= n 1 Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n t
Trang 1Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật
Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
- Cách 1 : Truy toán
- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
- Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
-
Ví dụ 1 : Cho A 2 2 2 2 có 100 dấu căn
Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
Giải :
Dễ tháy A > 1 Sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy 2 2 2 2 4 2
2 2 2 < 2 2 4 2
A < 2 2 4 2
Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm )
Cách giải này thường được gọi là truy toán
Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Giải : Xét số hạng tổng quát
1 1
n n
Vậy :
Trang 2 = ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( n n 1)
Trang 2= n 1
Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
2 1 3 2 4 3 5 4 (n 1 ) n < 2
Xét số hạng tổng quát ta có :
n
n n n n
.
=
1
n n Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng
Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức
Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Giải : Nhận xét B > 2
Ta thấy : B 2 5 13 5 13 5 13
( B2 – 5 )2 = 13 + B
B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B
B4 – 10 B2 – B + 12 = 0
B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0
B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0
( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0
( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0
Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11
do đó B – 3 = 0 Vậy B = 3
Trang 3
Trang 3Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình
Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức
C
Giải : Xét số hạng tổng quát : 2 2
1
( 1)
với k là số nguyên
dương , ta có :
2
Vì :
Vậy :
2
Nên : 2 2
áp dung vào bài
C
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có
4 4 4 4 < 3
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
Với n = 1 ta có D1 = 4 2 < 3 Đúng
Trang 4Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :
k
k
< 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1
1
1
k
k
B
Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = 4 B k < 4 3 < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 Do đó bài toán đúng với mọi n
Ví dụ 7 : Cho biểu thức
A
ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn
Chứng minh A > 1
4 Giải :
Đặt : a n 2 2 2 2 có biểu thức có n dấu căn
Ta có : an2 2 an1 an1 an2 2 và 100
99
2 2
a A
a
Vậy :
100 100 100
100 100 100 100 100
A
Sau đây ta c/m a100 < 2 bằng truy toán
Ta có a 1 2 < 2 đúng
a a < 2 2 4 2
a a < 2 2 4 2
a a < 2
Trang 5Trang 5
Vậy : a100 2 < 2 + 2 = 4 , nên :
1 0 0
1
2 a >
1 4
Từ đó A > 1
4 ( dpcm )
Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
Giải :
Đặt : ak k ( k 1) ( k 2) ( n 1) n Với n > k
và n và k là những số nguyên dương Ta chứng minh ak k 1 Phản chứng :
Giả sử ak k 1 thì theo cách đặt trên ta có :
2 2
a
k
( 1)
k
a k
nên
1
2
k k
với mọi số nguyên dương k , tức là 2002 20032003 phải đúng điều này vô lý Vậy ak k 1 là sai Vậy ak k 1 là đúng
Do đó a 2 3 Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình
x x x x x x x
Giải :
Dễ thấy x = 0 là một ngiệm
Nếu x = 1 , ta có :
Trang 6Trang 6
1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 1 2 3 1
Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình
Nếu x = 2 , ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2
Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình
Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có :
2 x 2 3 x do x = 3 nên 2 x 2 3 x 2 3 2 3.3 2 9 6
Căn tiếp theo sẽ là :
2 x 2 x 2 3 x 2 3 2 3 2 3.3 2 3 6 6
và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :
3 2.3 3 đúng Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình
Nếu x > 3 , thì
2
x2 = x + 2x
x2 – 3x = 0
x = 0 hoặc x = 3
Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3
Trang 7Trang 7
Bài tập luyện tập
dãy tính có quy luật
Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
a ) A 2 2 2 2 vô hạn dấu căn
b ) B 6 6 6 6 vô hạn dấu căn
Bài 2 : Chứng minh rằng :
a ) 6 6 6 6 3
n
b )
3 6 3 6 3 6 3 6 2
n
Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
n
n
T a a a a a
Bài tập 4 : Chứng minh rằng
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( n 1) n n n 1
với mọi số nguyen dương n
Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có
n
Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau
b )
Bài 7 : Chứng minh rằng
Trang 8
không phải là một số tự nhiên
Trang 8
Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
1 2 3 4 n n , với mọi n Z
+
Bài 9 : Cho 100 số : a a1, 2, a3, a4, , a100 là 100 số tự nhiên sao
cho ta có :
a a a a a
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức
2003 3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
Bài 11 : Chứng minh rằng :
1 2 2 3 3 4 2002 2003 2
Bài 12 : Chứng minh rằng :
2
2
4 9 16
n n
, n N và n > 1 không phải là một số nguyên
Bài 13 : a ) Chưng minh rằng n Z+ ta đều có
( 1)
b ) áp dụng chứng minh
Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình
y
vế trái có y dấu căn