Đề ôn tập thi cuối kỳ môn Đại số tuyến tính pps

1 ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ MÔN : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – HỌC KỲ HÈ 2010 Câu 1: Trong không gian R 3 với tích vô hướng 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2 2 3 3 ( , ) 2 2 2 2 4 x y x y x y x y x y x y x y x y = - - + + + + cho không gian con { } 1 2 3 3 1 2 3 ( , , ) : 2 2 0 U x x x R x x x= Î - + = Tìm 1 cơ sở trực giao của U Câu 2 : Trong không gian R 3 với tích vô hướng 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3 ( , ) 2 2 4 3 x y x y x y x y x y x y x y x y = - - + + + + cho không gian con { } 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) : 2 2 0, 0 U x x x R x x x x x x= Î - + = + + = Tìm 1 cơ sở và chiều của U ^ Câu 3 : Trong không gian R 4 cho không gian con { } 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 ( , , , ) : 2 0, 2 3 0,2 0 U x x x x x x x x x x x x x x mx= + - + = - + = + + + = a. Tìm m để dim U =2 b. Với m ở trên, tìm 1 cơ sở và chiều của U ^ Câu 4 : Trong không gian R 4 cho 2 không gian con (1, 1,2,1),(2,0,3, 1) , (1,3,0, ),(0,5,1, ) U V m n = - - = a. Tìm m, n để U V ^ b. Cho vecto x = (-3,11,-3,13). Tìm ( ) V pr x Câu 5 : Trong không gian R 3 cho vecto x = (1,2,3). Bổ sung để được 1 cơ sở trực giao của R 3 Câu 6 : Trong không gian R 3 với tích vô hướng 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 3 3 ( , ) 2 2 4 3 x y x y x y x y x y x y x y x y = - - + + + + . Tìm m, n để hệ sau là hệ trực giao 2 2 : f R R ® Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( 2 ,2 , 2 ) f x x x x x x x x x x x x = - + - - + - . Tìm Imf và Kerf Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( ,2 , 2 ) f x x x x x x x x x x x mx = - + + - + - . a. Tìm m để dim Kerf = 1 b. Tìm Imf với m ở trên Câu 9 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) f x x x x x x x x x x mx = - + + + + . a. Tìm m để dim 0 Kerf ¹ b. Với m ở trên, tìm Imf và Kerf Câu 10 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2 f(1,0,0) = (1,1,1), f(-1,1,0) = (-2,-1,0), f(0,-1,1) = (2,1,3) a. Tìm 1 2 3 ( , , ) f x x x b. Tìm Imf và Kerf Câu 12 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho f(1,1,1) = (2,-1,1), f(1,1,2) = (-2,-1,0), f(1,2,3) = (2,1,2) a. Tìm 1 2 3 ( , , ) f x x x b. Tìm Imf và Kerf Câu 13 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho f(1,1,1) = (1,1,0), f(1,2,1) = (2,3,1), f(2,2,0) = (1,-1,m) a. Tìm m để số chiều của Kerf lớn nhất b. Tìm Imf và Kerf Câu 14 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 ) f x x x x x x x x x x x = - + + - + - Tìm ma trận của f trong cơ sở { } (1,3,1),(2,1,1),(2,0,1) E = Câu 15 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® có ma trận trong cơ sở { } (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) E = là 8 4 2 4 2 1 0 0 0 A æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Tìm 1 2 3 ( , , ) f x x x Câu 16 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( 2 4 , 2 ,2 3 3 ) f x x x x x x x x x x x = - + + - + - Tìm ma trận của f trong cơ sở { } (1,3,1),(2,1,1),(2,0,1) E = Câu 17 : Cho ánh xạ tuyến tính 2 2 : f R R ® biết ma trận của f trong 2 cơ sở { } { } (1,1),(1,2) à F= (1, 1),(0,1) E v= - là 1 0 1 1 A æ ö - ÷ ç = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø a. Tìm 1 2 ( , ) f x x b. Tìm Imf, Kerf Câu 18 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 2 : f R R ® sao cho 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( 2 , 2 ) f x x x x x x x x x = + - + - Tìm ma trận của f trong 2 cơ sở { } (1,3,1),(2,1,1),(2,0,1) E = và { } (2, 1),(3,2) F = - Câu 19 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho f(1,1,1) = (1,2,0), f(1,2,1) = (2,-3,2), f(2,2,0) = (1,-2,4) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của không gian R 3 Câu 20 : Cho ánh xạ tuyến tính : f V V ® có ma trận trong cơ sở { } 1 2 3 , , E e e e = là Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3 15 11 5 20 15 8 8 7 6 A æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç - è ø . Tìm ma trận của f trong cơ sở { } 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 , 3 4 , 2 2 E e e e e e e e e e e e e ¢ ¢ ¢ ¢ = = + + = + + = + + Câu 21 : Trong không gian vecto V cho 1 cho 2 cơ sở { } { } 1 2 1 1 2 2 1 2 , à E = , 2 3 E e e v e e e e e e ¢ ¢ ¢ = = - = + và ánh xạ tuyến tính f thỏa 1 1 2 2 1 2 ( ) 3 2 , ( ) 5 f e e e f e e e = - = + . Tìm ma trận của f trong cơ sở E ’ Câu 22 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® biết ma trận của f trong cơ sở { } (0,1,1),(1,0,1),(1,1,1) E = là 2 1 1 3 2 4 4 3 9 A æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Tìm Kerf Câu 23 : Chéo hóa các ma trận sau 3 1 1 2 4 2 1 1 3 A æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 1 2 2 1 2 1 1 1 4 B æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç - è ø 3 1 1 1 1 1 1 1 1 C æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø Câu 24 : Tìm m để 2 ma trận sau cùng đồng dạng với 1 ma trận chéo 3 1 1 -2 -2 2 1 1 1 à B= 2 3 m 1 1 1 4 2 4 A v æ ö æ ö - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø Câu 25 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) f x x x x x x x x x x x x = + + + + + + Tìm 1 cơ sở của R 3 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo Câu 26 : Cho 2 ma trận 3 2 2 2 2 à B=A 5 7 3 2 5 A v A A I æ ö - ÷ ç = - - + ÷ ç ÷ ç ÷ - è ø . Chéo hóa ma trận B Câu 27 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® biết ma trận của f trong cơ sở { } (0,1,1),(1,0,1),(1,1,1) E = là 1 3 2 3 1 2 1 1 2 A æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Tìm 1 cơ sở của R 3 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 4 Câu 28 : Tìm m để ma trận 1 2 3 2 5 1 3 1 A m æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø có 3 trị riêng dương Câu 29 : Cho ma trận 1 3 3 3 5 3 3 3 1 A æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø . Tìm tất cả m để 1 1 X m æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø là vecto riêng của A, chỉ rõ trị riêng tương ứng Câu 30 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® xác định bởi 1 2 3 1 2 2 3 2 3 ( , , ) (2 , ,2 4 ) f x x x x x x x x x = + - + và vecto x=(1,m,-2).Tìm m để x là 1 vecto riêng của f. Câu 31 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® biết ma trận của f trong cơ sở { } (0,1,1),(1,0,1),(1,1,1) E = là 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A æ ö - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç - è ø . Tìm m để vecto x = (3,m,4) là 1 vecto riêng của f Câu 32: Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 ( , , ) 5 6 4 f x x x x x x x x x x = - + - + + Câu 33 : Tìm m để dạng toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 5 4 2 2 x x x x x mx x x x x x x = - - - - + + xác định âm Câu 34 : Phân loại các dạng toàn phương sau 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 11 6 6 12 12 6 ( , , ) 9 6 6 12 10 2 f x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x = - - - + - + = + + + - - Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. . 1 ĐỀ ÔN TẬP THI CUỐI KỲ MÔN : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – HỌC KỲ HÈ 2010 Câu 1: Trong không gian R 3 với tích vô hướng 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2. xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho f(1,1,1) = (1,2,0), f(1,2,1) = (2,-3,2), f(2,2,0) = (1,-2,4) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của không gian R 3 Câu 20 : Cho ánh xạ tuyến tính. ánh xạ tuyến tính 3 3 : f R R ® sao cho f(1,1,1) = (2,-1,1), f(1,1,2) = (-2,-1,0), f(1,2,3) = (2,1,2) a. Tìm 1 2 3 ( , , ) f x x x b. Tìm Imf và Kerf Câu 13 : Cho ánh xạ tuyến tính 3