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ + ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ⎡⎤ ⎣⎦ + 22 22 1a b = ab sin B cos B sin A cos A (do đl hàm sin) 2b a 1 = a sin B cos B+ b sin A cos A 2 1 = a sin 2B b sin 2A 4 Bài 197 : Cho A BCΔ có trọng tâm G và    GAB ,GBC ,GCA . = α=β=γ Chứng minh: ( ) 222 3a b c cotg + cotg +cotg = 4S ++ αβγ Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH AB ⊥ A H AMH cos AM BH 2BH BHM cosB MB a Δ⊥⇒α= Δ⊥⇒== Ta có: AB = HA + HB () a cAMcos cosB 2 1a cos c cos B 1 AM 2 ⇔= α+ ⎛⎞ ⇔α= − ⎜⎟ ⎝⎠ Mặt khác do áp dụng đònh lý hàm sin vào A MB Δ ta có : MB AM 1 a sin MB sin B sin B (2) sin sin B AM 2AM =⇔α= = α Lấy (1) chia cho (2) ta được : − − α= a ccosB 2c a cos B 2 cotg = ab sin B a. 22R () ( ) − − +− +− 2 222 222 R4c 2accosB R4c 2acosB = = ab abc 3cba3cba = = abc 4S R [...]... 4 sin sin 2 sin ⋅ 2 2 2 = 2 sin cos 2 sin B C A ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 C 2 C C cos 2 2 Bà i 200: Cho ΔABC có trọ n g tâ m G và tâ m đườ n g trò n nộ i tiế p I Biế t GI vuô n g gó c vớ i đườ n g phâ n giá c trong củ a BCA Chứ n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b Vẽ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG cắ t AC tạ i L và cắ t BC tạ i N Ta có : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) =ID.LC = r.LC (1) Mặ t khá c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) . CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho A BCΔ có a, b, c lần lượt là ba cạnh. 22 bc cotg 4S − α= Cách khác: Gọi S 1 , S 2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH p dụng đònh lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: +− α= 22 1 2 A MBMc cotg 4S (3) +− −α= 22 2 2 A MCMb cotg 4S . 1 12 3 1 sin A 2 3 sin B 2 A30 B60 == + ⇔=+ Δ = == ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2 Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ = II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN