Chuyên đề 2: CHỨNG MINH TAM GiÁC docx

Chuyên đề 2: CHỨNG MINH TAM GiÁC $1 TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC Kiến thức cần nhớ : 1- Tổng góc tam giác 180 độ 2- Trong tam gíác vng góc nhọ phụ 3- Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với 4- Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với B a/ Chứng minh tổng góc tam giác 180 độ?(Bằng cách khác SGK) b/ Chứng minh tổng góc ngồi tam giác 360 độ ? c/ Chứng minh góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề ? BÀI 2: a/ Tính tổng góc đỉnh năm cạnh ? b/ Cho  ABC : AC >AB Vẽ phân giác AD ( D  BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ? HD Sử dụng định lý góc ngồi tam giác BÀI Cho  ABC có góc A =  Vẽ tia phân giác BD CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt O a/ Tính góc BOC theo  ? b/ Vẽ phân giác B C cẳt I Tính góc BIC theo A  ? D E O C B I Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 +   góc I = 90 2 BÀI : Tính góc ngồi tam giác ABC Biết ˆ ˆ ˆ ˆ A  B  B  C = 20 ˆ HD : => Â = B + 20 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C  B  20  A  B  C = B = 180 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ => B = 60 , Â = 80 ; C = 40 & B1 = 120 , A1 =100 ; C1 = 140 ˆ ˆ BÀI : Vẽ thêm dùng định lý góc ngồi Chứng minh : AÔ B = A  B a A O b B $2 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC Tam giác Tam giác vuông TH C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vng TH C-G-C Hai cạnh góc vng TH G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn $ TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT : Tam giác  Cân  ĐỀU  VNG  vng cân Địn A,B,C h AB=BC=A C Qua ˆ ˆ Â+ B  C =18 ˆ ˆ BC ABC : ˆ A = 90 AB = AC a  ABC : ˆ ABC : A  90 không thẳng nghĩ hàng  ABC: AB=AC n hệ 0 ˆ B= ˆ ˆ ˆ A B C 6 00 ˆ ˆ C1  A ˆ 180  A ˆ ˆ C1  B Â=180 góc Qua h 45 BC n hệ Tổng AB=AC AB=AC=  AB  AC c BC > AB BC= c AB=BC=A > cạn ˆ ˆ BC = ˆ 2 B cạnh< ˆ ˆ B  C = 90 C Hiệu BC > AC 2cạnh lại BÀI : Cho tam giác ABC ˆ có Â = 80 độ , B = 60 độ Hai tia phân giác góc B C cắt I Vẽ tia phân giác đỉnh B cắt tia CI A D Chứng minh góc BDC = góc C ?D HD: Tính góc C = 40 độ Tính góc BDC = 180 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc I B C ˆ ˆ ˆ BÀI : Cho tam giác ABC có góc A = B B = C a/ Tính góc A ;B ; C ? b/ Gọi E giao điểm đường thẳng AB với tia phân giác góc ngồi đỉnh C Tính góc AEC ? B ˆ HD : a/Qui góc C =>góc A+B+C =10 C => góc C = 18 ˆ => B = 54 độ; Â = 108 độ b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ A => AC E = 81 độ   Â = B  C =54+18 =72 độ=>gócE =180– (81+72)= 27 độ C E BÀI : Cho tam giác ABC có góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 Hỏi tam giác ABC tam giác ? HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vng A BÀI : Cho tam giác ABC có chu vi 21 cm Độ dài canh số lẻ liên tiếp AB < BC < CA Tim độ dài cạnh tam giác A Biết ABC  PQR A HD : Gọi độ dài cạnh AB = 2n + ,BC= 2n +3 CA = 2n +5 Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= =>AB= PQ= ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm B C BÀI 10: Cho góc xƠy Trên tia O x lấy A , B Oy lấy C,D cho OA=OC ; AB = CD Chứng minh : a/ ABC  CDA & b / ABD  CDB ? D C HD : ABC  CDA(cgc) & CDB  ABD(cgc) A B BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = cm , BC = cm CA = cm Gọi đường thẳng qua A song song với BC a Đường qua B song song với CA b đường thẳng qua C song song vơi AB c Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm đường thẳng b c ; a c ; a b Tìm độ dài cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh ABC  CNA( gcg ); ABC  BAP  MCB =>Các cạnh tam giác MNP dài gấp đôi cạnh tương ứng tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP = 2BC = 10 cm NP =2CA = 8cm B C M BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC tam giác ABC , kẻ BH  AM CK  AM Chứng minh : A a/ BH // CK b/ M trung điểm HK c/ HC // BK ? H H D : a/ BH // CK vng góc với AM B M C b/ BHM  CKM  MH  MK c/ HCM  KBM  gocHCB  gocKBC  HC // BK ˆ ˆ Mà D1  D2 ˆ = 180 độ => D1 =100 , ˆ D2 = 80 B D C BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB ( D khác phía C AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc AC ( E khác phía B AC ) Chứng minh : a/ DC = BE ? b/ DC  BE ? E HD : a/ ADC  ABE (gcg ) => DE = BE D c./ Gọi H giao điểm AB với CD K giao A điểm DC với BE ADH & KBHgocDAH  BKH  900 B C ˆ BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = C Tia phân giác góc B cắt AC D Trên tia đối BD lấy điểm E cho BE = AC điểm K cho CK = AB Chứng minh : Trên tia đối CB lấy AE = AK ? HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK A => ABE  KCA(cgc) => AE = AK D B E C K BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K trung điểm AB E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N cho EN = EB Chứng minh A trung điểm MN ? HD: AKM  BKC (cgc)  gocKAM  gocKBC  AM // BC AEN  CEB  AN  BC & AN // BC M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1) AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2) Từ (1) &(2) => A trung điểm MN K B E C BÀI 19 : Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng A  ADB ; ACE có AB = AD ; AC = AE Kẻ AH vng góc BC ; DM vng góc AH EN vng góc AH Chứng minh a/ N D b/ E DM = AH MN qua trung điểm DE M A HD : a/ => ADM  BAH  DM  AH b/ => tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN Chứng minh DM//EN gọi O giao điểm MN B H C DMO  ENO ( gcg )  OD  OE DE => BÀI 20 : Cho tam giác ABC gọi D trung điẻm AB E trung điểm AC Vẽ điểm F cho E trung điểm DF Chứng minh : A a/ DB = CF ˆ b/ BDC  FCD D E F c/ DE // BC & DE = BC HD: a/ => AED  CEF (cgc)  AD  CF  BD  CF B C b/ => DBC  FCD (cgc) c/ => BDC  FCD  BC  DF  DE  1 DF  DE  BC 2 BÀI 21 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D ; E cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC ? A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC K.Tacó EN//BK EB//NK nên chứng minh NK=EB;EN=BK  AD= NK ( EB )  Chứng minh ADM  NKC (cgc )  DM  KC => E N B F C BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60 Các tia phân giác góc B,góc C cắt I cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E Chứng minh : ID = IE ? A HD : ˆ ˆ => B1  C1  ˆ ˆ B  C 120   60 2 ˆ ˆ ˆ BIC : BIC  120  I  I  60 E I IK phân giác BIˆC  Iˆ1  Iˆ2  60 D BIE  BIK ( gcg )  IE  IK CDI  CIK ( gcg )  ID  IK  ID  IE B K C BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác ˆ ˆ ACE & DBE ˆ cắt K Chứng minh : BKC  ˆ ˆ BAC  BDC ? K D HD: Gọi K giao điểm CK&BE H giao điểm BK&DE A H Xét ˆ ˆ ˆ ˆ KGB & AGC  K  B1  A  C1 (1) ˆ ˆ ˆ ˆ KHC & DHB  K  C  D  B2 G Xét E ˆ ˆ ˆ ˆ Từ (1) &(2) => K  A  D => K  (2) C B ˆ ˆ A D BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vng góc AB lấy D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vng góc AC lấy AE = AC Chứng minh : a/ b/ H E AM = ED AM  DE HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách tia đối MA lấy MK = MA chứng minh DE = AK A - Xét ABK & DAE : AD  AB( gt ); AE  BK ( AC ) ˆ ˆ ˆ ˆ Và DAE  A  180 (viA1  A2  180 ) (1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B  B1  B  C  ABK  A  B  C  A  180 (vibuA) (2) Vậy : ˆ ˆ ABK  DAE  ABK  DAE  AK  DE  AM  B M C DE b/ Gọi H giao điểm AM&DE ; Ta có ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ BAK  DAH  90  D  DAH  90  ADH  90 BÀi 25 Miền góc nhọn xƠy vẽ Oz cho xƠz = z Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vng góc O x cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD = OA Chứng minh tam gíc AOD cân ? HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB A Ta thấy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ : AEB  90   & ABE  OBH  90    AEB  ABE => AOB  ADE (cgc) => AO=AD =>  AOD cân E B O Hh D BÀI 26 : Cho góc xƠz = 120 Oy tia phân giác xÔz ; Ot tia phân giác góc xƠy M điểm miềm góc yOz Vẽ MA vng góc O x,Vẽ MB vng góc Oy,Vẽ MC vng góc Ot Chứng minh 0C = MA – MB ? HĐ: Gọi E , I giao điểm MC với Oy;O x y z =>  EOI => OC = EK M Vẽ EH  MA; EK  OI dễ dàng chứng minh B MH = MB ; EK = OC  MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC H E t C O I A x K BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD ˆ ˆ ˆ HD : Ta có D1  B2  C  20  40 A  cạnh BC lấy điểm K , E cho ˆ ˆ BDK  60 & BDE  80  BDA  BDK ( gcg )  DA  DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường cao BD ,CE Trên tia đối BD lấy điểm I Trên tia đối CE lấy điểm K cho BI = AC , CK = AB Chứng minh  AIK vuông cân ? HD : Ch/minh ABI  KCA(cgc) AI  AK A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt) Suy : tam giác AIK vng cân B C BÀI 29:Cho góc xƠy = 90 độ Lấy điểm A O x điểm B Oy Rồi lấy điểm E tia đối O x điểm F tia Oy cho OE =OB O F = OA a/ Chứng minh AB = E F AB  E F b/ Gọi M,N trung điểm AB, E F Chứng minh tam giác OMN vuông cân ? HD : a/ OAB  Oß E(2 cgv)  AB  E F & AB  E F b/ OMB  ONE (cgc)  OM  ON & gocMOM  90do  y OMN vuông cân B F N E M O A x BÀI30: Cho tam giác ABC, Trên cạnh AB,AC lấy điểm M N cho AM = CN Gọi O giao điểm CM BN Chứn ninh : A a/ CM = B N b/ Số đo góc BOC khơng đổi M N di động AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN M HD: a/ ˆ ˆ ACM  CBN (cgc)  CM  BN & C1  B1 ˆ ˆ ˆ b/ BOCcoBOC  180  ( B1  C )  180  60  120 N O B C ... 27 độ C E BÀI : Cho tam giác ABC có góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 Hỏi tam giác ABC tam giác ? HD : Ta có góc A:B:C=3 :2:1 => góc A =90 độ => Tamgiác ABC vuông A BÀI : Cho tam giác ABC có chu vi 21... gcg )  DA  DK (1) Chứng minh tam gíac DKE cân D =>DK = DE (2) Và chứng minh tamgiác DEC cân E=>DE=EC (3) Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD B K E C BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường... b c ; a c ; a b Tìm độ dài cạnh tam giác MNP ? A HD : Chứng minh ABC  CNA( gcg ); ABC  BAP  MCB =>Các cạnh tam giác MNP dài gấp đôi cạnh tương ứng tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; NP =