KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) pdf

Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau:   22 barzMod  ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau: z = 4 + 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 534 22  III. Định nghĩa argument của số phức : 2 2 2 2 2 2 a bi z a bi a b a b a b                Trong đó   2 2 2 2 2 2 r a b a cos z r cos sin i a b b sin a b                         là dạng lượng giác Mọi nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 a cos a b b sin a b              gọi là argument của số phức z a bi   0  . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần  2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Imz b M(a; b)  a + bi r Trục thực Rez  a Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 2 Góc  được giới hạn trong khoảng 0 2     hoặc      Ví dụ: Tìm argument của số phức z 1 3i   Giải : a 1 , b 3   ta tìm góc  a 1 cos r 2 3 b 3 sin r 2                  vậy Argz = 3  IV. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 1 2 1 2 1 2 k2 z z r r            V. Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại.     1 2 1 2 1 2 1 2 z .z r .r cos sin .i             Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức :     z 1 i 1 3i    Giải :     z 1 i 1 3i 2 cos sin .i 2 cos isin . 4 4 3 3                         2 2 cos isin 4 3 4 3 2 2 cos sin i 12 12                           VI. Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 3 1 1 2 2 z r z r      1 2 1 2 cos sin .i            Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 2 12i z 3 i     Giải : 1 3 4 i 2 2 2 12i 2 2 3i z 3 i 3 i 3 1 2 i 2 2 2 cos isin 7 7 3 3 2 cos isin 5 5 6 6 cos isin 6 6                                                      VII. Dạng mũ số phức 1. Định lý Euler (1707-1783): i z e cos isin       Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z 3 i    Giải : 5 i. 6 3 1 z 3 i 2 i 2 2 5 5 2 cos isin 6 6 2e                           Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức : 2 i z e    Giải :   2 i 2 i 2 z e e e e cos isin          Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 4 Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2. Dạng lũy thừa        2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 z a bi z z.z a bi a bi a b 2abi z a bi a 3a bi 3ab i b i                   n n n k n k k n k 0 0 n 0 1 n 1 1 0 1 n 1 1 0 n n n n n z a bi C a b C a b C a b C a b C a b A Bi                Ví dụ: Tính 5 z của z 2 i   Giải : 5 k 5 k k 5 k 0 1 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 0 5 5 5 5 5 5 5 1 z 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i 32 80i 80 40i 10 i 38 41i                      3. Lũy thừa bậc n của số phức i: 2 3 2 4 2 2 i i i 1 i i .i i i i .i 1         5 4 6 4 2 7 4 3 8 4 4 i i .i i i i .i 1 i i .i i i i .i 1           vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n r i i  , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: Tính z của 403 z i  Giải : Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 5 Ta . 403 = 100.4 +3 403 100.4 3 3 z i i i 1       về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . 4. De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta có:     n n r cos isin r cosn isinn            Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:   25 25 z 1 i   Giải : 1 1 z 1 i 2 i 2 2 2 cos isin 4 4                     vậy .     25 25 25 25 25 z 1 i 2 cos isin 4 4             = 4096 2 cos isin 4 4          5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên z a bi cos isin         n n n k z r cos isin k2 k2 z r cos isin n n                    với   k 1,2,3, n 1   Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 6 Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 6. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận 1 z 3i  và 2 z 5 i   Giải : Vì i3z 1  và i5z 2  là hai nghiệm nên 1 z 3i   và 2 z 5 i   cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt. Bài tập 1) Tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 )i8  c )   2 1 5i  1 2i d) 2 i   1 itan e) 1 itan     Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5 )i8  = 2 10 16i 30i 48i 58 14i      c)   2 2 1 5i 1 10i 25i 24 10i        Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 7        2 1 2i 2 i 1 2i 2 i 4i 2i 5i d) 2 i 2 i 2 i 3 3                     2 2 2 2 1 itan 1 itan 1 itan e) 1 itan 1 itan 1 itan 1 2itan tan cos 2isin cos sin 1 tan cos2 isin2                                2) giải phương trình trong C : a) 2 x 2x 2 0    b) 2 x 5x 7 0    Giải : a) 2 x 2x 2 0    1     1,2 x 1 1    phương trình có hai nghiệm phức : 1 2 x 1 i , x 1 i     b) 2 x 5x 7 0    3    1,2 5 3 x 2    phương trình có hai nghiệm phức 1 2 5 3i 5 3i x , x 2 2 2 2     3) Tìm nghiệm thực của phương trình : a) x 6i 7 yi    Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 8 b)     1 i x 2 5i y 4 17i        c) 12           2x i 1 i x y 3 2i 17 6i        Giải : a) x 7 y 6       b)     1 i x 2 5i y 4 17i          x xi 2y 5yi 4 17i x 2y x 5y i 4 17i x 2y 4 x 2 x 5y 17 y 3                            a) 12         17 6i 2x i 1 i x y 3 2i 12                    2 2x 2xi i i 3x 2xi 3y 2yi 1 5x 3y 1 2y i              1 17 x 1 5x 3y 3 12 6 1 1 2y y 12 4                      4) Giải phương trình trong C : a)     2 x 1 i x 1 i 0      b)   2 x 1 2i x i 1 0      Giải : a)     2 x 1 i x 1 i 0      Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 9     2 x 1 i 4 1 i 4 2i        gọi   2 a bi 4 2i    2 2 a b 2abi 4 2i      2 2 2 2 2 2 2 2 a b 4 a b 4 2ab 2 a b 2 5 a 5 2 a 5 2 b 5 2 b 5 2 a 5 2 ab 1 b 5 2                                                               Vậy phương trình có nghiệm:     1,2 1 i 5 2 i 5 2 x 2        b)   2 x 1 2i x i 1 0          2 x 2 1 2i 4 i 1 4i 5 1         Vậy phương trình có nghiệm: 1 2 x 1 i , x i      5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận 1 z 3i  và 2 z 2 i   làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là .                 1 1 2 2 2 2 f(z) z z z z z z z z z 3i z 3i z (2 i) z (2 i) z 9 z 4z 5                 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 10 6) Tìm tất cả các nghiệm của 4 3 2 P(z) z 4z 14z 36z 45      biết z 2 i   là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành:     2 z (2z i z (2 i) z 4z 5        P(z) có thể tách thành:     2 2 P(z) z 4z 5 z 9     Mà     2 z 9 z 3i z 3i     vậy phương trình có 4 nghiệm: 2 i, 2 i ,3i, 3i    7) Giải phương trình sau trong C : 9 z i 0   Giải: 9 9 9 k z i 0 z i cos isin 2 2 k2 k2 2 2 z cos isin 9 9                       với 8, ,2,1,0k  8) Giải phương trình sau trong C 5 a)z 1 i 0    2 b)z z 1 0    2 c)z 2z 1 i 0     Giải : a) [...]... mũ của số phức sau: z   3  i Giải : 5 5   z   3  i  2  cos  isin  6 6   i  2e 5 6 11) Chứng minh công thức Ơle (Euler) : cos   13 ei  e i 2 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ ei  cos   isin   Ta có  i e  cos   isin    ei  e i cos   isin   cos   isin    cos  2 2 12) Chứng... công thức Ơle (Euler): sin   ei  e i 2i Giải : ei  cos   isin   Ta có  i e  cos   isin   ei  e i cos   isin   cos   isin    sin  2i 2i Bài tập tự làm 13) Chứng minh công thức Moivre : Nếu z  r.ei thì zn  r n ein 14) Tính theo Moivre : 10 a) 1  i  5 1  i b) 3 1  i  1  3i  c)   1 i     8 20  d) 1  i  1  i 3  6 15) Chứng minh các đẳng thức. ..   3 phương trình có hai nghiệm x1,2  1  3 1  i 3  2 2 x1   1 3 1 3  i , x2    i 2 2 2 2 c)z2  2z  1  i  0    i phương trình có 2 nghiệm z1,2  1  i 9) Mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : a) Re z  0 f )1  z  2  2 b) 0  Im z  1 g) z  1  Re z c) Im z  2 k) z  1  z  2 d) z  1 e) z  1  2 11  4  n)   arg z  4 m)0  arg z  Giải : Biên tập... n n n   b) 3  i  2n  cos  isin  6 6     Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 16) Tìm căn bậc 3 của số: a  2  2i 3 17) Tìm nghiệm của đa thức z 6  2z 3  1: 18) Giải phương trình trong C : a) z 2  2z  5  0 b)4 z 2  2z  1  0 c) z2   2i  3  z  5  i  0 d)z3  1  0 4 e)  z  1  16 4 f )  z  1  16 19) . http://www.hoc360.vn 2011 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa. isin 4 4          5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên z a bi cos isin         n n n k z. đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức