Đường tròn và đường conic

Nguyễn Phú Khánh 606 Bài tập tự luyện Bài tập 1. Viết phương trình đường tròn ( ) C , biết: a. Đi qua ( ) A 3; 4 và các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. b. Có tâm nằm trên đường tròn ( ) ( ) 2 2 1 4 C : x 2 y 5 − + = và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 : x y 0∆ − = và 2 : x 7y 0∆ − = . c. Đi qua các điểm H, M, N . Biết ( ) ( ) A 0;2 ,B 2; 2 ,− − ( ) C 4; 2− và H là chân đường cao kẻ từ B, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. d. Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 6 y 2 4− + − = . Bài tập 2. Viết phương trình đường tròn ( ) C : a. Có tâm nằm trên đường thẳng 4x 5y 3 0− − = và tiếp xúc với các đường thẳng: 2x 3y 10 0,− − = 3x 2y 5 0− + = . b. Qua điểm ( ) A 1;5 − tiếp xúc với các đường thẳng 3x 4y 35 0, + − = 4x 3y 14 0 + + = . c. Tiếp xúc với các đường thẳng: 3x 4y 35 0,+ − = 3x 4y 35 0,− − = x 1 0− = . d. Có tâm M nằm trên d :x y 3 0− + = , bán kính bằng 2 lần bán kính đường tròn ( ) 2 2 C' : x y 2x 2y 1 0+ − − + = và tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ) C' . e. Tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ) C' : ( ) ( ) 2 2 x 6 y 2 4− + − = Bài tập 3. Viết phương trình đường tròn ( ) C a. Đi qua 3 điểm A, B, ( ) M 0;6 . Trong đó A, B là giao điểm 2 đường tròn ( ) 2 2 1 C : x y 2x 2y 18 0+ − − − = và ( ) 2 C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 8+ + − = . b. Đi qua hai điểm ( ) ( ) A 2;1 ,B 4; 3 và có tâm thuộc đường thẳng ∆ − + =: x y 5 0 . c. Đi qua hai điểm ( ) ( ) A 0;5 ,B 2;3 và có bán kính =R 10 . d. Đi qua hai điểm ( ) ( ) A 1;0 ,B 2;0 và tiếp xúc với đường thẳng − =d : x y 0 . e. Đi qua ( ) A 1;1 ,O− và tiếp xúc với − + − =d : x y 1 2 0 . www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh 607 Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho điểm ( ) A 0;2 và đường thẳng d : x 2y 2 0− + = . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC= . b. Cho đường thẳng − − =d : x 3y 4 0 và đường tròn ( ) 2 2 C : x y 4y 0+ − = . Tìm M thuộc d và N thuộc ( ) C sao cho chúng đối xứng qua ( ) A 3;1 . c. Cho đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 25 C : x 2 y 4 9 − + − = và đường thẳng + − =d : 5x 2y 11 0. Tìm điểm C trên d sao cho tam giác ABC có trọng tâm G nằm trên đường tròn ( ) C biết ( ) ( ) A 1;2 ,B 3; 2 .− d. Cho điểm ( ) A 1;14− và đường tròn ( ) C có tâm ( ) I 1; 5− và bán kính R 13= . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt ( ) C tại M,N sao cho khoảng cách từ M đến AI bằng một nửa khoảng cách từ N đến AI . e. Cho tam giác ABC có đường cao AH : x 3 3 0− = , phương trình 2 đường phân giác trong góc B và góc C lần lượt là : x 3y 0− = và x 3y 6 0+ − = . Viết phương trình các cạnh của tam giác, biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 . Bài tập 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a . Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 1 4− + − = và đường thẳng ∆ : = x – 3y – 6 0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆ , sao cho từ M vẽ được hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là tiếp điểm) thỏa ∆ ABM là tam giác vuông. b . Cho đường thẳng − + =x yd 1: 0 và đường tròn ( ) C có phương trình + + − = 2 2 x y 2x 4y 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại A và B , sao cho  = 0 AMB 60 . c . Cho đường tròn ( ) 2 2 C : x y 1+ = . Đường tròn ( ) C' tâm ( ) I 2;2 cắt ( ) C tại hai điểm A, B sao cho = AB 2 . Viết phương trình đường thẳng AB . d. Cho hai điểm ( ) ( ) A 2;1 ,B 0;5 , đường tròn ( ) ( ) 2 2 x – 1 y – 3 5 + = và đường thẳng d : x 2y 1 0.+ + = Từ điểm M trên d kẻ hai tiếp tuyến ME,MF đến ( ) C ( E,F là hai tiếp điểm). Biết ABEF là một hình thang, tính độ dài đoạn EF. e. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 8x 2y 0+ − − = và điểm ( ) A 9;6 . Viết phương trình đường thẳng qua A cắt ( ) C theo một dây cung có độ dài 4 3 . www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh 608 Bài tập 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, a. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 1 10 − + − = . Đường tròn ( ) C' tâm ( ) I' 2; 5 − − cắt ( ) C tại hai điểm A,B sao cho AB 2 5 = . Viết phương trình đường thẳng AB . b. Cho điểm ( ) I 2;4 và hai đường thẳng 1 d : 2x y 2 0, − − = 2 d : 2x y 2 0 + − = . Viết phương trình đường tròn tâm I cắt 1 d tại hai điểm A,B và cắt 2 d tại hai điểm C,D sao cho 16 5 AB CD 5 + = . c. C ho tam giác ABC cân tại C, đỉnh ( ) B 3; 3 ,− − đường tròn nội tiếp tam giác ABC có phương trình: 2 2 x y 2x 8 0 + − − = . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC . Biết rằng đỉnh C có tung độ dương. d. Cho điểm ( ) M 2;1 và hai đường thẳng 1 d : 2x y 7 0, − + = 2 d : x y 1 0 + + = . Viết phương trình đường tròn ( ) C có tâm nằm trên 1 d , đi qua điểm M và cắt 2 d tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB 6 2= . Bài tập 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, a. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 9 − + + = và đường thẳng d : 3x 4y m 0− + = . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới ( ) C ( A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. b. Cho tam giác ABC có ( ) A 5; 2 , − − ( ) B 3; 4 . − − Biết diện tích tam giác ABC bằng 8 và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 5 . Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương. c. Cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng : x 2y 1 0,∆ + + = đường cao BH có phương trình x 1 0, + = đường thẳng BC đi qua điểm ( ) M 5;1 và tiếp xúc với đường tròn ( ) 2 2 C : x y 8 + = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết các đỉnh B, C có tung độ âm và đoạn thẳng BC 7 2= . d. Cho đường tròn ( ) C : ( ) 2 2 x y 3 4 + − = và một đường tròn ( ) C ′ cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A,B. Giả sử đường thẳng AB có phương trình là x y 2 0, + − = hãy viết phương trình của đường tròn ( ) C ′ có bán kính nhỏ nhất. e. Cho đường tròn: ( ) C : 2 2 x y x 4y 2 0, + − − − = ( ) ( ) A 3; 5 ,B 7; 3 . − − Tìm M thuộc đường tròn ( ) C sao cho 2 2 MA MB + đạt giá trị nhỏ nhất. www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh 609 Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a. Cho ABC ∆ có 3 7 M ; 2 2       và 1 5 N ; 2 2       lần lượt là trung điểm của BC và AC . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ để d : x 1 4 y 2 t 3  =   = +   là đường phân giác trong của  BAC . b. cho đường tròn ( ) K : + = 2 2 x y 4 và hai điểm ( ) ( ) − A 0;2 , B 0; 2 . Gọi ( ) ≠ C,D C A,B là hai điểm thuộc ( ) K và đối xứng với nhau qua trục tung. Biết rằng giao điểm E của hai đường thẳng AC, BD nằm trên đường tròn ( ) + + − = 2 2 1 K :x y 3x 4 0, hãy tìm tọa độ của E . c. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đỉnh ( ) B 1;1 , đường thẳng AC có phương trình: 4x 3y 32 0 + − = , trên tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM 75 = . Tìm đỉnh C biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 5 5 2 . Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho họ đường cong ( ) m C : ( ) 2 2 x y 2mx 2 m 1 y 1 0 + + − − + = . Định m để ( ) m C là đường tròn tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi. b. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 4− + + = . M là điểm di động trên đường thẳng d : x – y 1 0 + = . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến 1 2 MT , MT tới ( ) C ( 1 2 T , T là tiếp điểm ) và tìm toạ độ điểm M , biết đường thẳng 1 2 T T đi qua điểm ( ) A 1; 1 .− c. Viết phương trình đường tròn ( ) C qua ( ) A 1;3 và tâm của đường tròn ( ) C' : 2 2 x y 1+ = . Biết ( ) C cắt ( ) C' tại B,C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2,7. d. Cho đường thẳng d : 2x 4y 15 0 + − = và hai đường tròn có phương trình lần lượt là ( ) ( ) ( ) 2 2 1 C : x 1 y 2 9 ,− + − = ( ) ( ) 2 2 2 C : x 1 y 1+ + = . Tìm M trên ( ) 1 C và N trên ( ) 2 C sao cho MN nhận đường thẳng d là đường trung trực và N có hoành độ âm. Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, www.VNMATH.com , Nguyễn Phú Khánh 610 a. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 4x 2y 3 0+ − + − = . Từ điểm ( ) A 5;3 kẻ được 2 tiếp tuyến với đường tròn ( ) C . Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm. b. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 4+ = và đường thẳng ( ) d : x y 4 0+ + = . Tìm điểm A thuộc ( ) d sao cho từ A vẽ được 2 tiếp tuyến tiếp xúc ( ) C tại M, N thoả mãn diện tích tam giác AMN bằng 3 3 . Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC ∆ có ( ) A 1;1 − , trực tâm ( ) H 31;41 − và tâm ( ) I 16; 18 − đưởng tròn ngoại tiếp ABC ∆ . Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C . Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 C : x y 2x 4y 0 + − + = và đường thẳng d : x y 0 − = . Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA,MB đến ( ) C ( A,B là các tiếp điểm) và đường thẳng ABtạo với d một góc ϕ với 3 cos 10 ϕ = . Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 1 9 − + + = có tâm I . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) M 6; 3 − và cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 2 và AB 2 > . Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 C : x y 2x 4y 4 0 + − + − = có tâm I và đường thẳng ∆ : + + − = 2x my 1 2 0 . Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất. Bài tập 15. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 C : x 1 y 1 25 − + + = và ( ) M 7;3 . Viếp phương trình đường thẳng qua M cắt ( ) C tại A, B sao cho MA 3MB = . Bài tập 16. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, www.VNMATH.com , Nguyễn Phú Khánh 611 a. Cho đường tròn ( ) C có phương trình : + − − + = 2 2 x y 2x 6y 6 0 và điểm ( ) − M 3;1 . Gọi 1 2 T ,T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( ) C . Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 2 T ,T . b. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 4x 2y 15 0 + − + − = Gọi I là tâm đường tròn ( ) C . Đường thẳng ∆ đi qua ( ) M 1; 3 − cắt ( ) C tại hai điểm A và B . Viết phương trình đường thẳng ∆ biết tam giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh ABlà cạnh lớn nhất. Bài tập 17. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H . Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là 2 2 x y x 5y 4 0 + − − + = , H thuộc đường thẳng : 3x y 4 0 ∆ − − = , trung điểm ABlà ( ) M 2;3 . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài tập 18. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( ) A 1;0 và các đường tròn ( ) C : 2 2 x y 2 + = và ( ) 2 2 C' : x y 5 + = . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên các đường tròn ( ) C và ( ) C' để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Bài tập 19. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 C : x 1 y 2 25 − + − = . Từ ( ) E 6; 2 − vẽ hai tiếp tuyến EA, EB (A, B là tiếp điểm) đến (C). Viết phương trình đường thẳng AB. Bài tập 20. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) 2 2 C : x 1 y 2 − + = và hai điểm ( ) A 1; 1 − , ( ) B 2;2 . Tìm tọa điểm M thuộc đường tròn ( ) C sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 2 . Bài tập 21. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 2 y 1 10 − + − = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông MNPQ, biết M trùng với tâm của đường tròn ( ) C , hai đỉnh N, Q thuộc đường tròn ( ) C , đường thẳng PQ đi qua E( 3;6) − và Q x 0 > . www.VNMATH.com , Nguyễn Phú Khánh 612 Bài tập 22. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng Δ : x + y + 2 = 0 và đường tròn ( ) C : 2 2 x y 4x 2y 0 + − − = . Gọi I là tâm và M thuộc đường thẳng ∆ . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB . Tìm M sao cho diện tích tứ giác MAIB bằng 10 . Bài tập 23. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 25 − + − = . a. Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C : ∗ Tại điểm ( ) M 4;6 ∗ Xuất phát từ điểm ( ) N 6;1 − b. Từ ( ) E 6; 3 − vẽ hai tiếp tuyến EA,EB ( A,B là tiếp điểm) đến ( ) C . Viết phương trình đường thẳng AB . Bài tập 24. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh ( ) A 3; 7 − , trực tâm là ( ) H 3; 1 − , tâm đường tròn ngoại tiếp là ( ) I 2;0 − . Xác định toạ độ đỉnh C , biết C có hoành độ dương. Bài tập 25. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho hai đường thẳng 1 d : 3x y 0+ = và 2 d : 3x y 0− = . Gọi ( ) T là đường tròn tiếp xúc với 1 d tại A , cắt 2 d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của ( ) T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. b. Cho đường tròn ( ) + − + = 2 2 C : x y 2x 4y 0 và đường thẳng − = d :x y 0 . Tìm tọa độ các điểm M trên đường thẳng d , biết từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến ( ) C ( A, B là các tiếp điểm) và khoảng cách từ điểm ( ) −N 1; 1 đến AB bằng 3 5 . Bài tập 26. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho cho điểm ( ) A 1;4 . Tìm hai điểm M,N lần lượt năm trên hai đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 1 C : x 2 y 5 13− + − = và ( ) 2 C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 25− + − = sao cho tam giác MAN vuông cân tại A . www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh 613 Bài tập 27. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho các đường tròn ( ) ( ) 2 2 1 1 C : x 1 y 2 − + = và ( ) 2 C : ( ) ( ) 2 2 x 2 y 2 2− + − = . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( ) 1 C và cắt đường tròn ( ) 2 C theo dây cung có độ dài 2 2 . b. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 1 9− + + = có tâm I . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) M 6; 3− và cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 2 và AB 2. > c. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 4x 4y 1 0 + − − − = à đường thẳng d : y mx m 1 = − + . Đường thẳng d cắt ( ) C tại hai điểm A,B . Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P . Xác định các giá trị của m biết P thuộc đường thẳng d' : x 3y 9 0 + + = . Bài tập 28. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 5− + − = . a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) M 3; 1− và cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm A,B sao cho AB 2. = b. Viết phương trình đường thẳng 1 d đi qua ( ) N 2;1 sao cho 1 d cắt đường tròn ( ) C tại hai điểm C, D có độ dài nhỏ nhất. Bài tập 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a. Cho hình vuông ABCD, có cạnh AB đi qua điểm ( ) M 3; 2 , − − và A x 0> . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD khi đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 C : x 2 y 3 10− + − = nội tiếp ABCD . b. Cho tam giác ABC, có ( ) A 2, 2 , − ( ) B 4,0 , ( ) C 3; 2 1− và ( ) C là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng d có phương trình 4x y 4 0 + − = . Tìm trên d điểm M sao cho tiếp tuyến qua M tiếp xúc với ( ) C tại N thỏa mãn NAB S đạt giá trị lớn nhất? c. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 1− + + = và đường thẳng ( ) : 2x y 1 0 ∆ − + = . Tìm điểm A thuộc đường thẳng ( ) ∆ sao cho từ A kẻ được các tiếp tuyến www.VNMATH.com , Nguyễn Phú Khánh 614 AB, AC ( B,C là các tiếp điểm ) đến đường tròn ( ) C đồng thời diện tích tam giác ABC bằng 2,7 . d. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 2x 4y 4 0+ − − − = có tâm I và điểm ( ) M 3;0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết ∆ cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho tứ giác ABIM là hình bình hành. Bài tập 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a. Cho đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 C : x 4 y 6 5.− + − = Điểm ( ) ( ) A 2;5 ,B 6;5 nằm trên ( ) C . Đỉnh C của tam giác ABC di động trên đường tròn ( ) C . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC biết H nằm trên đường thẳng ( ) d : x y 1 0 − + = . b. Cho 2 đường tròn ( ) 2 2 C : x y 9 + = và ( ) C' : 2 2 x y 18x 6y 65 0 + − − + = . Từ điểm M thuộc ( ) C' kẻ 2 tiếp tuyến với ( ) C , gọi A,B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M biết AB 4,8 = . c. Cho tam giác đều ABC . Đường tròn ( ) C nội tiếp tam giác ABC có phương trình là ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 5− + − = , đường thẳng BC đi qua điểm 7 M ;2 . 2       Xác định tọa độ điểm A . d. Cho 2 đường tròn ( ) 2 2 1 C : x y 13+ = và ( ) ( ) 2 2 2 C : x 6 y 25− + = . Gọi A là giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C với A y 0< . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( ) 1 C , ( ) 2 C theo 2 dây cung có độ dài bằng nhau. Bài tập 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 2 x y 2x 2my m 24 0 + − − + − = có tâm I và đường thẳng :∆ mx 4y 0.+ = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( ) C tại 2 điểm phân biệt A,B thoả mãn diện tích IAB 12= . b. Cho tam giác ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng 3x y 4 0, − − = biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình : 2 2 x y x 5y 4 0 ,+ − − + = trung điểm cạnh AB là ( ) M 2;3 . Tìm tọa độ 3 đỉnh tam giác ?. www.VNMATH.com , Nguyễn Phú Khánh 615 c. Cho đường tròn ( ) C : 2 2 x y 2x 4y 2 0 + − + + = .Gọi ( ) C' là đường tròn có tâm ( ) I 5;1 và cắt đường tròn ( ) C tại 2 điểm M,N sao cho MN 5= .Hãy viết phương trình của ( ) C' . d. Cho tam giác ABC có đỉnh ( ) A 1;1 , trực tâm ( ) H 1;3 , − tâm đường tròn ngoại tiếp ( ) I 3; 3 − . Xác định tọa độ các đỉnh B, C, biết rằng B C x x .< Bài tập 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a. C ho đường thẳng ( ) d : x y 1 0− + = và đường tròn ( ) 2 2 C : x y 2x 4y 4 0+ − + − = . Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( ) d sao cho qua M kẻ được các tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn với A,B là các tiếp điểm đồng thời khoảng cách từ điểm 1 N ;1 2       đến đường thẳng đi qua AB là lớn nhất. b. Cho đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 16+ + − = và đường thẳng ∆ có phương trình 3x 4y 5 0. + − = Viết phương trình đường tròn ( ) C ′ có bán kính bằng 1 tiếp xúc ngoài với ( ) C sao cho khoảng cách từ tâm I của nó đến ∆ là lớn nhất c. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 C : x 1 y 1 10− + − = . Điểm ( ) M 0;2 là trung điểm cạnh BC và diện tích tam giác ABC bằng 12 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. d. Cho 3 điểm ( ) M 2, 1 , − ( ) N 3;2 , ( ) P 3;4 − và đường tròn ( ) C : ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 25− + + = . Gọi ( ) d qua M cắt ( ) C tại A,B sao cho IAB S đạt giá trị lớn nhất. Hãy xác định tọa độ ( ) E d ∈ sao cho 2 2 EN EP+ đạt giá trị nhỏ nhất, với I là tâm đường tròn Hướng dẫn giải Bài tập 1.a. Gọi A 1 , A 2 lần lượt là hình chiếu của A lên hai trục Ox, Oy suy ra ( ) ( ) 1 2 A 3;0 , A 0;4 Giả sử ( ) 2 2 C : x y 2ax 2by c 0 + − − + = . www.VNMATH.com [...]... ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 4, ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 1 82 và ( x − 6 ) + ( y − 6 ) = 36 2 2 Bài tập 3.a Tọa độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của hệ: , 2 2  2  2 x + y − 2x − 2y − 18 = 0 x + y − 2x − 2y − 18 = 0 ⇔  2 2 2 2 ( x + 1) + ( y − 2 ) = 8 x + y + 2x − 4y − 3 = 0    15 x 2 + y 2 − 2x − 2y − 18 = 0  y = 2x + 2   ⇔ ⇔ 15 =y 2x + 5x 2 + 24 x + 93 = 0 ( ∗) 2   4... 18 )2 + ( y − 18 )2 = 1 82 2 2 81 25 ( x − 2 )2 + ( y − 1 )2 = 13 , ( x + 8 )2 + ( y + 7 )2 = 13 , Bài tập 2. a 2 b và ( x − 6 ) + ( y − 6 ) = 36 2 ( x − 2 )2 + ( y − 1 )2 = 25 ,  x + 20 2  +  y − 349  =  185        49   49    49  2 2 2 2   32  35   40  2 2 c  x −  +  y −  =   , ( x − 5 ) + y 2 = 16, ( x + 15 ) + y 2 = 25 6 3   3  3    d Đường tròn ( C' ) có tâm I' ( 1;1)... nên suy ra d I, ( d ) = R ⇔ a−b 2 = a 2 + b2 − c ⇔ a 2 + b2 + 2ab − 2c = 0 ( 3 ) 3 1 3 7 , b = ,c = 2 hoặc a = , b = − ,c = 2 2 2 2 2 Vậy, có hai đường tròn thỏa yêu cầu bài toán là: Từ ( 1) , ( 2 ) , ( 3 ) ta được a = x 2 + y 2 − 3x − y + 2 = 0 và x 2 + y 2 − 3x + 7y + 2 = 0 619 www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh e Gọi ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 là đường tròn cần tìm c = 0 Vì ( C ) đi qua... 2 đường tròn là : (C ) : (x − 2) ' 1 2 ( ) + ( y − 2 ) = 4 và C '2 : ( x − 18 ) + ( y − 18 ) = 1 82 2 2 2 TH2: a = − b = R ⇒ ( C' ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2 2 2 Tương tự như trường hợp 1, ta có : II ' = R + R ' ⇔ a = 6 ( ) Vậy trường hợp này có 1 đường tròn là C'3 : ( x − 6 ) + ( y − 6 ) = 36 2 2 Tóm lại , có 3 đường tròn thỏa cần tìm là : ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 4, ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2. .. = 2 + a ⇔ a = 2 hoặc a = 18 Trường hợp này có 2 đường tròn là : ( C1 ) : ( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 = 4 và ( C2 ) : ( x − 18 )2 + ( y − 18 )2 = 1 82 2 2 TH2: a = − b = R ⇒ ( C ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2 Tương tự như trường hợp 1, II ' = R + R ' ⇔ ( a − 6 )2 + ( a + 2 ) 2 = 2 + a ⇔a=6 Vậy, trường hợp này có 1 đường tròn là ( C3 ) : ( x − 6 ) + ( y − 6 ) = 36 2 2 Tóm lại , có 3 đường tròn thỏa cần... trung điểm của BC HA = 2IN ⇒ A ( 2a + 1; 2b − 3 ) ⇒ B ( 3 − 2a; 9 − 2b ) Vì B ∈ ( HBC ) nên ( 3 − 2a ) + ( 9 − 2b ) − ( 3 − 2a ) − 5 ( 9 − 2b ) + 4 = 0 2 2 ⇔ 2a 2 + 2b 2 − 5a − 13b + 23 = 0 ( 1) Ta có c BN = ( 3a − 3; 3b − 9 ) và BN ⊥ AH nên BN.AH = 0 ( 2a − 1)( 3a − 3 ) + ( 2b − 5 )( 3b − 9 ) = 0 ⇔ 2a 2 + 2b2 − 3a − 11b + 16 = 0 ( 2 ) 1 5 hoặc b = ⇒ a = 1 2 2 5 Với b = 3 ⇒ B ( 2; 3 ) ≡ M (loại) Với... lượt là 2 điểm nằm trên đường tròn ( C1 ) , (C ) 2 2 2  M ∈ ( C1 ) ( a − 2 ) + ( b − 5 ) = 13  ⇒ ( 1)  2 2 N ∈ ( C 2 ) ( c − 1) + ( d − 2 ) = 25    AM.AN = 0  Lại có: ∆AMB vuông cân tại A nên có:  (2)  AM = AN  638 www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh Bài tập 27 a ( C1 ) có tâm I1 (1; 0 ) và bán kính R 1 = ( C2 ) 1 2 có tâm I 2 ( 2; 2 ) và bán kính R 2 = 2 Giả sử d là đường thẳng cần tìm và d... T2 thuộc đường tròn đường kính IA Vậy, đường tròn ( C ) và đường tròn đường kính IA có 2 điểm chung T1 ,T2 Gọi ( C' ) là đường tròn đường kính IA 628 www.VNMATH.com Nguyễn Phú Khánh M ( x; y ) ∈ ( C' ) ⇔ IM ⊥ AM ⇔ IM.AM = 0 ( 1) IM = ( x − 2 ; y + 1) , AM = ( x − 5 ; y − 3 ) (1) ⇔ ( x − 2 )( x − 5 ) + ( y + 1)( y + 3 ) = 0 ⇔ x2 + y2 − 7x − 2y + 7 = 0 x 2 + y 2 − 4x + 2y − 3 = 0  T1 , T2 thỏa hệ... x1 , x 2 là hai nghiệm của ( ∗) , suy ra A  x1 ; 2x1 +  , B  x 2 ; 2x 2 +  2  2    2 2 111 Suy ra AB2 = 5 ( x1 − x 2 ) = 5 ( x1 + x 2 ) − 4x1x 2  =     5 x1 + x 2  12 =−  xM =  12 27   2 5 Gọi M là trung điểm AB , suy ra  ⇒ M− ;   5 10   y = x + x + 15 = 27 1 2  M 2 10  Phương trình đường thẳng AB : 4x − 2y + 15 = 0 Phương trình đường trung trực ∆ của đoạn AB : x + 2y − 3... − y + 1 − 2 = 0 ⇒ d I, ( d ) = R ⇔ a − b +1− 2 2 = a 2 + b2 − c (2) Từ (1) và ( 2 ) giải hệ thu được a = 0, b = 1,c = 0 hoặc a = 1, b = 0,c = 0 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là : x 2 + y 2 − 2y = 0 và x 2 + y 2 − 2x = 0 Bài tập 4.a Ta có AB ⊥ d nên AB có phương trình : 2x + y − 2 = 0 x − 2y + 2 = 0 2 6 ⇒ B ;  Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :   5 5 2x + y − 2 = 0 Suy ra AB = 2 5 AB 5 ⇒ . + − = ( ) ( ) 2 2 25 x 8 y 7 13 + + + = b. ( ) ( ) 2 2 x 2 y 1 25 ,− + − = 2 2 2 2 02 349 185 x y 49 49 49       + + − =             c. 2 2 2 35 40 32 x y , 3 3 3 . ) 2 2 2 2 2 x 2 y 2 4, x 18 y 18 18 − + − = − + − = và ( ) ( ) 2 2 x 6 y 6 36 − + − = . Bài tập 3.a. Tọa độ giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C là nghiệm của hệ: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 2 x y 2x 2y 18 0 x y 2x 2y 18 0 x y 2x 4y 3 0 x 1 y 2 8   + − − − = + − − − =   ⇔   + + − − = + + − =     2 2 x y 2x 2y 18 0 15 2x y 2  + − − − =  ⇔  + =   ( ) 2 15 y 2x 2 93 5x