Báo cáo nghiên cứu khoa học đề tài " MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TẠO ẢNH FRACTA " pdf

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TẠO ẢNH FRACTAL Phạm Anh Phương, Trần Thanh Lương Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế GIỚI THIỆU Hình học Fractal thức biết đến vào năm 1975 qua báo tiếng “Lý thuyết tập Fractal”, tiếp chuyên khảo “Hình học Fractal tự nhiên” nhà toán học người Pháp Benoit B Mandelbrot làm việc trung tâm nghiên cứu Thomas B Waston công ty IBM Tuy đời hình học Fractal ứng dụng nhiều lĩnh vực: tạo ảnh, nén ảnh Ngồi cịn ứng dụng ngành khoa học khác như: y học, sinh học, hoá học, vật lý, dự báo thời tiết, thiên văn học, kinh tế, Trong báo chúng tơi trình bày số nội dung sau: Cơ sở toán học cho việc tạo ảnh Fractal; giới thiệu thuật toán tạo ảnh Fractal: thuật toán thời gian thoát, thuật toán tất định, thuật toán lặp ngẫu nhiên thuật toán L-System; cuối số kết cài đặt hướng nghiên cứu tương lai CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA HÌNH HỌC FRACTAL 31 Định nghĩa Ánh xạ f : X  X không gian mêtric (X,d) gọi ánh xạ co tồn số s,  s < cho với x, y  X thì: d(f(x),f(y))  s.d(x,y) lúc s gọi hệ số co f (hay độ co f) Định lý [1] (Nguyên lý ánh xạ co hay nguyên lý điểm bất động) Cho f : X  X ánh xạ co khơng gian mêtric đầy đủ (X,d), tồn điểm xf  X (gọi điểm bất động) cho: x f  f(x f )  lim f on (x ), x  X n  Định lý [1] (Định lý cắt dán - Collage) Giả sử f ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ (X,d) với hệ số co s xf điểm bất động f, lúc ta có: d(x, x f )  d(x, f(x)), x  X 1 s Định nghĩa Cho wn : X  X, n = 1, 2, , N ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ (X,d) với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2, , N Một IFS (X,d) tập ánh xạ co wn, n = 1, 2, , N ký hiệu: 32 IFS = {X; w1, w2, , wN} Khi ánh xạ W: H(X)  H(X) định nghĩa bởi: N W(A)   w n (A) n1 gọi toán tử Hutchinson Định lý [1] Cho wn : X  X, n = 1, 2, , N ánh xạ co với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2, , N Khi toán tử Hutchinson W : H(X)  H(X) ánh xạ co với hệ số co s  max{s n } , ánh xạ có điểm bất động A 1 n  N N = W(A)   w n (A) A gọi điểm hút (attractor) IFS n1 Định nghĩa Cho không gian compact (X,d), wn, n = 1, 2, , N các ánh xạ co (X,d) với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2, , N pn, < pn < 1, N p n  , xác suất gắn với wn, n = 1, 2, N Một FIFS (X,d) tập n 1 ánh xạ co wn, n = 1, 2, , N liên kết với xác suất pn, n = 1, 2, , N ký hiệu: FIFS = {X; w1, w2, , wN; p1, p2, , pN} Định nghĩa Cho (X,d) không gian mêtric đầy đủ Các tập Dn  X thoả N mãn  D n  X , Di  Dj = , với i  j, n = 1, 2, ,N, i, j = 1, 2, , N Tập n 0 33 {Dn : n = 1, 2, ,N} gọi phân hoạch X Một PIFS tập ánh xạ co wn : Dn  X, n = 1, 2, , N với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2, ,N ký hiệu: PIFS = {X; D1, D2, , DN; w1, w2, , wn} CÁC THUẬT TOÁN TẠO ẢNH FRACTAL 3.1 Thuật toán thời gian thoát (Escape Time Algorithm) Giả sử hệ động lực {R2, f}, f : R2  R2 liên kết với hệ hàm lặp IFS {X; w1,w2, ,wN} có điểm hút A (A xem tập Fractal) Tập U  R2 hình chữ nhật đóng chứa A (a,b), (c,d) tương ứng đỉnh dưới-trái đỉnh trên-phải hình chữ nhật U Gọi M số điểm chia hình chữ nhật, số dương r gọi bán kính hình cầu có tâm gốc toạ độ V = {(x,y)  R2, x2 + y2 > r2}, U  V, A  U Ta khảo sát quỹ đạo {f on (x i, j )}0 , đó: n 34 i(c  a) j(d  b)   x i, j   a  ,b  , M M   i, j  0, 1, 2, Tập điểm Ai,j = {fo1(xi,j), fo2(xi,j), fo3(xi,j), , foN(xi,j)} thuộc quỹ đạo điểm xi,j  U, i, j = 0, 1, 2, , M Hình 1: Tập MandelBrot Tổng số điểm quỹ đạo xi,j quy định tối đa N (đây số lần lặp quy định) Nếu Ai,j  V =  n = N ta chuyển sang tính tốn điểm i,j Nếu Ai,j  V   vị trí (i,j) tơ màu với số pi,j = min{n : fon(xi,j)  V} Sau chuyển sang tính toán điểm (i,j) Thuật toán thời gian thoát tìm Fractal dựa rời rạc hố điểm hút Trong miền ta vẽ điểm có quỹ đạo không dần vô cách chọn miền rộng chứa miền ảnh Fractal Thuật toán ˆ áp dụng cho hệ động lực dạng {R2;f}, {C;f} { C ;f} (Các kết xem thêm [1], [5], [7], [10]) Ví dụ: tập Mandelbrot bao gồm số phức c cho z2 + c hữu hạn với lần lặp 35 3.2 Thuật toán tất định (Deterministic Algorithm) Giả sử khơng gian Hausdorff (H(X),d) ta có hệ hàm lặp IFS = {X; w1, w2, , wN} Chọn tập compact A0 X, sau tính tập An = Won(A) theo công thức lặp sau: N A n1   w j (A n ), n  1, 2, 3, j1 Bằng cách thu dãy tập {An, n = 0, 1, 2, }  H(X) Lúc dãy {A n }0 hội tụ điểm hút A (tập Fractal) IFS n không gian Hausdorff: A  lim W on (A ) ảnh Fractal cần tìm hệ hàm lặp n IFS sinh Gọi MxN kích thước hình chữ nhật khởi tạo ban đầu (tập A0) Khởi gán giá trị mảng t[i,j] chứa ảnh biên hình chữ nhật MxN mà ảnh Fractal nằm hình chữ nhật Mảng s[i,j] làm nhiệm vụ lưu trữ tạm thời kết trung gian, sau chuyển kết cho mảng t[i,j] Gán giá trị liệu hệ hàm lặp tương ứng vào tham số a, b, c, d, e, f, 36 Thực lặp với ánh xạ co IFS Sau lần lặp ta thu tập Ai mới, trình tiếp tục thu hình Fractal đủ mịn đáp ứng yêu cầu toán Các ánh xạ IFS viết cách đơn giản sau:  x1   a i wi     x  c  2  i a b  b i  x   e i        A i x  t i d i  x   f i      e  đó: A i   i i  t i   i  c d  f   i i  i Ví dụ: Lá dương xỉ sinh ánh xạ co Bảng 1: Bốn ánh xạ co sinh dương xỉ w a b c d e F p 0 0.16 0 0.01 0.2 -0.26 0.23 0.22 1.6 0.07 -0.15 0.28 0.26 0.24 0.44 0.07 37 0.85 0.04 -0.04 0.85 1.6 0.85 Hình 2: Lá dương xỉ Các ánh xạ IFS phong phú, kết xem [1], [5] 3.3 Thuật toán lặp ngẫu nhiên (Random Iterated Algorithm) Giả sử không gian Hausdorff (H(X),d) ta có hệ hàm lặp có gắn xác suất FIFS = {X; w1, w2, , wN; p1, p2, ,pN}, x0  X lấy xn cách độc lập: xn  {w1(xn-1), w2(xn-1), , wN(xn-1)}, n = 1, 2, 3, xác suất biến cố xn = wi(xn-1) pi Ta thu dãy {x n }0  X dãy hội tụ đến điểm bất động FIFS n 38 Ta thấy với thuật tốn tiền định khơng cần phải xét đến xác suất pi gắn với wi, thuật toán lặp ngẫu nhiên ta phải cần đến xác suất pi Các xác suất đóng vai trị quan trọng việc tính ảnh điểm hút FIFS Chúng ta lấy giá trị pi xấp xỉ theo công thức sau: pi  detA i  N  detA j 1 j a i d i  bi ci N a d j j , i  1, 2, , N  b jc j j1 Nếu giá trị i mà detAi = (suy pi = 0) ta gán cho pi giá trị dương nhỏ, chẳng hạn pi = 0.00001 Gọi MxN hình chữ nhật mà chứa ảnh Fractal sinh Khởi gán giá trị liệu hệ hàm lặp FIFS mảng tương ứng a, b, c, d, e, f, p, Khởi tạo số lần lặp cần thiết để tạo sinh ảnh Trong thuật tốn có điều lưu ý cách tạo xác suất lấy xác suất Có nhiều cách tạo lấy xác suất, chẳng hạn dùng hàm random, dùng xác suất Gauss, Thực lặp với ánh xạ co FIFS theo xác suất chọn cách lấy xn độc lập qua wi(xn-1) 39 Sau giải thuật cài đặt thuật toán IFS: * Input: Tập ánh xạ co xác suất {w1,w2, ,wn , p1, p2, ,pn}, Số lần lặp: N, Điểm xuất phát (x0,y0) * Output: Ảnh Fractal * Method: Procedure IFS(N); Hình 3: Cây Fractal tạo thuật toán lặp ngẫu nhiên Begin Khởi tạo {wi, pi}; (x,y) := (x0,y0); For i:=1 To N Do Begin Chọn ánh xạ wk tương ứng với xác suất pk; 40 (x,y) := wk(x,y); Draw(x,y); End; End; 3.4 Thuật toán tạo ảnh L-System Cho xâu ban đầu: Axiom , tập luật: Rule góc quay: Angle Sau n lần lặp ta có xâu kết quả: Result Ví dụ: Axiom: F+F+F+F Rule: F > F+F-F-FF+F+F-F 41 Axiom Sau lần lặp sau lần lặp ta có: Result: F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+FF-FF+F+F-F Từ xâu kết Result, ta xây dựng qui tắc vẽ dựa tập ký tự sau: Ký tự ý nghĩa F Vẽ đoạn thẳng + Quay trái góc angle - Quay phải góc angle 42 | Đổi hướng (quay 1800) [ Đưa trạng thái vẽ thời vào STACK ] Lấy trạng thái vẽ từ STACK 43 Hình 4: Một số ảnh tạo phương pháp L-System KẾT LUẬN Qua báo này, trình bày sở tốn học giới thiệu số thuật tốn tạo ảnh Fractal thơng qua lý thuyết hệ hàm lặp Bên cạnh chúng tơi cài đặt chương trình tạo ảnh Fractal ngôn ngữ Delphi 5.0 44 chạy môi trường Windows Chương trình tạo hình ảnh tự nhiên đẹp (Xem hình 1, 2, 3, 4) Trong thời gian tới, trọng đến việc cải tiến tốc độ tính tốn, ước lượng cơng thức để nâng cao tốc độ thuật toán Đồng thời, chúng tơi phát triển chương trình hệ sinh ảnh Fractal trực quan ([3], [5]) phục vụ cho việc tạo sinh ảnh Fractal dễ dàng Tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu lý thuyết kỹ thuật tạo ảnh Fractal không gian ba chiều TÀI LIỆU THAM KHẢO Barnsley M F., Fractals Everywhere, Academic Press, Inc, 1988 Falconer K J., Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Inc, 1990 Nguyễn Xuân Huy, Nguyễn Xuân Hoài, Xây dựng chương trình thiết kế ảnh Fractal trực quan, Tạp chí tin học điều khiển học, T.15, S.3, 1999, Tr 66-72 45 Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 1994 Trần Thanh Lương, Tìm hiểu số phương pháp sinh ảnh Fractal, Luận văn Tốt nghiệp Đại học, chuyên ngành Công Nghệ Thông Tin, Trường Đại học Khoa học Huế, Hà Nội, 2001 Massopust P R., Fractal Functions, Fractal Surfaces, and Wavelets, Academic Press, Orlando, 1994 Peitgen H O., and Richter P H., The Beauty of Fractals, SpringerVerlag, Inc, 1986 Peitgen H O., Jỹrgens H., Saupe D., Maletsky E., Perciante T., Fractals for Classroom: Strategic Activities Volume Three, Springer-Verlag, New York, Inc, 1999 Rériaux J., Miettlinen K., Mäkëlä M M., Taannaki P N., Evolutionary Algorithms in Engineering and Computer Science, John Wiley & Sons, Ltd, 1999, Chaper 15 10 Ngơ Quốc Tạo, Cơ sở hình học Fractal chương trình thử nghiệm Fractal, Viện Cơng Nghệ Thơng Tin, Mã số: CS97-12, Hà Nội, 1997 46 11 Z Baharav, D Malah, E Karnin, Hierachical Interpretation of Fractal Image Coding and Its Application to Fast Decoding, In Intl, Conf, on Digital Signal Processing, Cyprus, July 1993 TĨM TẮT Hình học Fractal mơn hình học ứng dụng nhiều lĩnh vực, đặc biệt ứng dụng việc tạo ảnh máy tính Trong báo này, giới thiệu số phương pháp tạo ảnh Fractal Các kết đạt cho hình ảnh đẹp SOME METHODS CREATE FRATAL IMAGES Phan Anh Phuong, Tran Thanh Luong College of Sciences, Hue University SUMMARY Fractal geometry is applied in many domains of science, especially in creating images on computer In this paper, we introduce some methods that create Fractal images The practical results gave us rather beautiful images 47 48 ... TẮT Hình học Fractal mơn hình học ứng dụng nhiều lĩnh vực, đặc biệt ứng dụng việc tạo ảnh máy tính Trong báo này, chúng tơi giới thiệu số phương pháp tạo ảnh Fractal Các kết đạt cho hình ảnh đẹp... trạng thái vẽ từ STACK 43 Hình 4: Một số ảnh tạo phương pháp L-System KẾT LUẬN Qua báo này, chúng tơi trình bày sở toán học giới thiệu số thuật toán tạo ảnh Fractal thông qua lý thuyết hệ hàm... trình hệ sinh ảnh Fractal trực quan ([3], [5]) phục vụ cho việc tạo sinh ảnh Fractal dễ dàng Tiếp tục nghiên cứu, tìm hiểu lý thuyết kỹ thuật tạo ảnh Fractal không gian ba chiều TÀI LIỆU THAM