Các dạng biểu diễn của dãy số

Các dạng biểu diễn của dãy số

1.2 Dãy số

Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng

1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số

Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu Dưới dạng hàm số, dãy

số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số

Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng

hàm số :







∉

∈

=

3 0 0

3 0 1

,

, )

(

n Khi

n Khi n

x

- Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu

ở bảng 1.1

Bảng 1.1

Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n)

- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,

- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : ( ) { ,0,1,1,1,1,0,0, }

↑

=

n x

Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0

1.2.2 Phân loại các dãy số

1.2.2 a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên

∗ Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học

∗ Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học.

1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn

∗ Dãy x p (n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức : x p(n) = x p(n+kN)

[1.2-1]

Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ Dãy tuần hoàn x p (n) còn

các tham số sau :

- Tần số lặp lại :

N

- Tần số góc :

N

π

∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1] Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞

1.2.2 c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn

∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n) N

∗ Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc

n ∈ (- ∞ , 0)

1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía

∗ Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0)

∗ Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞).

Ví dụ1.2 : - Dãy ∑−

=

−

0

1( ) 2

N

k

k

n

x là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .

−

−

N k

k

n

x2( ) 2 là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1

- Dãy ∑∞

=

−

=

0

3( ) 2

k

k

n

x là dãy một phía vô hạn

−∞

=

−

=

k

k

n

x4( ) 2 là dãy hai phía vô hạn

1.2.2 e Dãy chẵn và dãy lẻ

∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng

∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản

đối xứng

1.2.2f Dãy thực và dãy phức

∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực

11

3

1

4 0

- 1

x ( n )

n

∗ Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)

Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên.

Ví dụ1.3 : - Dãy x(n) =e(−α +jω)n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn

- Dãy x(n) = cos(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn.

- Dãy x(n) = sin(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn.

Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4

Ví dụ1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7 là dãy

xác định, hai phía, chẵn và đối xứng, vô

hạn, tuần hoàn với chu kỳ N = 5

- Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy xác

định, một phía, không tuần hoàn, có độ

dài hữu hạn N = 5

Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)

Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số

1.2.3 a Dãy xung đơn vịδ(n)

Dãy xung đơn vị δ(n) đối với hệ

xử lý số có vai trò tương đương như hàm

xung Dirăc δ(t) trong hệ tương tự, nhưng

dãy δ(n) đơn giản hơn Dãy xung đơn vị

δ(n) có hàm số như sau :







≠

=

=

0 0

0 1

)

(

n Khi

n Khi n

δ(n)

Hình 1.9 : Đồ thị dãyδ(n)

Đồ thị dãy δ(n) trên hình 1.9 Dãy δ(n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng 1, nên δ(n) là dãy hữu hạn có độ

dài N = 1.

Hình 1.10 : Đồ thị các dãyδ(n - 5) và δ(n + 5)

Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :







≠

=

=

−

k n Khi

k n Khi k

n

0

1

)

(

Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5) và δ(n + 5)

1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)

Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như

hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ tương

tự Dãy bậc thang đơn vị u(n) có hàm số

như sau :







≥

<

=

0 1

0 0

)

(

n Khi

n Khi n

Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn,

và tuần hoàn với chu kỳ N = 1 Đồ thị của

3

- 2

- 3

- 4

- 5

0 , 6

0 , 6

- 7

- 8

1

x ( n )

n

0 , 6

- 1

0 , 8

3

0 , 4 1

0 , 2

y ( n )

n

2 1

1

- 1

n

1

1

1

3

. ∞

0

1

u ( n )

n

dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11. Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)

Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:







≥

<

=

−

k n Khi

k n Khi k

n u

1

0 )

Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)

Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)

Vì dãy δ(n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy tổng của δ(n - k) với k chạy từ 0 đến ∞ , sẽ

nhận được dãy u(n)

Hơn nữa, trong khoảng (0≤ n < ∞) tại mọi k luôn có :

1 ) ( )

( ) (k =u k n−k =

Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy δ(n) theo biểu thức :

∑

=

∞

=

−

=

−

=

0 0

) ( )

( )

( )

(

k k

k k

n n

Dãy δ(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :

) ( ) ( ) (n =u n −u n−1

1.2.3 c Dãy chữ nhật rect N (n)

Dãy chữ nhật rect N (n) có hàm số như sau :







∉

∈

=

−

−

) ( ,

) ( , )

(

1 0

0

1 0

1

N

N

n Khi

n Khi n

Dãy chữ nhật rect N (n) là dãy một

phía, có độ dài hữu hạn N và xác định

trong miền n ∈ [0 , (N -1)], tuần hoàn với

chu kỳ bằng 1 Đồ thị của dãy chữ nhật

rect N (n) trên hình 1.13

Mở rộng có dãy chữ nhật rect N (n

- k) , với k là hằng số dương hoặc âm :

rect N (n)

Hình 1.13 : Đồ thị dãy rect N (n)







− +

∉

− +

∈

=

−

) (

,

) (

, )

(

1 0

1 1

k N k

k N k k

n Khi

n Khi n

Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4 (n + 2) trên hình 1.14

rect4 (n - 2) rect4 (n + 2)

Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4 (n - 2) và rect4 (n + 2)

Có thể biểu diễn dãy rect N (n) qua dãy δ(n) theo biểu thức :

13

6 5

- 1

1

1

- 2 - 1

.

- 1

1

2 1

∑− ∑

=

−

=

−

=

−

0

1 0

) ( )

( )

( )

(

N N

k k

n n

Dãy rect(n) N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :

) ( ) ( )

1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin

Dãy hàm sin có dạng như sau :

( n)

n n

x

sin )











N

π

Dãy sin(ω0 n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N Đồ thị của dãy sin(ω0 n) ở hình 1.15

Dãy hàm cosin có dạng như sau :

( n)

n n

x

cos )











N

π

Dãy cos(ω0 n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N

sin(ω0 n)

n

Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(ω0 n) vớiN = 10

1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số

1.2.4a Phép dịch tuyến tính

Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu :

) ( ) (n x n k

- Khi k > 0là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n)

- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).

Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép dịch.

Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng

Ví dụ1.5 : Cho dãy x(n) = u(n), hãy xác định các dãy :

a y1(n) = x(n−2) b y2(n) = x(n+2)

Giải : a Vì k = 2 > 0 nên dãy y1(n) = x(n−2) =u(n−2) là dãy u (n)bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy y1(n) =u(n−2) nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy x(n) = u(n)đi 2 mẫu theo trục tung

b Vì k = - 2 < 0 nên dãy y2(n) = x(n+2) =u(n+2)là dãy u (n)được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy y2(n) =u(n+2) nhận

được bằng cách dịch trái đồ

thị dãy x(n) =u(n)đi 2 mẫu theo trục tung

Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12.

1.2.4b Tổng đại số của các dãy

Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy x i (n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần

=

= M

i

i n x n

y

1

) ( )

Ví dụ1.6 : Cho dãy x1(n) = rect4(n) và dãy x2(n) = rect3(n−1), hãy xác định dãy y(n) = x1(n)−x2(n)

Giải : Có y(n)=rect4(n)−rect3(n−1)=δ(n)

Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định

y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16

1.2.4 c Phép nhân các dãy

Định nghĩa : Tích của M dãy x i (n) là dãy y(n)

có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các mẫu

tương ứng của dãy thành phần

rect4(n)

rect3(n - 1)

- 0 , 9 5

- 0 , 5 9

3 2

0 , 5 9

0 , 9 5

1

1

n

n

Kí hiệu : ∏

=

=

i

i n x n

y

1 ) ( )

( [1.2-18]

Ví dụ1.7 : Cho dãy x1(n) =u(n)

và dãy x2(n) = rect5(n+2),

hãy xác định dãy y(n) = x1(n).x2(n)

Giải : Theo định nghĩa có :

y(n) = u(n).rect5(n+2) = rect3(n)

Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải

ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây :

Bảng 1.2

y(n) = δ(n)

Hình 1.16 : Đồ thị xác định

rect4(n) - rect3(n- 1 ) = δ(n)

y(n) = x 1 (n).x 2 (n) = rect3(n) 0 0 0 1 1 1 0 0

Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy bằng chính nó trong miền n ≥0

1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số

Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích của a với các mẫu tương ứng của x(n).

Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.

Ví dụ1.8 : Cho dãy x(n) = rect4(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) = 2 rect4 (n) dưới dạng dãy số liệu.

Giải : Dãy rect4(n) có dạng dãy số liệu là ( ) {1,1,1,1}

↑

=

n x Dãy y(n) = 2 rect4 (n) có dạng dãy số liệu là ( ) {2,2,2,2 }

↑

=

n y

1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính

1.2.5 a Định nghĩa tích chập tuyến tính :Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x1 (n) và x2 (n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức :

) (

* ) ( ) ( )

( )

y

k

k

−∞

=

[1.2-20]

Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập

1.2.5b Các tính chất của tích chập

1 Tính giao hoán :

) (

* ) ( ) (

* )

1 n x n x n x n

Chứng minh : Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20] có :

∑∞

−∞

=

−

=

k

k

x n

x n

x1( )* 2( ) 1( ) 2( )

Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n - m)

Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k → ∞ thì m → - ∞ , nhận được :

∑

∞

=

∞

−∞

=

−

=

−

m k

m x m n x n

x

x1(k) 2( k) 1( ) 2( )

Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :

∑

−∞

=

∞

−∞

=

−

=

−

k k

k k

k

x1( ) 2( ) 2( ) 1( ) Đây chính là biểu thức [1.2-21] : x1(n)*x2(n) =x2(n)*x1(n)

2 Tính kết hợp :

[ ( )* ( )] [ ( )* ( )]* ( )

* )

1 n x n x n x n x n x n

Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] :

[ ( )* ( )] =[ ( )* ( )]* ( ) =

*

)

1 n x n x n x n x n x n

x

15

−













−

−∞

=

∞

−∞

=

) ( ) ( )

2 k x n k x n k

x

=

−













−

−∞

=

∞

−∞

=

) ( ) ( )

2 k x n k x n k

x

) (

* )] (

* ) ( [x1 n x2 n x3 n

Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]

3 Tính phân phối :

[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )

* )

1 n x n x n x n x n x n x n

Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] :

−∞

=

− +

−

= +

k

k k

x n

x n x n

x1( )* 2( ) 3( ) 1( ).[ 2( ) 3( )]

−∞

=

∞

−∞

=

− +

−

= +

k k

k k

k

x n

x n x n

x1( )* 2( ) 3( ) 1( ) 2( ) 1( ) 2( )

Vậy : x1(n)*[x2(n)+x3(n)] = x1(n)*x2(n)+x1(n)*x3(n)

Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23]

1.2.5 c Hệ quả :Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính nó với hàm xung đơn vị δ(n) :

) (

* ) ( ) ( )

(

)

x

k

k

∑∞

−∞

=

=

−