kinh vô cùng lớn Như vậy đặc tính TBP của hệ thống hở luôn luôn bao điểm =1, ÿ) với mọi giá trị K > 0 Khi hệ hở không ổn định dac tinh TBP của hệ hở sẽ cát trục thực tại điểm trên phần
đương của nó ( đường 3 hình II- 11) Như vậy đạc tính này không bao diém (-1,j0) voi moi gia tri K > 0
Như vậy chúng ta có thể kết luận như sau: đối với hệ thống hở có phương trình đặc tính bậc ba với các hệ số dương không ổn định hoặc ở biên giới ổn định thì hệ kín sẽ không ổn định với mọi giá trị R > 0 Kết luận này hoàn
toàn tương ứng với tiêu chuẩn đại sỐ vÌ - Hình n-+1 Các đặc tính TBP của hệ hỏ ở
không thể tìm được một gid tri K > 0 biên giới ổn inh () và không ổn định (2) nao đáp ứng đươc điều kiện (II- 4ì, + Trường hợp hệ hở có một nghiệm hàng 0, hệ số ay = 0, còn các hệ số khác đều dương Hàm truyền đạt của hệ thống hở có dạng : K Whip) = ap? +ap 4 uP ajp* + aap Phương trình đạc tính của hệ thống kín app’ + a,p? + ayp + K = 0 Hệ thống kín ổn định khi ayay > aụ.Ñ (Ir - 9) Hình II-12 Các đặc tính TBP cua hệ thống hở Tách phần thực và phần ảo ta được - a2
Riw) = Taw) bla tại.@2)* + (as.e - ag.œ3)
- K La» - agø3) - K (ay - ay.w2)
Med = or fap.wl? + (ayo - ay.) Be ale? 2{0 ` + (aA; - ag.w?*) gd tayo alah? Dac tính TBP của hệ thống hở cát trục thực tại tần số tạ =V a3Íãạ Toa dé diém cat là :
Kao
aya, Rw,) = -
Đạc tính TBP của hệ thống hở đi qua điểm (-1, 0) khi K = aj.a; /ay (đường 3 hình I1-12) hệ thống kín ở biên giới ổn định khi K < a,a; / au đặc tính TBP
Trang 2của hệ thống hở không bao điểm (-1, Ð) ( đường 1 hình II- 12), hệ thống kín ổn
định (tương ứng với tiêu chuẩn đại số - bất đẳng thức II-9), Hệ thống kín không
ổn định khi đạc tính TBP của hệ thống hở bao điểm (- 1, Ð) (đường 3 trong hình TI- 12) + Xét trường hợp hệ thống hở có cấu trúc không ổn định với hàm truyền đạt dang : K WY) = = -£———————D
{app* + arp + az)(p - ay) Với các hệ số ag, ay, ar, a, > O
Phương trình đặc tính của hệ thống hở có một nghiệm nằm bên phải trục ảo
- Xét ổn định của hệ thống kín theo tiêu chuẩn đại số Phương trình đặc tính của hệ thống kín :
(agp? +aypta;(p-ay)+K=0 Khai triển ra ta được :
ay-p? + (ay - ag.ay)p” + (a; - ay.ay)p - apa, + K = 0 Điều kiện ổn định cần thiết
ai- 8gay > 0
ap-apay >0
K-a,a, >0
Điều kiện ổn định của hệ thống kin
(ay = ayayMay - ay.ay) > a.(K - ap.ay)
Suy ra eet aụ.a3)(a; - ai.ay) + a›.a:.aụ ag Tiệ thống kín ổn định khi aị.a; - a7ay + ai.ag.aŸ a;ay < K < m==—— ag - Xây dựng đạc tính TBP của hệ thống hở Hàm truyền tần số của hệ thống hở K
Tách phân thực và phần ảo ta được
Klap.ay + (ai - ag.as)ø2]
Ruw) =- - -
(az.a3 + (a, - ag.aa)2]2 + [(a; + ayayw - aye]?
Trang 3- K[(a; au.la)e 2]? + [lay - ai.as)e - agai} apagiu - agus]? Iw) = — {apay + (a, Dac tính TBP của hệ thống hở cát trục thực tại tần số : œạ=V {az - Ai.a3)/ ag
Tần số này chỉ tồn tại khi a2 - ai.ay > 0 Điều kiện này tương ứng với một trong các điều kiện cần để hệ thống kín ổn định:
K
a2a, +a, - ¬¬~ r
khi œ = 0; R(0) =- K /Rạ.ay
Rlw,) =
Các đặc tính TBP của hệ thống hở được mô tả trên hình II- 13 để cho các hệ số khác nhau của phương trình đạc tính còn hệ số khuếch đại K > a;.a;, và cố định
- Đường 1 tương ứng với trường hợp A - ay-ag < 05 a - ayay > O (khong
bảo đảm điều kiện cần để hệ thống kín ổn định) giá tri R(wa) < R(0), Dac tinh TBP cia hé théng hé bao diém (-1, J0) một góc bằng - +z Hệ thống kín không ổn định - Đường 2 xây dựng cho trường hợp a;-ajay < 0 (không bảo đảm điều kiện cần để hệ thống kín ổn định) Dac tính TBP của hệ thống hở bao điểm (-1, j0) một góc bang - x Hé thống kín không ổn định
- Đường 3 tồn tại khi
Ay - Ao.4; >Ũ; a› - a,ay >0 (bảo
Trang 4Đặc tính TBP của hệ thống hở bao điểm (-1, (0) mot géc bang + Hệ thống kín ổn định
§II-4 PHÂN MIỀN D
II-4.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÂN MIỄN D
Giả sử hệ thống điều chỉnh tự động có phương trình đặc tính đạng tổng quát :
aụph + ai pPÏl + +a,ppta,=0
Với các hệ số ag,a\, „an đều thay đổi
Như vậy nếu chỉ sử dụng các tiêu chuẩn ổn định để xét cho từng tập hợp hệ xố là rất phức tạp Để đơn giản chúng ta sử dụng phương pháp phân miền D Nguyên lí của phương pháp phân miền D như sau : trong không gian toạ độ n+1 chiều thay đổi của c: số chúng ta có thể chia ra tối đa n + 1 vùng mà trong mỗi ving do mac dù giá trị các hệ số thay đổi nhưng tính chất phân bố các nghiệm số của phương trình đặc tính không thay đổi Trong n + 1 vùng đó tối đa chỉ có một vùng có n nghiệm phân bố bên trái trục ảo tức là vùng ổn định của hệ thống Nếu không có một vùng nào như vậy thì ta nói hệ thống có cấu trúc không ổn định Các vùng lân cận nhau sẽ khác nhau một nghiệm nằm bên phải trục ảo Như vậy đường ranh giới giữa các vùng tương ứng có nghiệm nằm trên trục ảo Muốn xây dựng đường ranh giới này ta chỉ cần thay p = jv vao phương trình đặc tính của hệ thống và cho œ thay đổi từ - © đến œ
Ii-4.2 PHAN MIỀN D TRONG TOẠ ĐỘ MỘT THAM SỐ
Giả sử hệ thống có một tham số thay đổi thì phương trình đạc tính có thể
viết dưới dạng :
A(p) + A.B(p) = 0
Trong đơ A 1a tham số thay đổi của hệ thống
Thay p = jw va tach ra phần thực và phần ảo của A(}ø) và B(j») ta được : Aylw) + }Az(0}) By) + jBy(w) A(w).By(w) + Aw) By) Ay(w)-Bylw) - Aglw).By(w) = Bậtø) + Bì) oe + J— Bio) + Bee) A= Riv) + jllw)
Trang 5đương với nghiệm của phương trình đạc tinh nam trên trục ao Do do khi w thay đổi từ - đến © thi phia bén trai đường cong sẽ có tính ổn định cao hơn phía bên phải (tương đương với trục ảo trên mat phẳng phân bố nghiệm số) Chúng ta gạch sọc phía bên trái đường cong khi đi theo chiêu tang cha w Ving nim bên phía gạch sọc của đường cong sẽ cơ tỉnh ổn định cao hơn vùng nằm bên phía
không gạch sọc Như vậy vùng nào cơ số lần gạch sọc nhiều nhất thì vùng đó
có thể ổn định Chỉ cần lấy giá trị một điểm trong vùng này và dùng một trong
các tiêu chuẩn ổn định để khảo sát Nếu hệ thống ổn định thì vùng này là vùng
ổn định, còn nếu không ổn định thì chúng ta có thể kết luận hệ thống cớ cấu trúc không ổn định Ví dụ : phân miên D cho hệ thống cơ sơ đồ cấu trúc sau (hỉnh I- 14) x 1 K Ỉ (Tp + (Tạp + Tgp + 9 Hình II-14 VÍ dụ về phân miền D Trong đó K là tham số thay đổi cồn Ty, T;, Ty là các hệ số Tầm truyền đạt của hệ thống hở : K W,(p) = iP! mp+ DŒap+ Dffp+D —— - Tiầm truyền của hệ thống kín : K Wp = = (Tip + (Psp + Tạp + D + K =————— Phương trình đạc tính của hệ thống kín : (Tip + 1MT3p + D(Tạp + 1) + K=0
Dé don gian cho T, = 1; 2 và T; = 3
Khai triển phương trình đặc tính với các giá trị đã cho ta được : 6p) + lip? + 6p+1+k=0 Thay p = jv và tách phần thực và phần ảo : K= 110” - 1+ {62 - 6ø) = Rứo) + J@) Rw) = lw? - 1 va Ri) = 0 khi øị › = + 0,302 Ke) = 6Ÿ - 6 và 1ø) = O khi wy = 0,44 = +1
Khi cho œ thay đổi từ - œ đến œ ta sẽ xây dựng được đồ thị mô tả trên hình II- 1õ Để xây dựng đồ thị này ta lập bảng sau :
Trang 6w Ra} Iw) - 20 - ®& -1 10 0 -0,302 ọ ¡ 1,647 0 -1 0 0,302 0 - 1,647 1 ! 10 Ắ © °“
Hình ¡I-15 Phân miền D trong toa dệ một tham số
Đường cong chia mật phẳng ra làm ba vùng I, II, IH Dùng nguyên lí gạch
sọc ta thấy vùng I co tinh ổn định cao nhất sau đấy đến vùng II Vùng III có tính ổn định kém nhất Như vậy hệ thống chỉ có thể ổn định trong vùng I Để thử xem hệ thống có ổn định trong vùng này hay không ta lấy K = 0 (tam toa độ nằm trong vùng I) Lúc đấy phương trình đặc tính của hệ thống có dạng :
(Tịp + DŒT;¿p + 1ŒTạp + D = 0
Phương trình đặc tính của hệ thống có ba nghiệm thực cùng âm, vì vậy hệ thống ổn định
1-4.3 PHAN MIEN D TRONG TOA ĐỘ HAI THAM SỐ
Để cho hệ thống cơ hai tham số thay đổi, phương trình dac tinh co dang : Atp + 4.B(p) + Ø.C(p) = 0
Trong đó Â và / là hai tham số thay đổi của hệ thống Thay p = jv và tách phần thực và phần ảo ta được :
[Aj(a) + A.Bylw) + /G¡(@)] + HAI) + À.B;() + B.C2(w)] = 0
Một số phức bàng không khi cả phần thực và phần ảo cùng bằng không
Vì vậy ta cơ hệ phương trình :
Ayla) + A.B) + 0y) W °
Axl) + A.Byor) + B.Cyw)
Trang 7Giải hệ phương trình với nghiệm 4 và Ø A = Blu).Cyw) - Byw).C lw) MA = A2Mw).Clw) - Al(w).C2(w) AB = B2iw).Al(w) - B1(w).A%Mw)
: ; AA AB
- Nếu A z 0 thì phương trình có nghiệm xác định  =— và 8 =—- Trên mặt phẳng toa độ  và Ø ta cơ đường cong phân miền D khi chow thay
đổi từ - œ đến œ Trong thực tế chúng ta chỉ cần xây dựng đường cong khi ø›
thay đổi tì 0 đến «, bởi vì các gid tri A, At vA Af déu 1a ham s6 lé, do dd A va # la ham số chấn Dường cong ranh giới khi w thay đổi từ 0 đến - œ sẽ trùng
với đường cong khí w thay đổi từ 0 đến œ
Trong khi xây đựng phân miền D chúng ta thường gạp các trường hợp đặc biệt sau :
- Với một số giá trị nào đó của œ làm cho A = 0 còn A4 và A8 = 0 lúc đấy
phương trình vô nghiệm Đường cong phân miền D tiến tới vô cùng
- Nếu ứng với một giá tri œ nao dé ma A = Al = 0 hoac A = A8 = 0thì nghiệm của phương trình là một đường thẳng ta gọi là đường thẳng đặc biệt Điểm tương ứng gọi là điểm đạc biệt,
- Thông thường đường thẳng đặc biệt tồn tại khi = Ô nếu hệ số tự do của phương trình đặc tính phụ thuộc vào các tham số thay đổi Cho giá trị hệ số này
bằng không ta sẽ tìm được phương trình đường đạc biệt cho trường hợp này
- Khi hệ số của phần tử có bậc cao nhất trong phương trình đặc tính phụ
thuộc vào các tham số thay đổi thì sẽ tồn tại đường đặc biệt ứng với trường hợp
@ = %, Để tìm phương trình đường đặc biệt cho trường hợp này ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất bàng 0
Để đánh giá vùng có thể ổn định của hệ thống ta cũng dùng phương pháp gạch sọc Nguyên lí gạch sọc như sau :
- Khi œ thay đổi từ - œ đến œ đường cong giới hạn sẽ được gach soc bén trai
néu A > 0 va gach soc bén phai néu A < 0 Như vậy đường cong ranh giới được
gạch sọc hai lần về cùng một phía
~ Các đường thẳng đạc biệt cũng được gạch sọc nếu khi qua điểm đặc biệt giả trị A đổi dấu Đường thẳng đặc biệt được gạch sọc một nửa về phía đường cong giới hạn đã gạch sọc nửa còn lại gạch sọc phía ngược lại Nếu qua điểm
đặc biệt A không đổi dấu thì đường thẳng đặc biệt không được gạch sọc
Vùng có khả năng ổn định nhất là vùng có số lân gạch sọc nhiều nhất
VÍ dụ : xây dựng phán miền D cho hệ thống trong ví dụ trên với tham số thay đổi là K và T,
Theo kết quả của ví dụ trên phương trình đặc tính của hệ thống là
ŒTịp + DŒT¿p + D(T‡p + D +K=0 đI-10)
Trang 8Cho e : giá trị Tạ = 3 và Tạ = 3 Khai triển ra ta được : 6T,.pŸ + 5T¡p? + 6p + T,p +ốp +Kx+l1=0 Thay p = ÿ¿ và tách phân thực, phần áo ta được : - ðTø2 + K+1- 6ø2= Tw - 6w3) + O.K + bu = 0 Tính giá trị các định thức A= 6w3-w, AK = - 866-1369 -a 5 AT, = - bw A=0 khi œ = 0 vaw = + 0,408 3605 + 1307 + w bw K= bu 1 ' w — G` = &
Có hai đường đạc biệt tương ứng với : œ = 0 vaw = @
Khi w = 0 cho hệ số tự do của phương trình đặc tính K + 1 = 0 ta được phương trình đường đạc biệt K =- 1
JKhi œ¿ = œ ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất 6T = 0 ta được phương
trình của đường đặc biệt Tị = Ô
Trang 9Két qua phan mién D dugc mé ta trén hinh [I-16 Viée gach soc duge tién hanh như sau :
- Đường cong giới hạn được gạch sọc hai lần Khi ø thay đổi từ - œ đến
-0,408) giá trị A < 0 gạch sọc bên tay phải, œ từ - 0,408(+) đến Ó giá tri A
đổi đấu việc gạch sọc được thực hiện bên tay trái Di tiếp từ 0 đến 0,408(-) giá
trị A < 0 đường ranh giới được gạch sọc bên phải Khi w thay đổi từ 0,408(+) đến œ giá trị A > 0 gạch sọc bên trái
- Đường thẳng đạc biệt T, = 0 tương ứng với ø = s được gạch sọc bên phải
về phía gạch sọc của đường cong ranh giới
- Đường thẳng đặc biệt K = - 1 được phân thành hai đoạn để gach sọc Khi
Tị > - õ gạch sọc phía trên về phía gạch sọc của đường cong ranh giới Tương tự như vậy khi Tị < - õ gạch sọc phía dưới
Sau khi tiến hành gạch sọc theo nguyên lí đã nêu trên đây ta thấy theo tính chất phân bố nghiệm số mặt phảng toạ độ được phân ra thành 3 vùng : I (T),
TA) va IL (IP) Trong ba vung day ving I co kha nang ổn định nhất ( vùng
T có tinh chất phân bố nghiệm số như vùng I nhưng giá trị các tham số âm nên ta không quan tâm) Trong vùng này cơ điểm K = 0 Nếu thay K = 0 vao phương trình đặc tính (I]-10) thi no sé cd ba nghiệm thực âm Như vậy hệ thống ổn định Vùng II (1) sẽ cố một nghiệm của phương trình đặc tính nằm bên phải trục ảo, còn vùng III (IIL) sẽ có hai nghiệm nàm bên phải trục ảo
§II-5 PHƯƠNG PHAP QUI DAO NGHIEM SỐ
Cũng như phân miền D phương pháp qui đạo nghiệm số dùng để phân miền ổn định của hệ thống điều chỉnh tự động trong toa độ thay đổi thông số của nó Phương pháp quỉ đạo nghiệm số thường dùng khi hệ thống có một thông số œ thay đổi từ 0 đến œ Phương trình đặc tính của hệ thống điều chỉnh tự động có n nghiệm số Khi thông số œ thay đổi thi các nghiệm số này sẽ chuyển địch trên mặt phẳng nghiệm số tạo nên những qui đạo được gọi là qui đạo nghiệm số, Nếu tất cả các nghiệm số đều chuyển động trên các qui đạo nằm bên trái trục ảo thì hệ thống ổn định Qui đạo đầu tiên cắt trục ảo cho ta trạng thái biên giới ổn định, còn trường hợp có nghiệm số chuyển động trên qui đạo ở bên phải trục ảo thì hệ thống điều chỉnh tự động sẽ không ổn định
Phương trình đặc tính của hệ thống điều chỉnh tự động bậc n có đạng :
Hip) = A(p) + øB(p) =0 đI-19 “Trong đó A(p) là đa thức bậc n
A(p) = ph + dịp” + + at pp + at (I-12)
B() là đa thức bậc r (thông thường r < n)
Trang 10Phương trình A(p) = 0 có n nghiệm z¡ còn phương trình Bíp) = 0 cho ta r nghiệm số q, Như vậy ta có :
n r
Hp) = |] (p- 4) + @ [[@-q) =0
i=1 i=l
Đối với các giá trị giới hạn của ơ ta cơ : ~ Khia = 0 ta nhận được biểu thức đầu tiên :
H@) = [I (p- 2) =0
i=1
Phương trình đặc tính có n nghiệm số z¡ Đây chính là n điểm xuất phát của các qui đạo nghiệm số - Khi « = s ta có 1 Hp) = -~ Ï] œ-z)+]] @-q)=0 i=] @ i=l t lim Híp) = ]] (p- q) =0 si 1st
Phương trình đạc tính có r nghiệm số q¡ Chúng là điểm kết thúc của qui dao nghiệm số Còn lại n - r nghiệm số của phương trình đặc tính sẽ tiến xa vô cùng Như vậy có tất cả n qui đạo nghiệm số xuất phát tại n nghiệm của phương trình A(p) = 0 (khi œ = 0) Khi œ tăng lên các nghiệm số này sẽ dịch chuyển va r qui đạo kết thúc tại r nghiệm của phương trình Bíp) = 0 (khi œ = ©) con n - r nghiệm số khác sẽ tiến xa vô cùng
Các nghiệm số thực và nghiệm số bằng không của phương trình đặc tính đều phân bố trên trục thực Các nghiệm có phần ảo luôn tồn tại từng cặp đối xứng nhau qua trục thực Nghĩa là các qui đạo nghiệm số cũng sẽ có tính chất đối xứng qua trục thực
m - r qui đạo nghiệm số tiến ra xa œ sẽ có n - r đường tiệm cận tương ứng khi p > œ Việc xác định đường thẳng tiệm cận được tiến hành như sau :
Từ công thức (IL- 11) ta cơ - « = A(p) /BŒ)
Trang 11Khi p > œ thì vế phải của nhị thức Niutơn chỉ cần lấy gần đúng hai số hạng đầu Hai số hạng này tương đương với vế phải của công thức (1I- 14) Ta có thể viết : -a@=(p- arr (II- 15) Với : Do tính chất đối xứng qua trục thực của các nghiệm số q, và z¡ nên a là một số thực
Xét trên mặt phẳng phân bố nghiệm số p khi ø, a là số thực, còn p là số phức thì khi œ thay đổi từ 0 (p = a) đến œ (p > œ) phương trỉnh (IT- 1) cớ thể viết dưới dạng :
mod(p - a) = œM(1=r)
2k+1 (I-16)
arg(p- a) = ——— 2 vớik=0,12,n-r-1 ner
Dễ dàng thấy được phương trình (II-16) mô tả một chùm n - r tỉa đối xứng xuất phát từ một điểm trên trục thực cách tâm toạ độ một khoảng bằng a, bởi vì p- a tăng từ 0 (khi p = a) đến œ (khi Pp = s), còn hệ số góc không phụ thuộc
vào p Đây chính là phương trình các đường thẳng tiệm cận của n - r qui dao
nghiệm số tiến xa vô cùng khi ø > œ
Đoạn đầu tiên của các qui đạo nghiệm số (khí z nhỏ) thường nằm trên trục thực (các nghiệm z, là nghiệm thực) Để xây đựng đoạn này của qui đạo nghiệm xố ta sử dụng phương pháp sau :
Để cho các nghiệm thực p ta xây dựng đồ thị của hàm :
A(p)
cup) = AP Bíp)
Các điểm cát của đồ thị này với đường thang - a = 0 cho ta các nghiệm z¡ là điểm xuất phát của các quÏ đạo nghiệm số Khi tăng œ sẽ có thể xuất hiện hiện tượng các nghiệm thực xích gần lại với nhau và đến một giá trị nào đó của
‹ một số nghiệm thực trùng nhau Nếu tiếp tục tăng œ thì số nghiệm thực sẽ
giảm di Nghia là qui đạo của một số nghiệm số đã tách rời khỏi trục thực Như
Trang 12nó sẽ cát trục ảo, hệ thống điều chỉnh tự động đạt biên giới ổn định (có
nghiệm p = ju)
Thay p = ÿ¿2 vào phương trình đạc tính ta được :
H( jo) = A(ju) + Bl) = Rw,a) + jl(w,a) = 0
Giải hệ phương trình
Ria) = 0
[ee =0
ta sé tim được các giá trị a, vA w, ma tai day qui dao nghiém số cát trục ảo
Đây cũng chính là điều kiện để hệ thống điều chỉnh tự động ở biên giới ổn định
Nếu hệ thống có nhiều thông số thay đổi ta có thể xây dựng qui đạo nghiệm xố cho từng thông số riêng biệt với điều kiện các thông số khác được gán cố định VỆ dụ Xây dựng qui đạo nghiệm số của hệ thống có hàm truyền đạt K(4p + 1) We) = 5 p(2p* + 3p + ) + K(4p + 1) Với K thay đổi từ 0 đến œ Đài giải * Phương trình đặc tính của hệ thống H(p) = p(2p? + 3p + 1) + K4p + 1) = 0 * Các điểm xuất phát của qui đạo được xác định bằng cách giải phương trình A(P) = p(2p? + 8p + =0 cho ta nghiém :z, = 0; 2) = - 1; 2, = - 0,5 * Các điểm kết thúc của quï đạo Bí(p) =4p+1=0 suy ra qị = - 025 Như vậy hệ thống có hai qui đạo nghiệm số tiến xa vô cùng khi giá trị hệ số khuếch đại K -> œ,
® Phương trình các đường tiệm cận
Trang 13arg(p + 0,625) = 3x/2 * Xây dựng đồ thị hàm
Cứ) up) <P = Pe BG) A(p) _ p(2p? + 3p + 1) 4p+l _— cá ?)
Ham Cíp) có tiệm cận đứng tại điểm p = - 0,25 và điểm cực tiểu tại
=-0,728 tương ứng với giá trị _ ~0, = :
€(-0,728) =- 0,0472 Đồ thị hàm CÓ) được mô tả trên hình II- 17a Trên cơ sở những kết quả trên đây chúng ta dễ
đằng xây dựng qui đạo của các a)
nghiệm số Qui đạo này được mô tả
trên hình II-17b Khi K = 0 phương
trình đạc tính có ba nghiệm thực °
bị = -1, py = - 0,5 va py = 0 Cho K
tảng lên pị và p; xích gần lại với nhau, Ø
còn nghiệm p; chuyển dịch về bên trái, Py
cho đến lúc K = 0,0472 thì pị và p; chập nhau Nếu K tiếp tục tang thì
phương trình đặc tính chỉ còn lại một
nghiệm thực p; còn pị và p; tách rời
trục thực, Khi K > œ qui đạo của p; —_ Hình H-17 Đồ thị hàm Cip) (a) va ode
quÏ dao nghiém sé (b)
dừng lại ở giá trị - 0,25 còn pị và pạ
tiến xa vô cùng đến hai đường tiêm cận Các qui đạo nghiệm số không cát trục ảo Như vậy hệ thống ổn định với mọi giá trị K > 0
Trang 14theo phương trinh 4p! + 2p + 6p? + 2p +1 =0 T1?) Lap bang Rao 4 1 2 4 4
Tất cả các hệ số trong cột đầu tiên của bảng Rao dương Như vậy tất cả các
nghiệm số của phương trình (II-17) điều phân bố bên trái trục ảo
Phương trình đi inh cua hệ thống hở có một nghiệm nằm trên trục ảo còn các nghiệm khác đều ở bên trái trục ảo Hệ thống hở ở biên giới ổn định + Xét ổn định của hệ thống kín theo tiêu chuẩn đại số - Hàm truyên đạt của hệ thống kín Wu(p) 8p+1 Wifp) = — ¬ 1+ WNíp) = 3p(4p! + 2p) + 6p? + 2p + ï +3p+1 - Phương trình đặc tính của hệ thống kín 3p(dp' + 2p” + 6p + 2p + 1) + 3p+1=0 Khai triển ra ta được , 12p5 + Gp* + 18p} + 6p? + 6p + 1=0 «II- 18) Các hệ số của phương trình đạc tính đương, điều kiện ổn định cần thiết được bảo đảm Tập bảng Rao (dòng đầu tiên gồm các số hạng 12,18,6 vì vậy có thể rút gọn cho 6) 2 3 1 6 6 1 6 4 12 6 12 Tất cả các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Rao dương Hệ thống kin ổn định
+ Xét ổn định của hệ thống kín theo tiêu chuẩn Mikhailôp Thay p = #¿ vào phương trình (1I- 18} ta được đa thức đặc tính
H2) = Gớ + 6ø2 + 1+ (1205 - 183 + bw) Tìm nghiệm của phần thực
Trang 156w4 - 6/2 +1 =0 Giải phương trình chỉ lấy nghiệm đương ta được : am, = 0,46; ay = 0/888 Tìm nghiệm của phần ảo 12u5 - 18w3 + 6w = 0 Giải phương trình chỉ lấy nghiệm không âm ta được : Wy, = 95 Wy = 0,5; 43 = 1 Trên trục tần số các nghiệm của phần thực và phần ảo phân bố như sau : 0 còn ey *
Ys) tra tua “
Rõ rằng nghiệm của phân ảo và phần thực phân bố xen kẽ nhau bắt đầu từ nghiêm bảng 0 của phần ảo Hệ thống kín ổn định
+ Xét ổn định của hệ thống kín theo tiêu chuẩn Naiquyt
Trang 16Thay ø = 0,841 vào công thức (TI- 19) ta duge toa độ của điểm cắt ;
Riw,) = - 0,8383 > - 1
Nhu vậy đặc tính TBP-của hệ thống hở cất trục thực trong đoạn - 1 <R(œ)<0
Dac tinh TBP cia hệ thống hở không bao điểm (-1, j0) và được mô tả trong hình II- 18
Hệ thống hở ở biên giới ổn định, đạc tính TBP của nó không bao điểm (1, J0) như vậy theo tiêu chuẩn Nai- quyt hệ thống kín ổn định Bai 1-2 Hệ thống điều chỉnh tự động có phương trình vi phân của hệ thống hở “z0 Hình H-18 Đặc tính TBP của hệ thống hd su +950 yo +2 = Ke TC +x) ` Tìm K giới hạn để hệ thống kín ổn định Bài giả * Từ phương trình vi phan ta co ham truyền đạt của hệ thống hở gupy 2S ROPEHD 2p! + 3p) + 2p? + 2p * Hàm truyền đạt của hệ thống kin K(2p + 1)
AP) = gọi Bp! + Op? + 2p + NGp+D
Trang 172 2 K 2K + 2 2-4K 3K -8K*- 9K + 4 * Điều kiện để các cột đầu tiên trong bang Rao dương 2-4K>0 suy ra K < 0,5 -8K*- 9K +4>0 Giải bất phương trình ta được - 1.466 < K < 0,341 * Kết hợp các điều kiện ta cơ thể rút ra kết luận : hệ thống điều khiển ổn định khi 0< K < 0,341 Bai H-3 Tiệ thông điều chỉnh tự động có sơ đồ cấu trúc sau : x K+ 1 - 1 y (2p? + 3p + tip + 1) Dùng tiêu chuẩn đại số tìm K giới hạn để hệ thống kín ổn định Bài giải * Từ sơ đồ cấu trúc ta có hàm truyền đạt của hệ thống hở 2Kp + 1
w,ip) = mp) Bpap? + Bp 4+ Dip + ——P —
Trang 18* Lap bang Rao (dong thu hai rut gon di 2 lan) 4 8 1 5 K+1 36 - 4K 5 -4K? + 32K + 11 * Điều kiện để các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Rao dương 36 - 4K >0 suy ra K<9 - 4K" + 32K + 11> 0
Giải bất phương trình ta được nghiệm - 0,33 < K < 8,33
* Kết hợp tất cả các điều kiện ta có kết luận : hệ thống điều chỉnh tự động ổn định khi :
- 0,83 < K < 8,33 Bài I4
Hệ thông điều chỉnh tự động có sơ đồ như trong bài 1I-3, Dùng tiêu chuẩn Mikhailôp tìm giới bạn của giá trị K để hệ thống kín ổn định Vẽ biểu đồ đa thức đạc tỉnh cho các trường hợp khác nhau của hệ sẽ K Bài giải Tù kết quả của bài II- 3 ta cớ phương trình đạc tính của hệ thống kín (công thức II-21) 4p! + 10p? + 8p? + 2( + l)p+1=0 Thay p = j¿ ta có đa thức đặc tính sau : Hj) = 42? ~ 8ø2 + 1+ 12 + De -1063] Tìm nghiệm của phần thực bàng cách giải phương trình 4œ3- 82 +1 =0 Ta được an, = 0,366 va w,) = 1,366 Giải phương trình phần ảo 2K + Dw -1063 = 0
cho ta nghiệm số: œ¿¡ = Ô và øạ; = V(K + U/B
Theo tiêu chuẩn Mikhailôp hệ thống số ổn định khi nghiệm của phần thực và phần ảo phân bố xen kẽ nhau Nghĩa là :
0,366 < ViK + 1/5 < 1,366
Sau khi bién déi cho ta két qua eudi cùng: - 0,33 < K < 8,33
Trang 19{Tương đương như kết qua bai II- 3) Hình II- 19 mô tả biểu đồ đa thức đặc tính để cho các trường hợp khác nhau của K, O day chi xét cho trường hợp K > 0 Đường (1) là biểu đồ khi 0 < K < 8,33
Đường (2) nhận được khi K = 8,33 và đường (3) khi K > 8,33 Bài II 5 Hệ thống điều khiển tự động có sơ đồ cấu trúc Hình II-18 Biểu đồ da thức đặc tính x K y (2p3 + + 3p + ip +1) Dùng tiêu chuẩn Naiquyt xác định giới hạn của K để hệ thống ổn định Bai giải + Xét ổn định của hệ thống hở Phương trình đặc tính của hệ thống hở (2p) + 2p? + 8p + D(p + 1) =0
- Phương trình p + 1 = 0 cho ta nghiệm p = - 1
- Phương trình 3p + 2p2 + 3p + 1 = 0 có các nghiệm phân bố bên trái trục
ảo bởi vì ay.ay = 6 > apa, = 2 T4)
Như vậy hệ thống hở ổn định
Theo tiêu chuẩn Naiquyt,trong trường hợp này hệ thống kín ổn định khi đạc tính TRP của hệ thống hở
không bao điểm (- 1, jØ) và cơ đồ thị
Trang 20+ Khảo sát đặc tính TBP của hệ thống hở Từ sơ đồ cấu trúc ta cố hàm truyền đạt của hệ thống hở K ‘Qp? + 2p) + Bp + Dip+ D K ‘2p! + 4p + Sp? + 4p +1 Wi lp) = W,(p) = Thay p = jv va tach phan thyc va phan 4o ta được Ki2w* - 5u + 1) Qo Bu + 1 + (40 - 4092 K(đœ - 4ø) (901- 5 + 1)? + 4o - 403)? Riw) = (II- 22) Iw) =
Cho It) = 0 ta sé tim duge tan số cát của dac tinh TBP véi truc thuc Gid trị đố là œ„ = L Thay giá trị này vao cong thie (II-22) ta duge : Rw) = K/-2 va R(O) = K Theo tiêu chuẩn ổn định phân tích trên đây ta có điều kiện để hệ thống kín ổn định là : -K/2>-1 và K>-l Như vậy hệ thống kín sẽ ổn định khi: -1<K<23 Bài l6 Hệ thống điều chỉnh tự động có hàm truyền đạt của hệ thống hở Wy) = (2p? + 3p? + 4p + S(p- 1)
Dùng tiêu chuẩn Naiquyt xác định giới hạn của K để cho hệ thống kín ổn
Trang 21trục ảo Theo tiêu chuẩn Naiquyt hệ thống kín ổn định khi đặc tính TBP của hệ thống hở bao điểm (-1, (0) mot gdéc bang z Dac tinh TBP của hệ thống hở cho trường hợp này được xây dựng trên hình II-21
Từ đồ thị hình TI-21 ta rut ra inn wees Dac tính TBP của hệ thống hở có †
điêu kiện để cho hệ thống kín Ổn nghiệm bên phải trục ảo và hệ thống kín ổn định định là : RO) < - 1 va Rw,) > - 1 + Xét đặc tính TBP của hệ thống hở Biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống hở sang dạng K ¬_- rẻ Ham truyén tan số của hệ thống hở K W, (ju) = ———_— BẾP Bot wt 5+ Re - ø3) Tách phần thực và phần ảo ta được K(2w4 - œ2 - 5) Riu) = mm đI-28) Bot wb + wl we " - Kí - 0) Bat wt BY + wwe Đặc tính TBP của hệ thống hở cất trục thực tại tần số w,=1 Từ công thức (I-23) ta tính được : K Đai : RQ) = - 5 để cho hệ thống kín ổn định thì R(0) < - 1 nghĩa là K > 5 (II-34) K Rlw,) = - 7 dé cho hé thong kin én định thì Reœ,) > - 1 suy ra K < 4, (11-25)
Ñỡ ràng hai điều kiện (II-24) và (H-2B) hồn tồn khơng thể kết hợp được với nhau Chúng ta có thể rút ra kết luận : không có một giá trị K nào để cho hệ thống kín ổn định
Hình II- 29 mô tả các đặc tính TBP của hệ thống hở để cho các trường hợp
khác nhau của K
Trang 22- Đường 1 nhận được khi K > 5 Giá trị điểm cất R@„) < - 1 Đặc tinh TBP ctia hệ thống hở bao điểm {-1, ! một gác bằng - z,