MỘT SỐ CÁCH GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP I. Tính số tự nhiên có chữ số lặp lại: Lưu ý 1: Trong các bài toán tạo số, nếu đầu bài có vai trò các chữ số như nhau thì ta có thể giải bài toán theo các bước: - Tính số tạo thành mà trong đó có cả chữ số 0 đứng đầu (giả sử kết quả là S). - Vì vai trò các chữ số đã cho như nhau (giả sử cho k chữ số) nên số có chữ số 0 đứng đầu là k S . - Do đó số thỏa mãn bài toán là k S S − Lưu ý 2: - Số cách chọn k trong n vị trí cho k vị trí giống nhau là k n C - Số cách chọn k trong n chữ số cho k vị trí cho trước là k n A Bài tập: 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt hai lần, ba chữ số còn lại khác nhau và khác chữ số trên. Giải: Số tạo thành có 5 vị trí. Nếu không phân biệt vai trò của chữ số 0 thì ta có 10 cách chọn chữ số có mặt hai lần và có 2 5 C cách chọn 2 trong 5 vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn 3 trong 9 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại của số tạo thành là 3 9 A . Ta được 10. 2 5 C . 3 9 A =50400 số. Vì vai trò của 10 chữ số thuộc tập hợp {0,1,2, ,9} là như nhau nên số có chữ số đầu bằng 0 là = 10 50400 5040 số. Vậy số thỏa mãn bài toán là 50400-5040=45360 số 2. Cho tập hợp các chữ số {0,1,2,3,4,5,6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số mà trong đó có một chữ số có mặt ba lần, một chữ số khác có mặt hai lần, và hai chữ số còn lại khác nhau và khác các chữ số trên. Giải: Số tạo thành có 7 vị trí và tập hợp các chữ số cho trước có 7 phần tử. Nếu không phân biệt vai trò của chữ số 0 thì ta có 7 cách chọn chữ số có mặt ba lần và có 3 7 C cách chọn 3 trong 7 vị trí cho chữ số đó. Sau đó số cách chọn chữ số có mặt hai lần là 6 và số cách chọn 2 trong 4 vị trí còn lại là 2 4 C . Tiếp theo số cách chọn 2 trong 5 chữ số khác với 2 chữ số trên để viết vào hai vị trí còn lại của số tạo thành là 2 5 A . Ta được 7. 3 7 C .6. 2 4 C . 2 5 A =176400 số. Vì vai trò của 7 chữ số thuộc tập hợp {0,1,2, ,6} là như nhau nên số có chữ số đầu bằng 0 là = 7 176400 25200 số. Vậy số thỏa mãn bài toán là 176400-25200 =151200 số. II. Sắp thứ tự các phần tử của một tập hợp: 1. Sắp xếp các phần tử thành một dãy: Lưu ý 1: Giả sử cho n phần tử, trong đó có n 1 phần tử giống nhau thuộc tập hợp A 1 , n 2 phần tử giống nhau thuộc tập hợp A 2 , số cách xếp n phần tử thành một hàng ngang là : ! ! ! 21 nn n Lưu ý 2: - Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử giống nhau là k n C - Số cách chọn k trong n vị trí cho k phần tử khác nhau là k n A Bài tập: 1. Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau, 5 bi đỏ giống nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng thành một hàng ngang? Giải: Với 12 viên bi đã cho tạo thành 12! Hoán vị để chúng xếp thành hàng ngang. Nhưng các hoán vị 4 bi xanh giống nhau cho cùng một kết quả, các hoán vị 5 bi đỏ giống nhau cho cùng một kết quả nên số cách xếp phải tìm là !5!.4 !12 =166320. 2. Có 2 viên bi trắng khác nhau, 3 bi xanh khác nhau, 4 bi đỏ giống nhau, 5 bi vàng giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng theo một hàng ngang. Giải: Với 14 viên bi đã cho tạo thành 14! Hoán vị để chúng xếp thành hàng ngang. Nhưng các hoán vị 4 bi đỏ giống nhau cho cùng một kết quả, các hoán vị 5 bi vàng giống nhau cho cùng một kết quả nên số cách xếp phải tìm là !5!.4 !14 =30270240. 2. Sắp xếp các phần tử thành một dãy có điều kiện: Lưu ý: Cho tập hợp A có n phần tử, tập hợp B có m phần tử. Tính số cách sắp xếp các phần tử của A,B thành một hàng ngang sao cho không có hai phần tử nào của B cạnh nhau. Cách giải: Giả sử n phần tử của A đã xếp thành một hàng ngang. Khi đó các phần tử của B được chọn m trong (n+1) vị trí xen kẽ giữa các phần tử của A. - Nếu các phần tử của B giống nhau thì số cách chọn vị trí là m n C 1 + (n+1≥m). - Nếu các phần tử của B khác nhau thì số cách chọn vị trí là m n A 1 + (n+1≥m). - Nếu các phần tử của A khác nhau thì số cách xếp chúng vào n vị trí là n! - Theo quy tắc nhân ta tính được kết quả bài toán trên. Bài tập: 1. Có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho không có một học sinh nữ nào cạnh nhau. Giải: Giả sử đã xếp 5 hs nam thành một hàng ngang, khi đó vì 4 hs nữ không cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ với 5 hs nam. . o . o. o . o . o . - Số cách chọn 4 trong 6 vị trí cho hs nữ là 4 6 A - Số cách đặt 5 hs nam vào 5 vị trí định trước là 5! - Vậy ta có số cách xếp phải tìm là 4 6 A .5!=43200 cách xếp. 2. Có 3 viên bi trắng khác nhau, 4 bi xanh giống nhau, 5 bi đỏ giống nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp thành một hàng ngang sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau. Giải: Giả sử đã xếp 4 bi xanh và 5 bi đỏ thành một hàng ngang. Khi đó vì 3 viên bi trắng không cạnh nhau nên được chọn 3 trong 10 vị trí xen kẽ với 9 viên bi gồm xanh và đỏ. . * . *. * . * . o . o . o. o .o . - Số cách chọn 3 trong 10 vị trí cho 3 viên bi trắng khác nhau là: 3 10 A - Số cách đặt 4 viên bi xanh giống nhau vào 9 vị trí định trước là 4 9 C - 5 vị trí còn lại của 5 viên bi đỏ giống nhau. - Vậy ta có số cách xếp phải tìm là 3 10 A . 4 9 C =90720 cách. 3. Sắp xếp các phần tử thành một vòng tròn có điều kiện: Lưu ý: Khi các phần tử xung quanh một vòng tròn, hai cách xếp khác nhau nhưng có cùng một thứ tự của các phần tử được coi là một. Cách giải: Ta có thể chọn vị trí cho một phần tử định trước nào đó, sau đó tính số khả năng chọn vị trí cho các phần tử còn lại. Hoặc có thể coi các phần tử đã cho được xếp thành một hàng ngang với một phần tử chọn trước đứng ở đầu hàng. Bài tập: 1. Có 5 hs nam và 3 hs nữ. Có bao nhiêu cách sắp các hs trên thành một vòng tròn sao cho không có hai hs nữ nào cạnh nhau. Giải: Giả sử 5 hs nam được xếp thành một vòng tròn. Khi đó 3 hs nữ đuợc chọn trong 5 vị trí xen kẽ giữa các hs nam, số cách chọn là 3 5 A . Mặt khác trong 5 hs nam ta có thể chọn trước một vị trí cho một người. Số hoán vị của 4 nam còn lại vào 4 vị trí là 4! Vậy ta được cách sắp xếp phải tìm là 3 5 A .4! = 1440. 2. Có 4 bi trắng khác nhau, 5 bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp chúng thành vòng tròn sao cho không có hai viên bi trắng nào cạnh nhau. Giải: Giả sử đã chọn vị trí cho 1 trắng và 5 bi xanh được xếp thành một vòng tròn. 3 bi trắng còn lại được chọn 3 trong 4 vị trí xen kẽ giữa các bi xanh, số cách chọn là 3 4 A =24. III. Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau: Lưu ý 1: Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là: 1 1 − − n m C (m≥n) Lưu ý 2: Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m≥k.n) Cách giải: - Ta chia trước cho mỗi người k-1 đồ vật. - Số đồ vật còn lại là s= m- n.(k-1) - Đem số đồ vật s còn lại chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là 1 1 − − n s C . Mỗi cách chia như vậy thỏa mãn bài toán. Bài tập: 1. Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. Giải: Giả sử đặt 50 đồ vật thành hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống. Nếu đặt hai vạch bất kỳ vào 2 trong số 49 khoảng trống đó ta được một cách chia 50 đồ vật ra làm 3 phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Ba người nhận được số đồ vật trong 3 phần tương ứng, ta được một cách chia thỏa mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách đặt 2 vạch vào 2 trong 49 khoảng trống. Ta được số cách chia là: 2 49 C =1176 cách. 2. Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật. Giải: Ta đem chia trước cho 4 người, mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là 60 – 4.4=44 đồ vật. Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho 4 người, mỗi người được ít nhất 1 đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước thì mỗi người được ít nhất 5 đồ vật thõa điều kiện bài toán. Giả sử đặt 44 đồ vật thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống. Nếu đặt 3 vạch bất kỳ vào 3 trong số 43 khoảng trống này ta được phép chia 44 đồ vật ra làm 4 phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. 4 người nhận được số đồ vật trong 4 phần tương ứng, ta được một cách chia thỏa mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách ta đặt 3 vạch vào 3 trong số 43 khoảng trống. Ta được số cách chia là 3 43 C = 12341. IV. Phân chia một tập hợp gồm các phần tử khác nhau: 1. Chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng bằng nhau: Lưu ý 1 : Tập hợp A gồm có n phần tử, cần chia thành các nhóm: nhóm 1 có k phần tử, nhóm 2 có m phần tử, Tính số cách chia. Cách giải: - Đặc điểm của bài toán là các nhóm được đánh số thứ tư 1,2,3, và số lượng của các nhóm đã biết. - Ta chọn lần lượt: số cách chọn k trong n phần tử cho nhóm 1 là k n C , ứng với mỗi cách chọn nhóm 1, số cách chọn m trong n-k phần tử còn lại là m kn C − , cứ tiếp tục như vậy. - Theo quy tắc nhân ta được số cách chia là k n C . m kn C − … Lưu ý 2: Giả sử trong bài toán, nếu phân biệt thứ tự các nhóm, ta tính được số cách chia là S và trong đó có k nhóm không phân biệt thứ tự thì khi hoán vị k nhóm đó cho nhau, ta có cùng một kết quả. Do đó số cách chia phải tìm là !k S Bài tập: 1. Có bao nhiêu cách chia 15 hs ra thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 5 người trong các trường hợp: a. Các nhóm được đánh số thứ tự là 1,2,3 b. Không phân biệt thứ tự các nhóm. Giải: a. Số cách chọn 5 trong 15 hs cho nhóm 1 là 5 15 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách chọn 5 trong 10 hs còn lại cho nhóm 2 là 5 10 C . Còn lại 5 hs vào nhóm 3. Vậy ta được số cách chia là 5 15 C . 5 10 C =756756 b. Vì không phân biệt thứ tự của 3 nhóm nên khi hoán vị 3 nhóm cho nhau ta có cùng kết quả. Vậy số cách chia là !3 . 5 10 5 15 CC = !3 756756 =126126 2. Có bao nhiêu cách chia 12 hs ra thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 3 người để làm lao động. Trong đó có hai nhóm trồng cây và hai nhóm làm vệ sinh sân trường. (không phân biệt thứ tự các nhóm cùng làm việc giống nhau). Giải: Giả sử ta kí hiệu nhóm 1,2 trồng cây, nhóm 3,4 làm vệ sinh. Số cách chọn 3 trong 12 hs cho nhóm 1 là 3 12 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, ta có số cách chọn 3 trong 9 hs còn lại cho nhóm 2 là 3 9 C . Sau đó số cách chọn 3 trong 6 hs còn lại cho nhóm 3 là 3 6 C . Ba hs còn lại vào nhóm 4. Ta được số cách chia nhóm có phân biệt thứ tự các nhóm là: 3 12 C . 3 9 C . 3 6 C =369600 Khi hoán vị các nhóm 1, 2 ta có cùng kết quả. Tương tự khi hoán vị các nhóm 3,4 ta có cùng kết quả. Nên số cách chia phải tìm là !2!2 3 6 3 9 3 12 CCC = 4 369600 =92400 2. Chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng không đều nhau: Bài tập: 1. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho trong đó có một người được 2 đồ vật và hai người còn lại mỗi người được 3 đồ vật. Giải: Có 3 cách chọn người nhận được 2 đồ vật. Số cách chọn 2 trong 8 đồ vật của người đó là 2 8 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 6 đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật là 3 6 C . Ba đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật thứ hai. Ta được số cách chia là: 3. 2 8 C . 3 6 C =1680 Lưu ý: Với bài toán trên rất dễ mắc sai lầm khi tính ra đáp số là 2 8 C . 3 6 C hoặc 3! 2 8 C . 3 6 C - Với đáp số là 2 8 C . 3 6 C , ta đã không phân biệt người nhận 2 đồ vật và người nhận 3 đồ vật. - Với đáp số là 3! 2 8 C . 3 6 C , ta đã phân biệt hai người nhận cùng nhận 3 đồ vật. 2. Có bao nhiêu cách chia 11 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất 3 đồ vật. Giải: Ta có 2 cách phân tích: 11= 3+3+5 = 3+4+4 TH1: Một người nhận 5 đồ vật, hai người còn lại mỗi người nhận 3 đồ vật. Có 3 cách chọn người nhận 5 đồ vật. Số cách chọn 5 trong 11 đồ vật của người đó là 5 11 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 6 đồ vật còn lại cho người nhận 3 đồ vật thứ nhất là 3 6 C . Ba đồ vật còn lại cho người nhận 3 đồ vật thứ hai. Ta được số cách chia là 3. 5 11 C . 3 6 C =27720 TH2: Một người nhận 3 đồ vật, hai người còn lại mỗi người nhận 4 đồ vật Có 3 cách chọn người nhận 3 đồ vật. Số cách chọn 3 trong 11 đồ vật cho người đó là 3 11 C . Ứng với mỗi cách trên, số cách chọn 4 trong 8 đồ vật còn lại cho người nhận 4 đồ vật thứ nhất là 4 8 C . Bốn đồ vật còn lại cho người nhận 4 đồ vật thứ hai. Ta được số cách chia là: 3. 3 11 C . 4 8 C =34650. Theo quy tắc cộng ta có 27720+34650=62370 cách chia. 3. Chia một tập hợp ra thành các nhóm có số lượng hoàn toàn khác nhau: Lưu ý: Vì số lượng các nhóm khác nhau nên sau khi chia số đồ vật đã cho theo số lượng của mỗi nhóm, ta phải nhân với số hoán vị của các nhóm để nhận số đồ vật đó. Bài tập: 1. Có bao nhiêu cách chia 9 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho trong đó có một người được 2 đồ vật, một người được 3 đồ vật, người còn lại được 4 đồ vật. Giải: Số cách chọn 2 trong 9 đồ vật cho người được hai đồ vật là 2 9 C Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 3 trong 7 đồ vật cho người được ba đồ vật là 3 7 C . Bốn đồ vật còn lại cho người được bốn đồ vật. Số hoán vị 3 người để nhận số đồ vật trên là 3! Ta được số cách chia là: 3!. 2 9 C . 3 7 C =7560 2. Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. Giải: Ta có 3 cách phân tích: 6 = 1+1+4 = 1+2+3 = 2+2+2 TH1: Một người được 4 đồ vật, hai người còn lại mỗi người được 1 đồ vật.(dạng 2) Có 3 cách chọn người nhận được 4 đồ vật. Số cách chọn 4 trong số 6 đồ vật cho người đó là 4 6 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 1 trong 2 đồ vật còn lại cho người được một đồ vật thứ nhất là 1 2 C . Một đồ vật còn lại cho người được một đồ vật thứ hai. Ta được số cách chia là 3. 4 6 C . 1 2 C =90 TH2: Một người được 1 đồ vật, một người đuợc 2 đồ vật, người còn lại được 3 đồ vật. (dạng 3) Số cách chọn 1 trong 6 đồ vật cho người được một đồ vật là 1 6 C . Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 2 trong 5 đồ vật còn lại cho người được 2 đồ vật là 2 5 C . Ba đồ vật còn lại cho người được ba đồ vật. Số hoán vị của 3 người để nhận số đồ vật trên là 3! Theo quy tắc nhân ta có 3! 1 6 C 2 5 C =360 TH3: Mổi người được 2 đồ vật Số cách chọn 2 trong 6 đồ vật cho người thứ 1 là 2 6 C .Ứng với mỗi cách chọn trên, số cách chọn 2 trong 4 đồ vật còn lại cho người thứ 2 là 2 4 C . Hai đồ vật còn lại cho người được 2 đồ vật thứ 3. Ta có 2 6 C . 2 4 C =90 Vậy theo quy tắc cộng ta có: 90+360+90=540 cách chia.