Chun đề : Phép dời hình và phép đồng dạng I. Phương pháp : 1. Phép tònh tiến v T r : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x a y y b = + = + 2. Phép đối xứng trục Đ Ox : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = = − Đ Oy : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = − = 3. Phép đối xứng tâm Cho I(a; b). Đ I : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' 2 ' 2 x a x y b y = − = − Đặc biệt: Đ O : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x x y y = − = − 4. Phép quay Q (O,90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x = − = Q (O,–90 0 ) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' ' x y y x = = − 5. Phép vò tự Cho I(a; b). V (I,k) : M(x; y) a M′(x′; y′). Khi đó: ' (1 ) ' (1 ) x kx k a y ky k b = + − = + − Chú ý: Nếu phép dời hình (phép đồng dạng) biến ∆ ABC thành ∆ A ′ B ′ C ′ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ∆ A ′ B ′ C ′ . II. Bài tập : Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho M(2; 1). Tìm ảnh M’ của M qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ = − ur v ( 3;2) b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(-5; 3) d. Quay tâm O 1 góc 90 0 , -90 0 . e. Vị tự tâm B(1; -2) tỉ số k = -2 Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x – 3y +5 = 0. Tìm ảnh d’ của d qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ = − ur v (2; 2) b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(3; 2) d. Quay tâm O 1 góc 90 0 , -90 0 . Trang 37 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : Dùng biểu thức tọa độ để tìm ảnh Giáo viên : Đường Hồng Phúc (0985.516.507) e. Vị tự tâm B(-1; 2) tỉ số k = 1 2 Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng + − + − = 2 2 (C):x y 2x 4y 4 0 . Tìm ảnh (C’) của (C) qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ = − ur v (3; 2) b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(-4; 2) d. Quay tâm O 1 góc 90 0 , -90 0 . e. Vị tự tâm B(2;-3) tỉ số k = 3 Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; -2), đường thẳng d : x – 3y +5 = 0 và đường tròn (C) : ( x – 2 ) 2 + ( y + 3) = 4. Tìm ảnh M’ của M, d’ của d, (C’) của (C) qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm B(- 1; 3) tỉ số k = -3 và phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ = − − ur v ( 1; 2) b. Đối xứng trục Ox c. Đối xứng tâm A(4; 2) d. Quay tâm O 1 góc 90 0 , Bài 5 : Một số bài tốn ngược a. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v r = (2; m). Tìm m để phép tònh tiến v T r biến d thành chính nó. b. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 9 và (C’) : x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến (C) thành (C’). Viết phương trình trục đối xứng. c. Cho 2 đường thẳng d : x + 3y – 4 = 0 và d’ : 2x – y + 3 = 0. Tìm phép đối xứng trục biế d thành d’ d. Phép đối xứng tâm I biến d : x – y – 2 =0 thành d’ : x – y + 3 = 0, ∆ : 2x + y – 1 = 0 thành '∆ : 2x + y + 4 = 0. Tìm tâm I e. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 4 và (C’) : x 2 + y 2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự Bài 1 : Cho hình vng ABCD tâm O . a. Dựng ảnh của ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO . b. Dựng ảnh của ∆AOB qua phép đối xứng trục CD c. Dựng ảnh của ∆AOB qua phép đối xứng A Bài 2 : Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AG, G là trọng tâm tam giác ABC. Bài 3 : Dựng ảnh của Ngũ giác đều ABCDE qua phép đối xứng tâm I là trung điểm cạnh AB. Bài 4 : Dựng ảnh của Tam giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 , biết hình vng ABCD tâm O có M là trung đ iểm AB, N là trung điểm OA. Bài 5 : Dựng ảnh của Hình lục giác đều ABCDEF qua phép vị tự tâm I là trung điểm BC, tỉ số 1 k 2 = Bài 6 : Dựng ảnh của Đ ường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số -2 cho trước. Bài 7 : Dựng ảnh của Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; 2R). Tìm các phép vị tự Trang 38 Vấn đề 2 : Bài tốn vẽ hình - dựng hình Chun đề : Phép dời hình và phép đồng dạng biến (O; R) thành (O’; 2R). Bài 1 : Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỷ tích trực tâm H bằng phép : a. Phép tịnh tiến b. Phép đối xứng trục c. phép đối xứng tâm DH : a. Vẽ đường kính BB ′ . Xét phép tònh tiến theo 'v B C= uuuur r . Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó. b. Gọi H ′ là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với (O). Xét phép đối xứng trục BC. Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép Đ BC . c. Gọi I là trung điểm của BC. Đ I (H ′ ) = H ⇒ Q tích điểm H là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép Đ I . Bài 2 : Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố đònh và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF. HD : Gọi H là trực tâm ∆ CEF, K là trực tâm ∆ DEF. Xét phép tònh tiến theo vectơ v BA= uuur r . Tập hợp các điểm H vàK là đường tròn (O ′ ) ảnh của (O) qua phép tònh tiến đó (trừ hai điểm A và A' với 'AA BA= uuur uuur ). Bài 3 : Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong góc này. Tìm điểm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABC là bé nhất. HD: Xét các phép đối xứng trục: Đ Ox (A) = A 1 ; Đ Oy (A) = A 2 . B, C là các giao điểm của A 1 A 2 với các cạnh Ox, Oy. Bài 4 : Cho đường tròn (O, R) và một dây cố đònh AB = R 2 . Điểm M chạy trên cung lớn » AB thoả mãn ∆MAB có các góc đều nhọn, có H là trực tâm. AH và BH cắt (O) theo thứ tự tại A′ và B′. A′B cắt AB′ tại N. a) Chứng minh A′B′ cũng là đường kính của đường tròn (O, R). b) Tứ giác AMBN là hình bình hành. c) HN có độ dài không đổi khi M chạy như trên. d) HN cắt A′B′ tại I. Tìm tập hợp các điểm I khi M chạy như trên. HD: a) · ' 'A BB = 1v b) AM //A ′ N, BM // AN c) HN = B ′ A ′ = 2R d) Gọi J là trung điểm AB. Đ J (M) = N, Đ J (O) = O ′ . · 'OIO = 1v ⇒ Tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính OO′. Bài 5 : Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác BAE và CAF vuông cân tại A. Gọi I, M, J theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh ∆IMJ vuông cân. HD: Xét phép quay Q (A,90 0 ) . Bài 6 : Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE và BCF nằm cùng về một phía so với đường thẳng AB. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AF, CE. Chứng minh ∆BMN đều. HD: Xét phép quay Q (B,60 0 ) . Bài 7 : Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O). a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh. Trang 39 Vấn đề 2 : Bài tốn vẽ hình - dựng hình Giáo viên : Đường Hồng Phúc (0985.516.507) b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ, trực tâm H của ∆MPQ. HD: a) Kẻ OI ⊥ d, OI cắt PQ tại N. 2 .OI ON r= uur uuur ⇒ N cố đònh. b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O 1 ) đường kính NO. Tập hợp các điểm O ′ đường trung trực đoạn OI. Tập hợp các điểm H là đường tròn (O 2 ) = V (O,2) . ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Cho hình bình hành ABCD có CD cố đònh, đường chéo AC = a không đổi. Chứng minh rằng khi A di động thì điểm B di động trên một đường tròn xác đònh. 2. Cho 2 điểm A, B cố đònh thuộc đường tròn (C) cho trước. M là một điểm di động trên (C) nhưng không trùng với A và B. Dựng hình bình hành AMBN. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N là một đường tròn. 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố đònh. 4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI. a) Xác đònh một phép dời hình biến A thành B, I thành E. b) Dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy. 5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O′; R′). Xác đònh các tâm vò tự của hai đường tròn nếu R′ = 2R và OO′ = 3 2 R. 6. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E. a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M. b) Tứ giác CDNE là hình gì? c) Tìm tập hợp trọng tâm G của ∆MAC. HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD ⇒ CDNE là hình thang. c) Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn (K, 3 R ) ảnh của đường tròn (O, R) qua phép 1 ( , ) 3 I V . 7. Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. CM cắt AD tại N. Chứng minh rằng: a) CM + CN = EF b) 2 2 2 1 1 1 CM CN AB + = HD: Xét phép quay Q (C,90 0 ) . 8. Cho v r = (–2; 1), các đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0, d 1 : 2x – 3y – 5 = 0. a) Viết phương trình đường thẳng d′ = v T r (d). b) Tìm toạ độ vectơ u r vuông góc với phương của d sao cho d 1 = u T r (d). 9. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C′) = v T r (C) với v r = (–2; 5). 10. Cho M(3; –5), đường thẳng d: 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. Trang 40 Chun đề : Phép dời hình và phép đồng dạng a) Tìm ảnh của M, d, (C) qua phép đối xứng trục Ox. b) Tìm ảnh của d và (C) qua phép đối xứng tâm M. 11. Tìm điểm M trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB là ngắn nhất với A(0; –2), B(1; –1). 12. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn tâm A(–2; 3) bán kính 4 qua phép đối xứng tâm, biết: a) Tâm đối xứng là gốc toạ độ O b) Tâm đối xứng là điểm I(–4; 2) 13. Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d′ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc quay α, với: a) α = 90 0 b) α = 40 0 . 14. Cho v r = (3; 1) và đường thẳng d: y = 2x. Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 90 0 và phép tònh tiến theo vectơ v r . 15. Cho đường thẳng d: y = 2 2 . Viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k = 1 2 và phép quay tâm O góc 45 0 . 16. Cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k = – 2 và phép đối xứng qua trục Oy. Xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M′(–2x + 3; 2y – 1). Chứng minh F là một phép đồng dạng. Trang 41 . đường tròn (O; R) và (O’; 2R). Tìm các phép vị tự Trang 38 Vấn đề 2 : Bài tốn vẽ hình - dựng hình Chun đề : Phép dời hình và phép đồng dạng biến (O; R) thành (O’; 2R). Bài 1 : Cho hai điểm A, B cố. giác ABC hình vuông CBEF. Chứng minh điểm E chạy trên một nửa đường tròn cố đònh. 4. Cho hình vuông ABCD có tâm I. Trên tia BC lấy điểm E sao cho BE = AI. a) Xác đònh một phép dời hình biến. tròn (O). a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh. Trang 39 Vấn đề 2 : Bài tốn vẽ hình - dựng hình Giáo viên : Đường Hồng Phúc (0985.516.507) b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′