Giáo trình phân tích và hướng dẫn phương trình dao động điều hòa của sóng cơ học phần 5 pot

Có thể biểu diễn sự phân bố biên độ chấn động tổng hợp và cường độ sáng nhiễu xạ dọc theo trục PoX như trên các hình 28a và 28b.. Hình nhiễu xạ là các điểm sáng phân bố trên trục PoX, cự

Trang 1

2 Nhiễu xạ do một lỗ hình chữ nhật

Giả sử lỗ hổng trên màn E có dạng chữ nhật các cạnh là a, b

Chiếu một chùm tia tới song song theo phương SRo qua lỗ Ta hãy khảo sát cường độ ánh sáng nhiễu xạ theo phương R

Chọn tia SOR làm tia gốc Hiệu quang lộ giữa hai tia SIR và SOR là:

∆ = HI + IH’ = (SIR) – (SOR) Chọn các trục toạ độ trên mặt phẳng của lỗ là Ox, Oy GọiĠ là véctơ đơn vị trên tia tới

SI

Ta có : HI = Ġ= (ox + (oy Trong đó (o, (o là các cosin định hướng củaĠ:

αo = cos (Ox uuuur r , o βo= cos ( , ) oy uuur ro

x, y là các tọa độ của I

GọiĠ là véctơ đơn vị trên tia nhiễu xạ IR với các cosin định hướng là ( và (

Ta có :

IH = IO uuur r. = -αx - βy Vậy : ( = ((o - ()x + ((o - ()y Nếu chọn chấn động ở R (() ứng với tia SOR làm gốc vị tướng thì chấn động ở R (() truyền đi từ một diện tích vi cấp d( = dx.dy ở lân cận điểm I là

ds = K (θ,θ’) dσ cos(ωt -

λ

π∆ 2

)

ds = K (θ,θ’) cos ⎢⎣⎡ t− 2 ( o − )x−2λ (βo −β)y⎥⎦⎤dx.dy

π α α λ

π ω

Chấn động tổng hợp ở R (() là do sự giao thoa của các chấn động thứ cấp đi từ các diện tích vi cấp lấy trên diện tích của lỗ chữ nhật

Ta có :

a b

o o

Thực hiện tích phân (5.3), đi đến kết quả :

y H’

o

I

H

a

x

S

Ro(∞) Ro(∞) R(∞) R(∞)

o

Ur

ur

H 22

(E)

Ro

R

I H’

o

S

H

H.23

Click to buy NOW!

w

.d oc u -tra c k.

co m

w w w

co m

Trang 2

( )

R

(5.4) Tích số K.a.b có thể đặt bằng Ao

Từ (5.4) ta còn thấy rằng chấn động tổng hợp có cùng pha với chấn động thứ cấp xuất phát từ điểm ở giữa lỗ chữ nhật với tọa độ Ĩ)

c Các trường hợp giới hạn:

Biên độ AR của chấn động tổng hợp là tích của các hàm số có dạng sinu/u Trong trường hợp a và b rất lớn ta có và AR ( 0 Như vậy sẽ không có ánh sáng nhiễu xạ theo phương R nếu như ( ( (o và ( ( βo

Khi ( = (o và ( = (o nghĩa là phương R về trùng với phương Ro thì phươngĠ và AR =

Ao

Vậy Ao là biến độ chấn động tổng hợp theo phương Ro, nghĩa là ở ảnh hình học

3 Nhiễu xạ do một khe hẹp

a/ Sơ đồ thí nghiệm : Khe hẹp là trường hợp riêng của lỗ chữ nhật khi a rất nhỏ, ta có b >> a, xuất phát từ biên

độ sóng tổng hợp :

AR = Ao

b a

a

o o

o

β β λ π

β β λ π α

α λ π

α α λ π

−

.

sin

(5.5)

Ta thấy : + Nếu (o ( ( thìĠ hay I = A2R = 0 + Nếu (o = ( thìĉ

Khi đó : AR = AoĮ Vậy ta chỉ có ánh sáng nhiễu xạ theo các phương sao cho (=(o, nghĩa là theo các phương hợp với Oy một góc bằng góc của phương tới hợp với Oy Hình 24 giúp ta hình dung sự phân bố chùm tia nhiễu xạ từ điểm I IRo là phương tới, IR

là các phương nhiễu xạ Các tia nhiễu xạ tựa trên một mặt nón tròn xoay có trục đối xứng là IH (// Oy), nửa góc ở đỉnh có cosin bằng (o Nếu ta hứng chùm tia nhiễu xạ bằng một thấu kính hội tụ, thì ảnh nhiễu xạ sẽ hiện lên mặt phẳng tiêu của thấu kính Đó chính là giao tuyến của mặt phẳng tiêu với mặt nón trên

có chùm tia tới gần vuông góc tới Oy, khi đó mặt nón nói trên được coi một cách gần đúng là một mặt phẳng thẳng góc với Oy Sơ đồ thí nghiệm như hình vẽ 25

R Ro

R

H

I

H.24

w

co m

w w w

co m

Trang 3

Kết quả là trên màn ảnh, ảnh nhiễu xạ thu về một đường thẳng PX thẳng góc với khe

b Hình ảnh nhiễu xạ : Trong hình 25, bề dài b của khe thẳng góc với mặt của hình vẽ Thấu kính L1 tạo chùm tia sáng song song chiếu tới khe bề rộng a Thấu kính L2 hội tụ ánh sáng nhiễu xạ lên mặt phẳng tiêu của nó Như trên đã phân tích, chỉ có ánh sáng nhiễu xạ trên đường thẳng PoX

Để xác định vị trí các điểm tối và các điểm sáng, ta xuất phát từ công thức (5.5) với ( = (o, ta có :

AR = Ao ( )

( )a

a

o

α α λ π

−

− sin

(5.6)

Để thuận tiện ta dùng hệ thức tọa độ mới như trên hình 26 Góc tọa độ O được đặt tại quang tâm của vật kính L2

io = (oz, OPo) và i = (oz, OP) Các góc có góc theo quy ước chung

2 cos ,

, cos ,

⎠

⎞

⎜

⎝

= +

=

α

(Ox OP) [ (Ox Oz) (Oz OP) ] i sini

2 cos ,

, cos ,

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

= +

=

α

Vậy trong hệ tọa độ mới biểu thức biên độ sóng tổng hợp sẽ là:

AR = Ao

o

A

=

Trường hợp io và i, đều bé, ta có :

( )

(i i )a

a i i A

A

o

o o

R

−

=

λ

πλ

π

sin

L 1

L 2

X

P o

P

H 25

P

i o

x

i

z

o

~

Po

H 26

y

o

w

co m

w w w

co m

Trang 4

* Vị trí các điểm tối :

AR = 0 khi siŮ vớiĠ sin (i − a i o) = 0

λ

π

λ

π

k a i

Khoảng cách góc giữa 2 điểm tối kế tiếp là (i = ( / a Khoảng cách dài giữa chúng là (x = (F/a (5.9)

* Vị trí các điểm sáng:

Biên độ sáng tỉ đốiĠ vàĠa

Để xác định vị trí các điểm sáng ta tìm cực trị của hàm số :

u

Nghĩa là tìm nghiệm của ĉ

Phương trình (5.9) được giải bằng phương pháp đồ thị, trình bày trên hình (27) Nghiệm

số tìm được là :

( ) (2 1)

2

o

λ

a

F k i

i

2 1

=

cũng chính bằng khoảng cách giữa 2 điểm tối kế tiếp

Fλ/a

Cường độ sáng tỉ đối :

2 2

sin

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

u

u A

A I

I

o R o R

Tại các điểm sáng : u = (2k + 1ĩ, sinu = 1 Vậyĉ

a k i

2 1

=

−

a k i

y

u y=u

0

H 27

w

co m

w w w

co m

Trang 5

( )2 2

1 2

4

π

+

=

k I

I o R

Đối với 2 điểm sáng ở kế tiếp cực đại sáng trung tâm, ứng với k = 1, k = -2, ta có :

( )3 , 14 4% 3

4

2 2

o I

I

Tiếp đó :

( )3 , 14 1,6% 5

4

2 2

o I I

Hơn 90% năng lượng ánh sáng tập trung ở cực đại nhiễu xạ trung tâm Có thể biểu diễn

sự phân bố biên độ chấn động tổng hợp và cường độ sáng nhiễu xạ dọc theo trục PoX như trên các hình 28a và 28b Trên đây chúng ta đã khảo sát hình ảnh nhiễu xạ với nguồn sáng điểm S Hình nhiễu xạ là các điểm sáng phân bố trên trục PoX, cực đại trung tâm tại PoS

Để dễ quan sát, người ta dùng nguồn sáng S có dạng khe hẹp, mỗi điểm trên khe cho các cực đại nhiễu xạ như ta vừa khảo sát Các điểm trên khe liên tục và các hình nhiễu xạ cũng liên tục, các cực đại cùng nằm trên cùng một đường thẳng Do đó, trong trường hợp này, ta quan sát thấy hệ vân sáng tối hình thẳng song song với khe S

4 Nhiễu xạ qua nhiều khe hẹp - cách tử nhiễu xạ

a/ Cấu tạo của cách tử và cách bố trí thí nghiệm:

Cách tử phẳng gồm các khe hẹp song song cách đều nhau, và cùng nằm trên một mặt phẳng (H.29) Bề rộng của mỗi khe là a, khoảng không trong suốt giữa 2 khe có bề rộng là

b - Khoảng cách giữa 2 khe kế tiếp là d :

d = a + b (5.9)

của cách tử là N, bề rộng của cách tử là L = d N (5.10)

Cấu tạo của cách tử rất tinh vi, trên bề rộng 1 mm có đến hàng trăm, hàng ngàn khe

Có nhiều loại cách tử có cấu tạo riêng biệt nhưng đều dựa theo nguyên tắc : mặt sóng của chùm tia sáng tới được chia thành những phần đều đặn, lần lượt truyền qua và bị ngăn lại bởi cách tử Cách tử D được đặt như sơ đồ thí nghiệm trên hình 30 (kích thước của cách tử

o

R A A

a F

λ

2

−

a F

λ

−

a F

λ

a F

λ

2

1

P o

(b)

(a)

1 I/I o

H 28

H 29

w

co m

w w w

co m

Trang 6

đã được phóng đại) Sơ đồ này hoàn toàn tương tự sơ đồ thí nghiệm nhiễu xạ qua một khe hẹp trên hình 25 - Trở lại phần nhiễu xạ qua một khe ta thấy rằng cực đại trung tâm Po ở tại

vị trí ảnh hình học của S qua hai thấu kính, hoàn toàn không phụ thuộc vào vị trí của khe hẹp, khoảng cách giữa 2 cực đại và 2 cực tiểu kế tiếp bằng F (/a (H.28b), chỉ phụ thuộc vào

bề rộng a của mỗi khe Trong thí nghiệm trên, ánh sáng bị nhiễu xạ qua N khe, nhưng vì lý

lẽ nêu ở trên, N hình nhiễu xạ từng khít nhau, nên có thể suy ra rằng biểu đồ chấn động tổng hợp có dạng hình 28a với thừa số nhân N

Tuy nhiên, khác với trường hợp nhiễu xạ qua một khe, ở đây còn có hiện tượng giao thoa của N chấn động thứ cấp xuất phát từ N khe Trên hình 30 cho thấy N chấn động thứ cấp nhiễu xạ theo phương OP, và giao thoa với nhau tại P Từ phân tích định tính như trên, chúng ta sẽ tiến hành tính toán

b/ Tổng hợp biên độ các chấn động thứ cấp N khe:

Biên độ chấn động thứ cấp, nhiễu xạ theo phương OP, từ mỗi một khe, đã được tính trong biểu thức (5.7) :

( i i )a

a i i A

A

o

o o

p

sin sin

sin sin sin

1

−

=

λ

πλ π

Trước đây chúng ta đã xác định chấn động thứ cấp từ mỗi khe có pha như chấn động thứ cấp từ điểm giữa khe Như vậy có thể tính độ lệch pha giữa 2 khe kế tiếp khi đến P

Hiệu quang lộ ( = dsini - dsinio = d (sin i - sinio)

Độ lệch pha :ĉ Chúng ta tổng hợp N chấn động có biên độ bằng nhau A1P và độ lệch pha của 2 chấn động kế tiếp là ((

Với phương pháp cộng bằng sơ đồ véctơ, kết quả theo công thức (2.2) của chương giao thoa cho ta biên độ của chấn động tổng hợp :

2 sin 2 sin

ϕ

∆

=

2 sin 2

sin

ϕ

∆

u

u A

S

D

P

P o

H 30

i

J

i

i o

(+)

I

i o

H 30’

w

co m

w w w

co m

Trang 7

Cường độ sáng nhiễu xạ tại P :

2 2

2

2 2

sin

sin 2

P o

N u

u

ϕ ϕ

∆

=

∆

(5.12)

Khảo sát hàm số (5.12) chúng ta sẽ xác định được các cực đại và cực tiểu nhiễu xạ Cơng việc sẽ thuận tiện hơn nếu tách (5.12) thành 2 thừa số Dạng của thừa số thứ nhất

2

sin

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

u

biết trên hình 28b, với :

* Vị trí các cực tiểu nhiễu xạ là X = +_ k kF/a Các cực đại và cực tiểu của thừa số sau được phân tích bằng cách trở lại sơ đồ cộng véctơ

(a) ∆ϕ = k2π (b) N∆ϕ = k2π (c) N∆ϕ = (2k+1)π với k=0, (1, (2 k=(1, (2, …((0, N, 2N) k=(1, (2, …

cho cực đại chính

Hình 31 Chú ý : Độ lệch pha của chấn động thứ N so với chấn động thứ nhất là (N - 1)((

* Vị trí các cực đại chính:

Từ hình 31a, ta cĩ điều kiện cho các cực đại chính : ∆ϕ = 2kπ

π λ

π

k i i

với k = 0, +_ 1, +_ 2 (5.13)

Khoảng cách gĩc giữa 2 cực đại chính kế tiếp là (/d Khoảng cách trên màn quan sát là (X = F (/d (5.14) Cường độ sáng các cực đại chính

d k i

sin

O

C

B

A

O

C B

D

w

co m

w w w

co m

Trang 8

Vì ( )

N k

Nk

N

=

∆

π

π ϕ

ϕ

sin sin 2

sin 2 sin

Cho nên IMax = N2A2o( )

2

sin

u u

- Vị trí các cực tiểu (giao thoa) từ hình 31b, các cực tiểu giao thoa ứng với

N (( = k2(, với k ( 0, N, 2N

Ứng với sini - sinio = ū Khoảng cách giữa hai cực tiểu liên tiếp trên màn làĠ(với i và io nhỏ)

Với k = N -1 và k = N + 1, ta có hai cực tiểu bên cạnh cực đại chính (ứng với k - 1 trong công thức 5.13) Vậy bề rộng của cực đại chính là :

Nd

F F Nd

N Nd

⎢⎣

- Vị trí các cực đại phụ

Từ hình (31c) ta có điều kiện cực đại phụ

N ∆ϕ = (2 k + 1)π Suy ra sini - sinio = (2k + 1)

Nd

2

λ

Khoảng cách góc giữa 2 cực đại phụ kế tiếp : (/Nd Khoảng cách trên màn quan sát là (X = F (/Nd (khi xét i, io nhỏ) (5.15)

Khoảng cách này nhỏ so với khoảng cách trong (5.14) N lần Cường độ các cực đại phụ :

N k

k N

2 1 2 sin

2 1 2 sin 2

sin 2 sin

π

π ϕ

ϕ

+

=

∆

=Ġ (với k không lớn lắm) Cường độ sáng : Imax= N2A02Ġ Với k = 1, tỉ số cuối cùng cỡ 4%

Vậy cường độ sáng của các cực đại phụ nhỏ hơn cường độ sáng các cực đại chính nhiều lần

- Ở trên ta đã khảo sát một cách tổng quát, bây giờ ta để ý đến trường hợp riêng của cách

tử Với quang cụ này, số khe trên một đơn vị chiều dài khá lớn nên bề rộng của mỗi khe rất nhỏ, và chu kỳ của cách tử rất nhỏ (cỡ () Hậu quả là trong công thức:

cực đại chính

cự c t rị

H.32

w

co m

w w w

co m

Trang 9

( )

2 2

2

2 sin 2 sin sin

sin

sin sin sin

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

ϕ ϕ λ

πλ

a i i

a i i A

I

o

o o

P

Thừa số thứ 2 biến thiên không đáng kể khi góc nhiễu xạ i thay đổi Do đó sự biến thiên của Ip trên thực tế là do sự biến thiên của thừa số thứ 3 :Ġ Thừa số này xuất hiện là

do sự giao thoa giữa các chùm tia đi qua các khe của cách tử Vậy chính hiện tượng giao thoa đóng vai trò quan trọng trong sự phân bố cường độ sáng trên màn ảnh Các vân sáng ta thấy trên màn là vân do thừa số thứ 3, nghĩa là các vân giao thoa Trên thực tế cường độ các cực đại phụ không đáng kể nên trong trường hợp này ta thường không để ý đến và thấy trên màn ảnh một hệ thống gồm các vân sáng hẹp, cách nhau bởi những khoảng tối khá rộng

Phương của các vân sáng này như ta đã biết được xác định bởi công thức

d k i

sin

Ta thấyĠ chính là số khe n trên một đơn vị chiều dài của cách tử

Hình 32

Hình vẽ 30 được vẽ lại một cách tổng quát như hình 34

Lưu ý : Vì ta có điều kiện – i ≤ sini ≤ +1 Nên số vân sáng giao thoa cho bởi cách tử bị giới hạn Trong trường hợp tổng quát số vân sáng không đối xứng ở hai bên ảnh hình học

5 Nhiễu xạ do một lỗ tròn

a/ Cách bố trí dụng cụ thí nghiệm (H.35) Thấu kính L1 tạo từ nguồn điểm S một chùm tia sáng song song thẳng góc với mặt phẳng D của hổng tròn Thấu kính L2 đưa ảnh nhiễu xạ ở vô cực, gây ra bởi hổng tròn, về một màn ảnh E Po là ảnh hình học của S cho bởi hệ thống

n k i

sin

S

(E)

L 1

D

L 2

P o

P

H 33

w

co m

w w w

co m

Trang 10

Do sự đối xứng, ta được trên màn E các vân nhiễu xạ tròn cùng tâm Po

b/ Cường độ ánh sáng nhiễu xạ tại một điểm.(H.34)

Vì hiện tượng có tính đối xứng xung quanh Po, nên ta chỉ cần xét hiện tượng trên đường X’X

Gọi M là một điểm nằm trên đường kính X’X của hổng tròn và có hoành độ là x

Hiệu quang độ giữa hai tia nhiễu xạ đi qua O và qua M là:

( = MH = x sini’ = xi’ (ta chỉ cần lưu ý tới trị số tuyệt đối của các góc nhiễu xạ i’) Hay hiệu số pha là :

2 '

i

λ

π

µ =

Nếu chấn động tại Ro(() có dạng so = cos(t thì chấn động tại P (ứng với góc nhiễu xạ i’) gây ra bởi một diện tích d( vi cấp lấy gần điểm M (như hình vẽ)

ds = d( cos((t + (x) với d∑ = 2 a2 −x2 dx

Chấn động tại P gây ra bởi toàn hổng tròn là :

S =∫ds=∫dΣ cos(ωt+µx) +∫

−

+

−

a

dx x t x

y

o

x

H

M x’

H y’

H 34

i’

y

P o P

X x’

y’

L 1

L 2

X’

o

H 35

x

dΣ

M

x’

2 2

x

+

2 2

x

−

H 36

w

co m

w w w

co m

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	663,48 KB