1 Chứng minh rằng các tam giác IDA ñồng dạng với tam giác IJD.. 2 Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.. Hình vuông MNPQ có các ñỉnh M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và các ñỉnh P, Q thu
Trang 1http://maichoi.vuicaida.com Download Ebook Chuyên Nghiệp Nhất VN
ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN CHUYÊN
NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 150 phút,không kề thời gian giao ñề
Câu I 1) Cho phương trình x2−mx+2m− =2 0 ( )1
a) Chứng minh rằng (1) không thể có 2 nghiệm ñều âm
b) Giả sử x x1, 2là 2 nghiệm của pt (1) Chứng minh rằng biểu thức sau:
2 2
1 2
(x 2x 2)(x 2x 2)
A
=
+ không phụ thuộc vào giá trí của m
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
= +
= +
= +
Câu II Cho tam giác ABC không cân ðường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F ðường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K
1) Chứng minh rằng các tam giác IDA ñồng dạng với tam giác IJD
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD
Câu III Cho góc xAy vuông và 2 ñiểm B và C lần lựot trên các tia Ax, Ay Hình vuông MNPQ có các
ñỉnh M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và các ñỉnh P, Q thuộc cạnh BC
1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và ñường cao AH = h của tam giác ABC 2) Cho B và C thay ñổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = 2
k = const Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ
Câu IV Một số nguyên dương n ñựoc gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phuơng các chữ số của nó
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chử số
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim
Câu V Trong một giải vô ñịch bóng ñá có 6 ñội tham gia Theo ñiều lệ của giải, hai ñội bóng bất kỳ thi
ñấu với nhau ñúng một trận, ñội thắng ñược 3 ñiểm, ñội thua 0 ñiểm và ñội hòa ñược 1 ñiểm Kết thúc giả, số ñiểm của mỗi ñội lần lượt là D D D D D D1, 2, 3, 4, 5, 6(D1 ≥D2 ≥D3 ≥D4 ≥D5 ≥D6)
Biết rằng ñội bóng với ñiểm D1 thua ñúng một trận và D1 =D2 +D3 =D4+D5+D6 Hãy tìm 1
D và D6
HẾT
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I
1) a) Xét phương trình có 2 nghiệm ñều âm Tức là:
Vậy phương trình ban ñầu không thể có 2 nghiệm phân biệt ñều âm (ñpcm)
c) Theo hệ thức Viete ta có: x1+ x2 = m và x x1 2 = 2 m − 2
Do ñó, ta ñược:
1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 1 2 2 2 4 1 4 2 4
x − x + x − x + = x x − x x + x x + x + x x + x − x + x +
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 4
x x x x x x x x x x
2 m 2 2 2 m 2 m 2 m 4 m 4
4 m 8 m 4 4 m 4 m 2 m 4 m 4
( )2 2
2 m 8 m 8 2 m 2
x + x = x + x − x x = m − m − 2 ( )2
2
2
2 2
1 2
2 2
Không phụ thuộc vào giá trị của m (ñpcm)
2)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1
3
x y z
y z x x y z
z x y
Khi hoán vị vòng quanh x y z , , hệ phương trình không thay ñổi Do ñó ta có thể giả sử
max , ,
Mặt khác x ≥ y Nên x = y ⇒ = x y z y z = = Khi ñó (1) thành:
0
2
x
x x x x x x
x
=
=
0 1 2
x y z
x y z
= = =
⇒
= = =
Vậy nghiệm của hệ phương trình ban ñầu là:( , , ) ( 0, 0, 0 ; ) 1 1 1 , ,
2 2 2
x y z =
Câu II
1) Chứng minh rằng tam giác IJD ñồng dạng với tam giác IDA
Ta có AE = AF ( AE và AF là tiếp tuyến của (I)) IF = IE ( F,E cùng thuộc (I))
Nên AI là trung trực của EF J là giao ñiểm của AI và EF Suy ra AI ⊥ EFtại J
Mặt khác ta có tam giác IFA vuông ở F Suy ra IF2 = IJ IA Mà IF = ID (F,D cùng thuộc (I))
Nên ID2 = IJ IA Nên ID IA
IJ = ID, ∠ Ichung Vậy tam giác IJD ñồng dạng với tam giác IDA
Trang 32) Chứng minh KI vuông góc với AD
Gọi H là giao ñiểm của KI và AD Ta có tam giác IJD ñồng dạng với tam giác IDA (cmt)
IJD IDA
⇒ ∠ = ∠ Mặt khác JIDK là tứ giác nội tiếp (∠ + ∠ = J D 180
)
IDA IJD IKD IDH IKD
⇒ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠ Có ∠ Ichung
Nên tam giác IDH ñồng dạng tam giác IKD (g g) Nên ∠ IHD = 90⇒ KI ⊥ AD
tại H
Câu III
1) Tính các cạnh của hình vuông MNPQ theo a và h
Gọi xlà ñộ dài các cạnh của hình vuông MNPQ I là giao ñiểm của AH và MN
Suy ra AI = − h x Ta có: [ ABC ] [ = BMQ ] [ + AMN ] [ + NPC ]
2 a h = 2 x h − x + 2 x PC + 2 x BQ + x
= x h ( − + − + x a x 2 x ) = x a ( + h ) a h x a ( h ) x ah
a h
+
2) Tìm max [MNPQ]
2
ah k MNPQ x
a h a h
+ + Ta có
4 a + h = 4 a + 4 h + 8 ah = 3 a + a + 4 h + 8 k
3 AB BC a 4 h 8 k 6 AB AB 4 ah 8 k 6 k 4 k 8 k 18 k
Vậy ( )
2
a h
AB AC
ABC
A H
=
=
cân ở A Vậy max [MNPQ] là
2
2 9
k
khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân ở A
Câu IV
1) Giả sử tồn tại số bạch kim có 3 chữ số là abc ( a, b, c là các chữ số ; a khác 0)
Ta có abc = a2+ b2+ c2 Mặt khác, ta có:
abc = a + b c + = a + b + a c + > a + b + > a + b + c
(vì 10 a > a2,10 b > b2,90 a + ≥ c 90 81 > ≥ c2) Nên không thể có số bạch kim có 3 chữ số Suy ra ñiều phải chứng minh
2) Xét số n có k chữ số Suy ra n = a a a1 2 3 ak
a k ≥ 3: n ≥ 100 a1+ 10 a2+ + 10 ak−1+ ak > a12 + a22+ + ak2
Vậy không tồn tại số bạch kim có lớn hơn hay bằng 3 chữ số
b k = 1: n = a Ta có ( ) ( )
( )
1
a L
a a a a
a N
=
=
c k = 2: n = ab (a, b là các chữ số a khác 0)
Ta có ab = a2+ b2 ⇒ 10 a b + = a2+ b2 ⇔ 40 a + 4 b = 4 a2+ 4 b2
Hay ( ) (2 )2 ( )
2 a − 10 + 2 b − 1 = 101 **
Mặt khác ta có 2 a − 10 < 10 vì a khác 0 và a ≤ 9 (2 a − 10) 22⋮
Trang 4Số 101 chỉ có 1 cách phân tích thành tổng hai số chính phưong là 101 10 = + 1
Do vậy (**) không thể xảy ra Vậy không có số bạch kim có 2 chữ số
KẾT LUẬN, số bạch kim duy nhất là n = 1
Câu V
Các ñội từ 2 ñến 6 ñấu với nhau thì tổng số trận các ñội này ñấu với hau là 5.4
10
2 = Mà tổng số ñiểm tối thiểu ở mỗi trận là 2 nên tổng số ñiểm của 5 ñội từ 2 ñến 6 thi ñấu với nhau tối thiểu là 2.10 = 20 Mà trong 5 ñội này có 1 ñội thắng ñội 1 nên số ñiểm tối thiểu 5 ñội này trên toàn ñợt là 23 ñiểm Suy ra D2+ + D6 ≥ 23 ⇒ 2 D1≥ 23 ⇒ D1≥ 12
ðội 1 5 trận trong ñó có 1 trận thua nên ñiểm tối ña của ñộii 1 là 4.3 = 12 Suy ra
12 ≤ D ≤ 12 ⇒ D = 12 ( 4 Thắng – 1 thua )
Gọi xlà số trận thắng – thua không có ñội 1
y là số trận hòa
⇔
Suy ra có 1 trận thắng – thua và 9 trận hòa giữa các ñội từ 2 ñến 6 ñấu nhau⇒ 12 3 ≥ D6 ⇒ D6≤ 4 Nếu D <6 4:Vì ñội 6 không thể có nhiều hơn2 trận thua Khia ñó, trong các trận giữa ñội 2 ñến ñội 6 sẽ có nhiều hơn 1 trận thua trái với x = 1 Vậy ñội 6 thua ñội 1 Vậy 1 trận thua còn lại của ñội 6 thuộc các trận từ 2 ñến 6 Nếu các trận còn lại trong nhóm từ 2 ñến 6 hòa hết Suy raD4+ D5 = 9 Do D4 ≥ ⇒ 4 D4 = 5, D5 = 4(*)
2 3 12
D + D = ðội 2 có tổng ñiểm thi ñấu trong nhóm 2 ñến 6 là bé hơn hay bằng 3.1+3 = 6 ðội 3 tương tự có ñiểm thi ñấu trong nhòm 2 ñến 6 làa bé hơn hay bằng 6 Suy ra ðiểm số của ñội 2 và 3 thi ñấu trong nhóm < 12 Vậy một trong 2 ñội 2, 3 thắng ñội 1 Nên tổng ñiểm ñội 2,
3 trong nhóm 6 ñội là 9 ñiểm Suy ra trong hai ñội 2, 3 có 1 ñội thắng ñội 6 Suy ra ñội 4 hòa các ñội 2, 3, 5, 6 Nên D =4 4( mâu thuẫn với (*)) Vậy D =6 4
KẾT LUẬN, D1= 12, D6 = 4
NGƯỜI GIÀI ðỀ : NGUYỄN LÂM MINH ( TP HỒ CHÍ MINH)