Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật docx

Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này - Cách 1 : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy nạp toán học - Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình - Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học - Ví dụ 1 : Cho 2 2 2 2 A      có 100 dấu căn Chứng minh A không phải là một số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2 Thật vậy 2 2   2 2 4 2    2 2 2   < 2 2 4 2    2 2 2 2 A      < 2 2 4 2    Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm ) Cách giải này thường được gọi là truy toán Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 n n          Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Giải : Xét số hạng tổng quát 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n              Vậy : 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 n n          Trang 2 = ( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 1) n n          = 1 n  Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 4 ( 1 ) n n      < 2 Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 n n n n n n n n n n n n n                            1 1 1 1 2 1 1 . 1 1 n n n n n n n n n                      = = 2 2 1 n n   . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức 5 13 5 13 5 13 B        Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > 2 Ta thấy : 2 5 13 5 13 5 13 B         ( B 2 – 5 ) 2 = 13 + B  B 4 – 10 B 2 + 25 = 13 + B  B 4 – 10 B 2 – B + 12 = 0  B 4 – 9 B 2 – B 2 + 9 – B + 3 = 0  B 2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0  ( B – 3)[ B 2 ( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0  ( B – 3)[ ( B + 3)( B 2 – 1 ) – 1 ] = 0 Vì B > 2 nên B 2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B 2 – 1) – 1 > 11 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3 Trang 3 Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C              Giải : Xét số hạng tổng quát : 2 2 1 1 1 ( 1) k k    với k là số nguyên dương , ta có : 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1k k k k                     2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 2 1 1 1 1 k k k k k k                                           Vì : 1 1 1 1 1 1 2 1. 2 . 2 1 2. 0 1 1 ( 1) k k k k k k k k                                   Vậy : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) k k k k              Nên : 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 k k k k k k            áp dung vào bài 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C                                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 100 99,99 1 2 2 3 3 4 4 99 100 100               Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 4 4 4 4     < 3 Giải : Ta chứng minh bằng quy nạp toán học Với n = 1 ta có D 1 = 4 2  < 3 Đúng Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có : 4 4 4 4 k k B             < 3 là đúng Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 1 1 4 4 4 4 k k B               = 4 k B  Vì B k < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên B k+1 = 4 k B  < 4 3  < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n Ví dụ 7 : Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A            ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn . Chứng minh A > 1 4 Giải : Đặt : 2 2 2 2 n a      có biểu thức có n dấu căn Ta có : 2 1 2 n n a a     2 1 2 n n a a    và 100 99 2 2 a A a    Vậy :    100 100 100 2 2 100 100 100 100 100 2 2 2 1 2 ( 2) 4 2 2 2 a a a A a a a a a              Sau đây ta c/m 100 a < 2 bằng truy toán Ta có 1 2 a  < 2 đúng 2 1 2 2 2 a a     < 2 2 4 2    3 2 2 2 2 2 a a      < 2 2 4 2    100 99 2 a a   < 2 Trang 5 Vậy : 100 2 a  < 2 + 2 = 4 , nên : 100 1 2 a  > 1 4 Từ đó A > 1 4 ( dpcm ) Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : 2 3 4 5 6 2003 2004 < 3 Giải : Đặt : ( 1) ( 2) ( 1) k a k k k n n     Với n > k và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh 1 k a k   Phản chứng : Giả sử 1 k a k   thì theo cách đặt trên ta có : 2 2 1 1 1 . . k k k k k k a a k a a k a a k         mà 2 2 ( 1) k a k   nên 2 2 2 2 1 ( 1) 2 1 2 2 k k a k k k k k a k k k k k            với mọi số nguyên dương k , tức là 2002 2003 2003  phải đúng . điều này vô lý . Vậy 1 k a k   là sai . Vậy 1 k a k   là đúng . Do đó 2 3 a  . Ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình 2 2 2 2 2 3 x x x x x x x        Giải : Dễ thấy x = 0 là một ngiệm Nếu x = 1 , ta có : Trang 6 1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 1 2 3 1          Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 2 , ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2          Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có : 2 2 3 x x  do x = 3 nên 2 2 3 2 3 2 3.3 2 9 6 x x      Căn tiếp theo sẽ là : 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3.3 2 3 6 6 x x x         và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có : 3 2.3 3   đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình Nếu x > 3 , thì 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x                 x 2 = x + 2x  x 2 – 3x = 0  x = 0 hoặc x = 3 Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3 Trang 7 Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau a ) 2 2 2 2 A      vô hạn dấu căn b ) 6 6 6 6 B      vô hạn dấu căn Bài 2 : Chứng minh rằng : a ) 6 6 6 6 3 n C            b ) 3 3 3 3 6 6 6 6 2 n D               Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 n n T a a a a a         ; Với n  Z + Bài tập 4 : Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( 1) 1n n n n            với mọi số nguyen dương n Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 4 n n n         Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau a ) 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 97 100 A          b ) 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 100 101 B          Bài 7 : Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 00 S        không phải là một số tự nhiên . Trang 8 Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n       , với mọi n  Z + Bài 9 : Cho 100 số : 1 2 3 4 100 , , , , , a a a a a là 100 số tự nhiên sao cho ta có : 1 2 3 4 100 1 1 1 1 1 20 a a a a a       Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 2001 2003 3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)          Bài 11 : Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2002 2003 2          Bài 12 : Chứng minh rằng : 2 2 3 8 15 1 4 9 16 n n      ,  n  N và n > 1 không phải là một số nguyên . Bài 13 : a ) Chưng minh rằng  n  Z + ta đều có 1 1 1 1 1 ( 1) n n n n n       b ) áp dụng chứng minh 3 5 2008 4 3 4 5 2008 2007 2 2008 2 3 4 2007        Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình y x x x x x z                 vế trái có y dấu căn . Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này - Cách 1 : Truy toán - Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát - Cách 3 : Dùng quy. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 C                                      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 100 99 ,99 1 2 2 3 3 4 4 99 100 100         .        ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn . Chứng minh A > 1 4 Giải : Đặt : 2 2 2 2 n a      có biểu thức có n dấu căn Ta có : 2 1 2 n n a a   