PHÉP CHIA ĐA THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khác * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức: 1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó trong B 2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q 3. Nếu A = B.Q + R thì: A chia hết cho B khi R = 0 ; A không chia hết cho b khi R 0 II. Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: 1. Phương pháp: 1.1- Cách 1: + Chia A cho B được thương là Q, dư là R + Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng bằng đồng nhất thức 2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n Nếu gọi thương là x m – n + C (C là một đa thức chưa xác định) Thì A = (x m – n + C ). B A chia hết cho B khi hệ số của cùng một luỹ thừa ở hai vế phải bằng nhau 3.1 - Cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng khi đa thức bị chia có nghiệm) Gọi thương của phép chia A cho B là C thì A = B.C Tìm một giá trị của biến để C = 0 rồi dùng hệ số bất định để xác định hệ số III. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS III.1 - Dạng 1: Bài 1: xác định a, b để A(x) = x 3 + ax + b chia hết cho B(x) = x 2 + x – 2 Hãy thực hiện phép chia A(x) cho B(x) Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì HS ghi đề , tìm cách giải HS thực hiện phép chia: x 3 + ax +b = (x 2 + x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b - 2 Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a và b Thử lại xem có đúng không Bài 2: Tìm a, b Q để A = x 4 + ax + b chia hết cho B = x 2 – 4 Gọi thương là x 2 + c ta có đẳng thức nào? Đẳng thức xẩy ra với x Q nên ta có điều gì? Hãy tìm a, b, c tương ứng III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh 1. Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du “ Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị đa thức ấy tại x = a” Nếu gọi thương là q(x) dư là r thì f(x) = ? Để A(x) B(x) (a + 3)x + b - 2 = 0 a + 3 = 0 a = - 3 b - 2 = 0 b = 2 HS thử lại: HS ghi đề và tìm cách giải Gọi thương là x 2 + c ta có đẳng thức x 4 + ax + b = (x 2 – 4)(x 2 + c ) x 4 + ax + b = x 4 + (c – 4)x 2 – 4c Đẳng thức xẩy ra với x Q nên 0 0 4 0 4 4 16 a a c c b c b HS tiếp cận yêu cầu Ta có f(x) = (x – a). q(x) + r Khi x = a thì f(x) = ? 2. Bài 2: chứng minh rằng: (x 2 + x – 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 - 2 x – 1 Ap dụng định lí Bơ- du ta có điều gì? 3. Bài 3: Chứng minh rằng Với m, n Z thì: A = (x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1) chia hết cho B = x 2 + x + 1 Để C/m : A = (x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1) chia hết cho B = x 2 + x + 1 ta C/m A (x 3 – 1) Vì sao? Để C/m điều này ta làm thế nào? x 3m – 1 = (x 3 – 1)(x 3m – 1 + x 3m – 2 + … + 1) có chia hết cho x 3 – 1? Khi x = a thì f(x) = (a – a). q(x) + r f(x) = r (số dư của f(x) : (x – a)) HS tiếp cận đề bài Ta có: (x 2 + x – 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 - 2 = (x – 1). Q(x) + r (định lí Bơ-du) f(1) = (1 + 1 – 1) 10 + (1 – 1 + 1) 10 – 2 = 0 (x 2 + x – 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 - 2 x – 1 HS tiếp cận đề bài HS phát biểu: Vì x 3 – 1 = (x – 1)(x 2 + x + 1) (x 2 + x + 1) A = (x 3m + 1 – x) + (x 3n + 2 – x 2 ) + (x 2 + x + 1) = x(x 3m – 1) + x 2 (x 3n – 1) + (x 2 + x + 1) Tương tự ta có kết luận gì? III. 3- Dạng 3: Các bài toán khác 1. Bài 1: Tìm số dư của phép chia A(x) = x 50 + x 49 + + x + 1 cho B(x) = x 2 – 1 Gọi thương là Q(x) , dư là R(x) = ? Khi đó A(x) =? Đẳng thức đúng với mọi x nên ta có điều gì? x 3m – 1 = (x 3 – 1)(x 3m – 1 + x 3m – 2 + … + 1) chia hết cho x 3 – 1 nên chia hết cho x 2 + x + 1 x(x 3m – 1) x 2 + x + 1 (1) Tương tự: x 2 (x 3n – 1) x 2 + x + 1 (2) Và x 2 + x + 1 x 2 + x + 1 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm Gọi thương là Q(x), dư là R(x) = ax + b ta có: A(x) = B(x). Q(x) + ax + b Đẳng thức đúng với mọi x nên x 2 – 1 = 0 x = 1 hoặc x = -1 A(1) = a + b A(-1) = - a + b 51 a + b a = 25 1 = - a + b b = 26 Vậy R(x) = 25x + 26 HS ghi đề bài 2. Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia x – 3 thì dư 2; chia x + 4 thì dư 9 và chia cho x 2 + x – 12 được thương là x 2 + 3 còn dư * So sánh x 2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ? Gọi dư của f(x) : (x 2 + x – 12 ) là ax + b Thương của f(x) chia cho x + 3; x + 4 lần lượt là p(x), q(x) ta có điều gì? Từ (1) và (3) suy ra điều gì? Từ (2) và (3) suy ra điều gì? Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ? Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào? x 2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phát biểu 2 f(x) = (x - 3).p(x) + 2 (1) f(x) = (x + 4).q(x) + 9 (2) f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3 ) Từ (1) f(3) = 2 ; từ (3) f(3) = 3a + b 3a + b = 2 (4) Từ (2) và (3) sy ra : -4a + b = 9 (5) Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = 5 Vậy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x 2 + 3) – x + 5 = x 4 +x 3 – 9x 2 + 2x – 31 III. Bài tập về nhà: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x 4 + a x 2 + b chia hết cho B = x 2 + x + 1 b) C = x 4 – x 3 – 3x 2 + ax + b chia cho D = x 2 – x – 2 có dư là R = 2x – 3 c) P = 2x 3 + a x + b chia Q = x + 1 dư - 6 và chia R = x – 2 dư 21 Bài 2: Chưng minh rằng a) mn(m 2 – n 2 ) chia hết cho 6 với mọi số nguyên m, n b) n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n Bài 3: a)Tìm số dư trong phép chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x 2 + 8x + 11 b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x 3 – 3x 2 – 3x – 1 chia hết cho giá trị biểu thức B = x 2 + x + 1 . PHÉP CHIA ĐA THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao về phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ năng vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khác. I. Nhắc lại một số kiến thức: 1. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi luỹ thừa của biến trong A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó trong B 2. Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q 3 bằng đồng nhất thức 2.1- Cách 2: Dùng hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n Nếu gọi thương là x m – n + C (C là một đa thức chưa xác