Truyền nhiệt - Chương 2 docx

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với các trường hợp trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật hình cầu... TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Xét trườ

Chương II

Sunday, October 05, 2008 DẪN NHIỆT

ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU

A PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

Ta lần lượt khảo sát trong ba hệ tọa độ tương ứng với

các trường hợp trong vách phẳng, trong vật hình trụ và vật

hình cầu

I TRONG HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách phẳng rộng so với

chiều dày, mật độ dòng nhiệt đồng đều

o Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương vuông góc vách

o Mặt đẳng nhiệt song song bề mặt vách

Xét phần tử vách như sau

o Chọn trục tọa độ vuông góc mặt đẳng nhiệt

o Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo

thiênbiếnV

trongsinh

phát

lượngnhiệt

xxtạiradẫn

lượngnhiệt

xtại

'



' '

x x

EQ

˜



˜'

˜

˜

˜U



˜

˜'

'

'

W W '

 W W

W '

 W

W W '

 W '

xFqVqQ

ttxFCt

tCm

EE

E

v v

V V

Thế vào phương trình 2-1, ta có:

Chia phương trình trên cho F˜'x, ta được

W'



˜

˜U

'



˜

Cq

x

QQ

F

1

v x x

o'0

0x

Ww

w

˜

˜U

w

˜

˜Ow

w

x

tFxF

w

ww

w'



'

 o

tFx

x

Qx

QQ

0 x

Với diện tích F const, phương trình 2-3 được viết lại

Ww

w

˜

˜U

w

˜Ow

Cq

x

t

II TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách trụ có chiều dài lớn

so với bán kính, mật độ dòng nhiệt đồng đều

o Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính

o Mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng tâm Xét phần tử vách như sau

o Chọn trục tọa độ trùng với trục ống

o Phương trình bảo toàn năng lượng cho phần tử khảo sát như sau

trongsinh

phát

lượngnhiệt

rrtạiradẫn

lượngnhiệt

rtại

'



' '

r r

EQ

˜



˜'

˜

˜

˜U



˜

˜'

'

'

W W '

 W W

W '

 W

W W '

 W '

rFqVqQ

ttrFCt

tCm

EE

E

v v

V V

Thế vào phương trình 2-5, ta có:

W'



˜'

˜

˜

˜U'

FqQ

Qr r r v

Chia phương trình trên cho F˜ , lấy giới hạn và sử 'r

dụng định luật Fourier

W'



˜

˜U

'



˜

Cq

r

QQ

F

1

v r r

Ww

w

˜

˜U

w

˜

˜Ow

w

r

tFrF

1

Với diện tích F 2S˜r˜L, phương trình 2-7 được viết lại

Ww

w

˜

˜U

w

˜O

˜w

w

r

trrr

1

III TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU

Xét trường hợp dẫn nhiệt qua vách cầu, mật độ dòng nhiệt đồng đều trên bề mặt

o Nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính

o Mặt đẳng nhiệt là những mặt cầu đồng tâm Xét phần tử vách như sau

Thực hiện tương tự như phần vách trụ, với lưu ý diện tích F 4S˜r2thế vào 2-7, phương trình dẫn nhiệt

w

˜

˜U

IV TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

CHO TRƯỜNG MỘT CHIỀU

Từ các phương trình 2-4, 2-8 và 2-9, ta có dạng tổng

quát cho trường một chiều như sau:

Ww

w

˜

˜U

˜w

w

r

tr

rr

1

v n

0n

ii Tọa độ trụ

w

˜O

w

˜w

w

a

1qr

trrr

dr

10

n˜ ¨©§ ˜ ¸¹· O

oW

w

ii Trường hợp không có nguồn nhiệt bên trong

Ww

w

˜w

trrr

10

iii Trường hợp dẫn nhiệt ổn định không có nguồn nhiệt bên trong

0dr

dtrdr

d0

q

0

t

n v

(2-14)

B ĐIỀU KIỆN BIÊN - ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Giải phương trình vi phân ta được nghiệm tổng quát, đối

với từng trường hợp cụ thể sẽ có tương ứng điều kiện biên,

kết hợp lại sẽ xác định được phương trình riêng tương ứng

I ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Là hàm phân bố nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu khảo sát,

tổng quát

x,y,z,0 t x,y,z

II ĐIỀU KIỆN BIÊN THEO NHIỆT ĐỘ

Nhiệt độ bề mặt rất dễ xác định, do vậy điều kiện biên

nhiệt có thể cho theo nhiệt độ bề mặt

Ví dụ cho trường hợp vách phẳng có chiều dày G

¯

®

­WG

W

2

1

t,t

t,0t

(2-16)

III ĐIỀU KIỆN BIÊN MẬT ĐỘ DÒNG NHIỆT

Khi biết đầy đủ thông tin về tương tác năng lượng ở bề mặt o xác định được mật độ dòng nhiệt o được sử dụng làm điều kiện biên

¸¸¹

·

¨¨©

§w

w

˜O



xtrívịmặtbềtại

đổitraonhiệtdòngx

t

Lưu ý: Chiều hướng dòng nhiệt dẫn trong vách và

dòng nhiệt trên bề mặt

Điều kiện biên:

0

qx

,0tw

Ww

˜O

˜O

x,t

Trường hợp bề mặt được cách nhiệt tốt

x

,0tw

Ww

˜O

x

,tw

WGw

˜O

x

,0tw

Ww

w

WGw

lưuđốilượngnhiệt

mặtbềđến

dẫnlượngnhiệt

D ˜>   W

w

˜O

x

,0t

1 f

WG

˜D

w

˜O

Ví dụ

V ĐIỀU KIỆN BIÊN BỨC XẠ

xạbứclượngnhiệt

mặtbềđến

dẫnlượngnhiệt

H ˜V˜>  W @

w

Ww

˜O

x

,0

1 , surr

và

2 , surr 4

x

,0t

WG

˜V

˜Hw

Ww

˜O

Ví dụ

VI ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC

Trường hợp tiếp xúc lý tưởng giữa hai vách

,x

B o

A A

w

Ww

˜O

w

Ww

˜O

VII ĐIỀU KIỆN BIÊN SUY RỘNG

đổitraolượngnhiệt

tổngmặt

bềđến

dẫnlượngnhiệt

C MỘT SỐ VÍ DỤ

D DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU KHÔNG CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG

I PHƯƠNG TRÌNH DẪN NHIỆT

Từ phương trình 2-10

Ww

w

˜

˜U

˜w

w

r

tr

rr

1

v n

w0t

0

qv

Ta được

0r

tr

˜w

Trường hợp hệ số dẫn nhiệt O const

0r

trr

w

˜w

0n

ii Tọa độ trụ

II DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG

1 Vách Phẳng Một Lớp

Xét vách phẳng đồng chất, đẳng hướng, mật độ dòng

nhiệt đồng đều trên bề mặt

t

Chiều dày G, m

Hệ số dẫn nhiệt O, W/(m.K)

Nhiệt độ bề mặt hai bên

vách được duy trì không đổi t1, t2

Vách có chiều rộng rất lớn so

với chiều dày, như vậy nhiệt độ

chỉ biến thiên theo phương

vuông gốc với mặt phẳng

o dẫn nhiệt ổn định một chiều

td

tt

tt

(2-26) Tích phân phương trình 2-25 ta được nghiệm:

2

1 x CC

˜ O

u

2 1

2

2 1

1

CC

t

C0Ct

1 2 1

tC

ttC

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

xttt



R

tt)F(

tt

F

R

˜O

G

O Nhiệt trở dẫn nhiệt qua1 lớp vách phẳng,

WK

Hình dưới cho ta thấy sự tương đương của các đại lượng

trong hai công thức:

Phương trình 2-27 cũng có thể viết lại:

x

qt

O

Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt là hằng số, phân bố

nhiệt độ trong vách là hàm tuyến tính

Do diện tích các mặt đều giống nhau, nhiệt trở RO có thể tính tương ứng cho F 1m2 và công thức 2-30 chính là mật độ dòng nhiệt qF

2 Dẫn Nhiệt Qua Vách Phẳng Nhiều Lớp

Giả sử ta có vách phẳng gồm 3 lớp như hình bên dưới

Ta tính cho một đơn vị diện tích, các vách tiếp xúc lý tưởng

2

3 2 2

1

2 1 1

R

ttqR

ttqR

ttq

2

2 2

RO

G

3

3 3

RO

G

1

1 1

ROG

3

t

1

Ở chế độ dẫn nhiệt ổn định, dòng nhiệt qua các bề mặt

đẳng nhiệt bất kỳ của các vách phẳng phải bằng nhau:

F 3 2

qhay0x

qw

Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có

3 2 1

4 1 3

4 3 2

3 2 1

2 1

3 2

4 2 2 1

3 1 1

2 1

RRR

ttR

ttR

ttR

tt

RR

ttRR

ttR

ttq

4 1 3

2 1

4 1 F

ttR

RR

ttq

O

G

O

G

O



n 1

i i i

1 n 1 F

tt

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Phẳng

Trường hợp này có trao đổi nhiệt đối lưu của lưu chất

Ta viết phương trình tính nhiệt lượng trao đổi đối lưu theo Newton đồng dạng định luật Ohm như sau:





˜

˜D

R

tt)F(1

tt

W,ttFQ

f w f w

f w

F

1R

˜D

D Nhiệt trở đối lưu của vách phẳng, K WXét hai lưu chất trao đổi nhiệt qua vách phẳng 2 lớp như hình sau:

Hệ phương trình trao đổi nhiệt





˜

˜D



˜OG





˜

˜GO



˜OG





˜

˜GO



˜D





˜

˜D

D D

O O

O O

D D

2

2 f 3 2

2 f 3 2 f 3 2 2

2

3 2 2

2

3 2 3

2 2

2 2

1

2 1 1

1

2 1 2

1 1

1 1

1

1 1 f 1

1 1 f 1 1 f 1 1

R

tt)F(1

ttt

tFQ

R

tt)F(

ttt

tFQ

R

tt)F(

ttt

tFQ

R

tt)F(1

ttttFQ

(2-38)

Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có

QQQQ

Từ sơ đồ mạng nhiệt ta có:

2 2 1 1

2 f 1 f

2

2 f 3 2

3 2 1

2 1 1

1 1 f

2

2 f 3 2 2

2 f 2 2 2 1

2 f 1

2 1 1

3 1 f 1

1

2 1 f 1

1 1 f

RRRR

tt

R

ttR

ttR

ttR

tt

R

ttRR

ttR

RR

tt

RRR

ttR

R

ttR

ttQ

D O O D

D O

O D

D D

O D O O

O O D O D D

F1

ttQ

2 2

2 1

1 1

2 f 1 f

˜D



˜O

G



˜O

G



˜D

2 f 1 f F

ttk

mW,11

ttF

Qq



˜

D

O

G

O

G

D



(2-42)

với

2 2 2 1 1 1

1k

D

O

G

O

G

D

)K.m(

gọi là hệ số truyền nhiệt qua vách phẳng

Trường hợp vách n lớp

2 i i 1

1k

D

O

i i

i F 1 1 k

1

F 1 f 1

qtt

qtt

(2-45)

4 Dẫn Nhiệt Qua Vách Phức Hợp

Trường hợp này vách gồm tổ hợp nhiều vật liệu khác nhau

Nhiệt lượng truyền qua các lớp vách:

'R

t

với tổng nhiệt trở ¦R O tính tương ứng như mạch điện trở

Ví dụ tính tổng nhiệt trở cho lớp vách phức hợp sau:

5 Nhiệt Trở Tiếp Xúc

III DẪN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ

1 Trường Hợp Vách Trụ Một Lớp

Xét vách trụ 1 lớp như hình bên dưới Đường kính trong

, m

1

1 2.rdĐường kính ngoài , m

2

2 2.rdChiều dài L, m Hệ số dẫn nhiệt O, (m.K)

WNhiệt độ bề mặt vách phía trong và phía ngoài là

t1 và t2

Phương trình 2-24 được viết lại như sau

0dr

dtrdr

1 1

trt

trt

(2-49) Tích phân phương trình 2-48 ta được nghiệm:

1

1

CrlnCt

r

Cdr

2 1 1 1

CrlnCt

CrlnCt

1 2 1 2

1 2

1 2 1

rlnrrln

tttC

rrln

ttC

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

1 2

1

rrln

rrlntr

r

CLr.2dr

dtFQ

1 2

2 1

1 cylinder



˜

˜O

˜S

˜

˜S

˜O



˜

˜O

lượngnăngthiênbiếnvách

radẫn

lượngnhiệtvách

vàodẫn

lượngnhiệt

Dẫn nhiệt ổn định 0

d

dE Wo

Nhiệt dẫn qua cylinder xác định như sau

dr

dtF

³

˜S

2

1 2

1

t t r

r

cylinder

dtr

drL2

rrln

ttL2

Phương trình trên có thể viết ở dạng mạng nhiệt trở

cyl

2 1 cylinder

R

tt

Với nhiệt trở Rcyl

L2

rrln

cyl

˜O

˜

Lưu ý: Nhiệt lượng truyền qua tại hai bề mặt bằng nhau

Nhưng mật độ dòng nhiệt khác nhau trên hai bề mặt:

1

Q

2 1

2

2 2

1

1 1

r.2

Qq

S

qq

Lr.2

Qq

L

!

Để thuận tiện trong tính toán, người ta thường tính nhiệt

lượng dẫn qua ứng với L m chiều dài ống: 1

˜S



R

ttddln2

1

ttL

Q

1 2

2 1

O

2

ddln

" Nhiệt trở qua 1 lớp vách trụ ứng với

1m chiều dài ống, (m.K) W

Lưu ý: Trong trường hợp d2 d1  , có thể sử dụng 2

công thức vách phẳng để tính toán Diện tích vách lấy theo đường kính trung bình

 2 1

2 1 tb

tb

dd5,0

dd5,0d

d.LF



˜G

Q ˜ " ˜Mật độ dòng nhiệt tính cho một đơn vị diện tích:

t

qF ˜'G

.qd.qL

˜S

˜

Nhiệt trở

Ld

ttR

ttQ

tb

2 1 2

1

˜O

˜SG





O

2 Dẫn Nhiệt Qua Vách Trụ Nhiều Lớp

Xét vách trụ 3 lớp như hình dưới đây

Ta có phương trình dẫn nhiệt trong trường hợp ổn định

3 4 3

2 3 2

1 2 1

4 1

4 1 4

3 3 2 2 1

4 2 3

1 2 1

d

dlnL2

1d

dlnL2

1d

dlnL.21

tt

RRR

ttR

ttR

ttR

tt

RR

ttR

R

ttR

ttQ

3 2 1 3

2 1

3 2 2 1 1

˜

˜SO



˜

˜SO



˜

˜OS

O O

O O O O O

d1d1d1

ttL

Trường hợp vách trụ có n lớp

Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp:



˜

˜S

n 1

1 i i

1 n 1

d

dln1

ttL2

˜

˜S

1

1 i i

1 1 k

d

dln1L2

Qt



n 1

i i tb i i

1 n 1

dL1

tt

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Trụ

Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu ở vách trụ

W,R

tt)rL.2(1

tt

W,ttLr.2

W,ttFQ

f w f

w

f w

f w

D

D

D

˜

˜S





˜D

˜

˜S



˜D

D

rL.2

1

R nhiệt trở đối lưu của vách trụ có chiều

dài L ở bán kính r, K W

Trong trường hợp trao đổi nhiệt ổn định, ta có

QQQ

rlnr

1

ttL2

RRR

ttR

ttR

ttR

tt

RR

ttRR

ttR

ttQ

2 2

1 2 1

1

2 f 1 f

2 1

2 f 1 f 2

2 f 2 2 1 1

1 1 f

2

2 f 1 1

2 1 f 1

1 1 f

D

˜

O

D

˜



˜

˜S

O D

D O O D D

mW,r

1r

rlnr

1

tt2L

Qq

2 f 1 f

2 2

1 2 1

1

2 f 1 f

D

˜



˜S

1 2 1

1r

rlnr

1

2k

D

˜

O

D

˜

S

Gọi là hệ số truyền nhiệt của vách trụ 1 lớp, W (m.K)

Trường hợp vách n lớp

2 2

n 1

i 1 i 1

1

cyl

r

1r

rlnr

1

2k

D

˜

O

D

˜

S

)K.m(

gọi là hệ số truyền nhiệt của vách trụ n lớp

Nhiệt lượng trao đổi với vách trụ có chiều dài L

tf 1 tf 2L

kqL



D

˜S

˜

D

˜S

˜



k 1

i 1 i 1

1 k

1 1 1

f 1 1 1

f 1

rrlnL2

Qt

t

r.2

1q

tr

.2

1L

Qt

(2-71)

IV DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU

1 Trường Hợp Vách Cầu Một Lớp

Xét vách cầu 1 lớp như hình bên dưới

Phương trình 2-24 được viết lại như sau:

0dr

dtrdr

1 1

trt

trt

(2-73) Tích phân phương trình 2-72 ta được nghiệm:

2 1 2 1

Cr

Ct

r

Cdrdt





(2-74)

Thế điều kiện biên 2-73, hằng số C1, C2 tìm từ hệ sau

1 2

2 1

1 1

Cr

Ct

Cr

Ct

1 1 2 2 2

2 1 1 2

1 2 1

rr

trtrC

ttrr

rrC

Thế vào phương trình trường nhiệt độ

1 1 2 2 2 1 1 2

1 2

rr

trtrr

ttrr

rrrt

ttrr4

r

Cr.4dr

dtFQ

1 2

2 1 1 2

2 1 2 sphere

˜S

˜S

˜O



˜

˜O

lượngnăngthiênbiếnvách

radẫn

lượngnhiệtvách

vào

dẫn

lượngnhiệt

Dẫn nhiệt ổn định 0

d

dE Wo

Nhiệt dẫn qua vách cầu xác định như sau

dr

dtF

1

t t r

r

2 sphere

dtr

dr4

Q

(2-79)

Ta được cùng kết quả như phương trình 2-76

1 2

2 1 1 2 sphere

rr

ttrr4Q

R

tt

Với nhiệt trở Rsph

1 2

1 2 sph

rr4

rrR

˜

˜O

˜S

Lưu ý: Nhiệt lượng truyền qua tại hai bề mặt bằng nhau

Nhưng mật độ dòng nhiệt khác nhau trên hai bề mặt:

1

Q

2 1

2 2

2 2

2 1

1 1

4

Qq

˜

S

qq

r4

Qq

3 4 2 3 2

2 3 1 2 1

1 2

4 1

4 1

rr

rrrr

rrrr

rr

tt4

RRR

ttQ

3 2 1

˜

˜O





˜

˜O





˜

˜O

Trường hợp vách cầu có n lớp

Nhiệt lượng truyền qua vách trụ n lớp:





˜S

n 1

i i i 1 i

i 1 i

1 n 1

rr

rr

tt4



˜S

1

i i i 1 i

i 1 i 1

1 k

rr

rr4

Qt

3 Trao Đổi Nhiệt Giữa Hai Lưu Chất Qua Vách Cầu

Ta xét trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu ở vách cầu

W,R

tt)r4(1

tt

W,ttr.4

W,ttFQ

f w 2

f w

f w 2

f w

D

D

D

˜

˜S





˜D

˜S



˜D

r4

1

R nhiệt trở đối lưu của vách cầu ở bán

kính r, K W

Xét vách cầu như hình sau

Trong trường hợp dẫn nhiệt ổn định, ta có

QQQ

QD1 O D2

Ta có hệ phương trình từ sơ đồ mạng nhiệt trở

2 f 1 f sph 2 2 2 1 2

1 2 1 2 1

2 f 1 f

2 1

2 f 1 f 2

2 f 2 2 1 1

1 1 f

2

2 f 1 1

2 1 f 1

1 1 f

ttkr

1r

r

rrr

1

tt4

RRR

ttR

ttR

ttR

tt

RR

ttRR

ttR

ttQ



˜D

˜



˜

˜O



D

˜



˜S

O D

D O O D D

(2-86)

Trường hợp vách n lớp

2 2 2

n 1

i i i 1 i

i 1 i 1

2 1

sph

r

1r

r

rrr

1

4k



D



˜S



D

˜S



k 1

i i i 1 i

i 1 i 1

1 k

1 2 1 1

f 1

rr

rr4

Qtt

r.4

Qt

t

(2-88)

V TRƯỜNG HỢP HỆ SỐ DẪN NHIỆT PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ

Hệ số dẫn nhiệt là hàm phụ thuộc nhiệt độ, khi sự thay

đổi ít thì có thể bỏ qua và xem như hằng số, là các trường

hợp mà ta đã xét ở trên

Khi sự thay đổi lớn thì phải xét luôn cả sự thay đổi này

Ta xét trường hợp vách phẳng dẫn nhiệt ổn định, không

có nguồn nhiệt bên trong, hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt

lượngnăngthiênbiếnvách

radẫn

lượngnhiệtvách

vào

dẫn

lượngnhiệt

W



d

dEQ

Qvào ra

Do dẫn nhiệt ổn định nên

constQ

QQ

0d

dE

ra vào

oW

Theo định luật Fourier

dx

dtFt

Q O ˜ ˜ hay dx t dt

F

Q

˜O

FQ

dtt

Biểu thức 2-90 được viết lại

t

t tb

tt

dtt

1

2



˜O

1 2 t

t 1 2

1 2 sphere

2 1 tb 1 2 t

t 1 2 cylinder

ttr

r

rr4dttr

r

rr4Q

ttr

rln

L2dttr

rln

L2Q

˜



˜

˜S

˜O

˜



˜

˜S



˜O

˜

˜S

˜O

˜

˜S

³

³

Nhận xét: Khi hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc nhiệt độ, ta

vẫn sử dụng biểu thức cho trường hợp hệ số dẫn nhiệt hằng số

Thay O bằng Otb tính theo 2-92

Thông thường hệ số dẫn nhiệt của các vật liệu phụ

thuộc vào nhiệt độ theo quan hệ tuyến tính:

1 t

o E˜O

t

t 2 1

2

tt1dt

ttt

˜O



Ví dụ: Xác định phân bố nhiệt độ trong vách phẳng

Theo định luật Fourier

dx

dtFt

Q O ˜ ˜Nếu Q phân bố đồng đều trên diện tích F

o Thế nhiệt lượng bằng mật độ dòng nhiệt

o Tách biến và tích phân phương trình trên

xq

dttdx

q

2 1 1

o

t t x



˜E





˜O



˜o

˜O



Phương trình phân bố nhiệt độ trong vách có dạng:

xq2t

11t

rE

C (2.96) Dấu “+” hoặc “-” chọn sao cho tt1yt2

Hình dưới đây biểu diễn sự phân bố nhiệt độ trong vách khi O phụ thuộc nhiệt độ theo quan hệ tuyến tính

(phương trình trên giả sử chọn dấu “+”)

...

2< /small>

2 f 2< /small>

2 f f 2< /small>

2< /small>

3 2< /small>

2< /small>

3 3

2 2...

2 f 2< /small>

3 1

2 1

1 f

2< /small>

2 f 2< /small>

2 f 2 1

2. ..

Phương trình 2- 2 4 viết lại sau:

0dr

dtrdr

1 1

trt

trt

( 2- 7 3) Tích phân phương trình 2- 7 2 ta nghiệm:

2 1

Cr