TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ (Số tiết 4: Hình Học Nâng Cao ). I/ Mục tiêu: - Kiến thức. + Học sinh nắm được tích của vectơ với một số. +Học sinh hiểu được các tính chất, biết các tính chất của phép nhân vectơ với một số. + Biết được điều kiện để hai vectơ cùng phương, để ba điểm thẳng hàng. + Biết định lí biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. - Kỹ năng. +Xác định được toạ độ của điểm, của vectơ và của điểm trên trục toạ độ. + Tính được độ dài đại số của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm đầu mút của nó. - Tư duy: Ứng dụng vectơ vào các bài toán cụ thể . - Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận và cách phân tích bài toán để chọn phương án thích hợp. II/ Chuẩn bị phương tiện dạy học. - Thực tiễn: Học sinh đã học tổng 2 vectơ. - Phương tiện: Đèn chiếu, bảng phụ, phiếu học tập. III/ Phương pháp dạy học: - Dùng các phương pháp mở vấn đáp kết hợp phương pháp chia nhóm. IV/ Tiến trình bài học và các hoạt động. 1/ Bài củ. 2/ Bài mới. Hoạt động 1: Học sinh làm quen với khái niệm phép nhân vectơ với 1 số. Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng - Học sinh nhận bài tập. Làm theo nhóm trên giấy A4 Gv giới thiệu bài mới GV dựa vào h.20 (sgk) - Có nhận xét gì về hướng và độ dài của 2 vectơ a và b , c và d , để đi đến trường hợp tổng quát định nghĩa. - Gv nêu câu hỏi. Vẽ hình bình hành ABCD. a) Xác định điểm E sao cho Bài 4: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1/ Định nghĩa tích của một vectơ với một số. - Định nghĩa: (Sgk) TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng - Học sinh chỉ ra được BC = 2 MN BC = -2 NM -Đại diện nhóm trình bày AE = 2 BC . b) Xác định F sao cho F A = - 2 1 CA . Gv chia lớp thành 4 nhóm. - Nhóm 1,3 câu a - Nhóm 2,4 câu b. Yêu cầu học sinh làm trên giấy A4 -GV: Chính xác hoá vấn đề. Vd: Cho ∆ABC, M,N lần lượt là trung điểm AB và AC. - Ta có: BC = 2 MN , BC = -2 NM AB = 2 AM = 2 MB N M C B A Hoạt động 2: Học sinh làm quen với các tính chất phép nhân vectơ với 1 số. Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng - Học sinh lắng nghe câu hỏi. Lên bảng trình bày. Hs: AC = AB + BC = a + b ''CA = ' ' B A + ''CB =3 a +3 b ''CA = 3 AC - Phát biểu các tính chất của phép nhân vectơ với 1 số. - Gv làm cho học sinh kiểm chứng được tính chất 3 thông qua bài toán. a) Vẽ ∆ABC với gt AB = a , BC = b . b) Xác định A’ sao cho AB = 3 a ; C’ sao cho BC = 3 b . c) Có nhận xét gì về 2 vectơ AC , 'AC ? 2/ Các tính chất của phép nhân vectơ với một số. Với a , b bất kỳ và k,l€ R Ta có: i) k( la ) = (kl) a. ii) (k+l) a = ka + la iii) k( a + b ) = ka + kb iv) ka = o k=0 hoặc a = o TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng Hoạt động 3: Áp dụng các tính chất vào phép tính thông qua 1 số bài toán. Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng -Học sinh thảo luận Làm trên giấy A4. Trình bày cách giải. Gv nêu bài toán 1, vẽ hình. H: Dùng quy tắc 3 điểm biểu diển MBMA, theo các vectơ IBIAMI ,, ? H: I là trung điểm đoạn thẳng AB thì IA + IB = ? - Gv nêu bài toán 2, vẽ hình H1: Hãy biểu thị các vectơ MBMA, , MC qua vectơ MG và từng vectơ GCGBGA ,, ? Bài toán 1: Gọi I lad trungđiểm AB. C/m với mọi điểm M bất kì ta có: MA + MB = 2 MI Giải: Ta có: MA = MI + IA MB = MI + IB MA + MB =2 MI +( IA + IB )=2 MI Bài toán 2: Cho ∆ABC với trọng tâm G, c/m với điểm M bất kì. MA + MB + MC = 3 MG Giải: Ta có: MA = MG + GA MB = MG + GB MC = MG + GC MA + MB + MC = 3 MG + ( GA + GB + GC = 3 MG . Hoạt động 4: Học sinh tìm hiểu điều kiện 2 vecơ cùng phương. Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng Hs quan sát hĩnh vẽ. - Xác định các hệ số v,m,n,p,q. Đặc vấn đề: Ta biết rằng nếu b = k a a , b cùng phương, điều ngược lại có đúng không? - Gv đưa ra ví dụ sẳn giấy A4 cho học sinh xác định các hệ số k,m,n,p sao cho. b = k a , c = m a b = nc , x = pu Gv khái quát đi đến khẳng định 2 vectơ cùng phương. 3/ Điều kiện để hai vectơ cùng phương. * b cùng phương a (≠ 0 ) k R : b = k a TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng 3 điểm A,B,C thẳng hàng AB , AC cùng phương Rk sao cho AB =k AC H: Tại sao có đk a ≠ 0 ? ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là gì ? Gv nêu đk để ba điểm thẳng hàng. *Đk cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là có 1 số k sao cho AB =k AC Hoạt động 5: Học sinh vận dụng công thức giải toán Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng Hs vẽ hình Tìm cách giải. ∆ABC vuông tại A, AH = 2 OI Hs: c/m tứ giác HBDC là hình bình hành. HS: Trả lời. Gv nêu bài toán 3 (sgk) vẽ hình. TH1: ∆ABC vuông tại A -Yêu cầu HS c/m. TH2: ∆ABC không vuông . Gọi D là điểm đối xứng với A qua O Có nhận xét gì về tứ giác HBDC? tứ giác đó là hình gì? từ đó có nhận xét gì về điểm I đối với đoạn thẳng HD?. H: I là trung điểm HD nên với điểm 0 bất kỳ ta có 2 OI =? H: Có nhận xét gì về 2 vectơ A0 và D0 ? H: Tính tổng B0 + C0 =? H: G là trọng tâm ∆ABC , nên với một điểm O bất kỳ ta có, A0 + B0 + C0 =? Từ đó có nhận xét gì 2 vectơ H0 và G0 ? Bài toán 3: (sgk) I H O D C B A a) Gọi D là điểm đối xứng A qua O. Tứ giác HBDC là hình bình hành. Do đó I là trung điểm HD 2 OI = H0 + D0 = H0 - A0 = AH b) B0 + C0 = 2 OI = AH A0 + B0 + C0 = H0 + AH = H0 C) Với G là trọng tâm ∆ABC nên điểm 0, ta có: A0 + B0 + C0 =3 G0 TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng A0 + B0 + C0 = H0 H0 = 3 G0 Suy ra 3 điểm O,G,H thẳng hàng. Hoạt động 6: Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng MI = 2 1 MA + 2 1 MB 3 vectơ này không cùng phương Được , nếu đặt MI = x thì m = n = 2 1 đối với trường hợp trên. A0 và X0 cùng phương X0 =m A0 , n =o H1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, M bất kỳ ta có biểu thức đại số nào ?. H2: Nhận xét gì về phương của 3 vectơ 2 1 MA ; 2 1 MB ; 2 1 MI ? Vậy câu hỏi đặt a là nếu cho 2 vectơ a , b không cùng phương liệu có vectơ x nào có thể biểu thị được dưới dạng: x = m a + n b ? - Tổng quát ta có định lý sau: HD: C/m từ O ta vẽ A0 = a ; B0 = b ; X0 = x . TH1: X nằm trên đường thẳng OA, A0 và X0 có phương như thế nào: X0 =? TH2: X nằm trên đường thẳng OB,… TH3: X không nằm trên OA,OB 4/ Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lý: (Sgk) TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng Hoạt động 7: Hướng dẫn học sinh làm bài tập 21,22,23 (sgk) Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng Lấy điểm C sao cho tứ giác OACB là hình vuông. Ta có: C0 = A0 + B0 │ A0 + C0 =│ C0 │ Theo định lý Pytago ta có: │ C0 │= a 2 A0 - B0 = BA │ BA │=│ C0 │=a 2 M0 = 2 1 A0 M0 = 2 1 A0 + 0. B0 MN = MO + N0 MO = 2 1 A0 ; N0 = 2 1 B0 AN = A0 + N0 AN =- A0 + 2 1 B0 MB = MO + B0 = - 2 1 A0 + B0 H1:Dựng A0 + B0 A0 + B0 =? H2: Dựng A0 - B0 Theo quy tắc hiệu vectơ ta có: A0 - B0 =? │ BA │=? Vậy │ A0 - B0 │= a 2 TH: 3 A0 - 4 B0 Trên OA ta lấy A’: A0 ’ = 3 A0 Trên OB ta lấy B’: B0 ’ = 4 B0 Lấy C sao cho tứ giác OA’C’B’ là hình chữ nhật. Ta có: │3 A0 +4 B0 │= 5a(theo định lý Pytago) H1: M0 = ? A0 M0 = 2 1 A0 + ? B0 H2: MN =? Theo quy tắc 3 điểm? MO =? A0 ; N0 =? B0 Vậy MN = 2 1 A0 + 2 1 B0 H3: AN =? Theo quy tắc 3 điểm? A0 =? A0 ; N0 =? B0 H4: MB =? Theo quy tắc 3 điểm? Bài tập 21(sgk) * A0 + B0 = C0 │ A0 + B0 │= a 2 *Dựng A0 ’ = 3 A0 ; B0 ’ = 4 B0 3 A0 +4 B0 = C0 │3 A0 +4 B0 │=│ C0 │=5a (theo Py ta go) Bài 22: (sgk) M0 = 2 1 A0 + B0 MN = - 2 1 A0 + 2 1 B0 AN = - A0 + 2 1 B0 MB = - 2 1 A0 + B0 TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng Hoạt động 8: Hướng dẫn học sing làm bài tập 24,26.(sgk) Hoạt động trò Hoạt động thầy Tóm tắt ghi bảng Gọi G là trọng tâm ∆ABC thì GA + GB + GC = 0 AG' + BG' + CG' = 0 GA + GB + GC = 0 AG' = GG' + GA BG' = GG' + GB CG' = GG' + GC G’ trùng với G A0 = G0 + GA OB = G0 + GB OC = G0 + OC GA + GB + GC = 0 G là trọng tâm ∆ABC theo a. 3 'GG = 'GA + 'GB + 'GC C/m: GA + GB + GC = 0 là trọng tâm ∆ABC. H1: Về ý nghĩa hình học G là trọng tâm ∆ABC thì ta có biểu thức đại số nào về vectơ? HD: gọi G là trọng tâm ∆ABC ta có gì? H2: Theo gt GA + GB + GC =? G bất kỳ GA =?; GB =?; GC =?; 3 GG' = 0 Nhận xét gì về G’ và G? Vậy G là trọng tâm ∆ABC H3: G0 = 3 1 ( A0 + OB + OC )? A0 =?; OB =?; OC =? Theo quy tắc 3 điểm G0 = G0 + 3 1 ( A0 + OB + OC ) GA + GB + GC =? kết luận gì về điểm G? Vậy theo tính chất đã học và kết quả bài này ta có: G là trọng tâm ∆ABC ? H1: G là trọng tâm ∆A’B’C’ G bất kỳ ta có điều gid? - Biểu thị 'GA , 'GB , 'GC theo quy tăc 3 điểm.? Bài 24(sgk) a)Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta có : GA + GB + GC = 0 = GG' + GA + GG' + GB + GG' + GC = 3 GG' + GA + GB + GC = 3 GG' G trùng G’ Vậy G là trọng tâm ∆ABC b)CM: Nếu có 0: G0 = 3 1 ( A0 + OB + OC ) G là trọng tâm ∆ABC Giải: G0 = 3 1 ( A0 + OB + OC ) = 3 1 ( G0 + GA + G0 + GB + G0 + GC ) = G0 + 3 1 GA + GB + GC GA + GB + GC = 0 G là trọng tâm ∆ABC theo a. * Tóm lại: G là trọng tâm ∆ABC GA + GB + GC = 0 hoặc 0 bất kỳ. G0 = 3 1 ( A0 + OB + OC ) Bài 26: (sgk) Giải: Do G’ là trọng tâm ∆A’B’C’ 3 'GG = 'GA + 'GB + 'GC = GA + ' AA + GB + ' BB + GC + 'CC TRƯỜNG THPT TAM GIANG Giáo Viên : Trần Dự-Nguyễn Việt Hưng 'GA = GA + ' AA 'GB = GB + ' BB 'GC = GC + 'CC G trùng G’ 3 'GG = 0 hay ' AA + ' BB + 'CC = 0 3 'GG = 'GA + 'GB + 'GC =……= ' AA + ' BB + 'CC H2: Để G trùng G’ ? điều kiện cần và đủ để 2 ∆ có trọng tâm trùng nhau là: = ' AA + ' BB + 'CC +( GA + GB + GC ) = ' AA + ' BB + 'CC Để G trùng G’ 3 'GG = 0 ' AA + ' BB + 'CC = 0 Vậy điều kiện cần và đủ để 2 ∆ có trọng tâm trùng nhau là: ' AA + ' BB + 'CC = 0 V/ Cũng cố và dặn dò: - Điều kiện cần và đủ để 2 vectơ cùng phương . - Điều kiện cần và đủ để 3 điểm thẳng hàng. - Hệ thức trung điểm đoạn thẳng. - Hệ thức trọng tâm tam giác. * Câu hỏi trắc nghiệm: Câu hỏi 1: Cho tam giác ABC vuông cân có AB =AC = a, độ dài của tổng 2 vectơ AB và AC bằng bao nhiêu? a) a 2 ; b) a 2 2 ; c) 2a ; d) a Câu hỏi 2: Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với BC= 12, tổng 2 vectơ GB + GC có độ dài bằng bao nhiêu? a) 2 ; b) 2 3 ; c) 8 ; d) 4 Câu hỏi 3: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD trong các đẳng thức dưới đây đẳng thức nào sai? a) 2 IJ = AB + CD b) 2 IJ = AC + BD c) 2 IJ = AD + BC d) 2 IJ + CA + BD = 0 Câu hỏi 4: Cho G là trọng tâm tam giác ABC, đặt GA = a , GB = b .Đẳng thức nào sau đây là sai? a) AB =- a + b ; b) GC =- a - b ; c) BC = a +2 b ; d) CA =2 a + b ; Đáp án: 1) A. 2) D. 3) A. 4) C. *Dặn dò: -Học thuộc bài và làm lại các bài tập đã giải. -Đọc trước bài trục toạ độ và hệ trục toạ độ. . Dự-Nguyễn Việt Hưng TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ (Số tiết 4: Hình Học Nâng Cao ). I/ Mục tiêu: - Kiến thức. + Học sinh nắm được tích của vectơ với một số. +Học sinh hiểu được các. c) Có nhận xét gì về 2 vectơ AC , 'AC ? 2/ Các tính chất của phép nhân vectơ với một số. Với a , b bất kỳ và k,l€ R Ta có: i) k( la ) = (kl) a. ii) (k+l) a = ka + la iii). dài của 2 vectơ a và b , c và d , để đi đến trường hợp tổng quát định nghĩa. - Gv nêu câu hỏi. Vẽ hình bình hành ABCD. a) Xác định điểm E sao cho Bài 4: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ