TÀI LIỆU TẬP HUẤN NÂNG CAO GIẢI TOÁN THCS TRấN MÁY TÍNH CẦM TAY 08, 09, 10/10/2009 (PHẦN 3) VI. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ: 1. Định lý Bezout Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a) Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a 2. Sơ đồ Hor nơ Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để thìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a. Ví dụ: Thực hiện phép chia (x 3 – 5x 2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ. Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên. Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư. - Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên - Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên a = 2 -5 8 -4 1 a = 2 -5 8 -4 1 1 -3 2 0 Vậy (x 3 – 5x 2 + 8x – 4) = (x – 2)(x 2 – 3x + 2) + 0 * Nếu đa thức bị chia là a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b 0 x 2 + b 1 x + b 2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có: Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) x 3 – 9x 2 – 35x + 7 cho x – 12. b) x 3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617. c) Tính a để x 4 + 7x 3 + 2x 2 + 13x + a chia hết cho x + 6 d) 5 3 2 6,723 1,857 6,458 4,319 2,318 x x x x x e) Cho P(x) = 3x 3 + 17x – 625 + Tính P(2 2 ) + Tính a để P(x) + a 2 chia hết cho x + 3 Bài 2 : Cho P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + f . Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 15 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = 1 = 1 2 ; P(2) = 4 = 2 2 ; P(3) = 9 = 3 2 ; P(4) = 16 = 4 2 ; P(5) = 25 = 5 2 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x 2 . Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0. a a 1 a 2 a 3 a 0 b 0 r b 1 b 2 a 0 ab 0 + a 1 ab 1 + a 2 ab 2 + a 3 Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x). Vì hệ số của x 5 bằng 1 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6 2 Hay P(6) = 5! + 6 2 = 156. Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7 2 Hay P(7) = 6! + 7 2 = 769 Bài 3: Cho Q(x) = x 4 + mx 3 + nx 2 + px + q . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 . Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13) Hướng dẫn Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 Xét đa thức Q 1 (x) = Q(x) – (2x + 3) Bài 4 : Cho P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e . Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) . Bài 5: Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) Bài 6: Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8) Bài 7: Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007) Bài 8 : Cho P(x) = x 5 + 2x 4 – 3x 3 + 4x 2 – 5x + m . a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 . b) Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x – 2,5 c) P(x) có nghiệm x = 2 . Tìm m . Bài 9: Cho P(x) = 4 3 2 2 5 7 3 x x x . a) Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5. b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân. Bài 10: Tìm số dư trong phép chia đa thức x 5 – 7,834x 3 + 7,581x 2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652. Tìm hệ số của x 2 trong đ thức thương của phép chia trên. Bài 11: Khi chia đa thức 2x 4 + 8x 3 – 7x 2 + 8x – 12 cho x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x 2 trong Q(x) Bài 12: Cho đa thức P(x) = 6x 3 – 7x 2 – 16x + m . a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3 b) Với m tìm được ở câu a ) , hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x – 2 và phân tích P(x) thành tích của các thừa số bậc nhất c) Tìm m và n để Q(x) = 2x 3 – 5x 2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x – 2 . d) Với n tìm được ở trên , hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất. Bài 13: Cho P(x) = x 4 + 5x 3 – 4x 2 + 3x + m và Q(x) = x 4 + 4x 3 - 3x 2 + 2x + n . a) Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 . b) Với giá trị của m và n tìm được , chứng tỏ rằng R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất Bài 14 : Cho f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Biết : f 3 1 = 108 7 ; f 2 1 = 5 3 ; f 5 1 = 500 89 . Tính giá trị đúng và gần đúng của f 3 2 . Bài 15: Xác định các hệ số a, b, c của đa thức: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là 1, chia cho (x – 3) có số dư là là 2, và chia cho (x – 14) có số dư là 3 (Kết quả lấy với hai chữ số ở hàng thập phân) Bài 16: Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức Q(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx – 2007 tại các giá trị của x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 . TÀI LIỆU TẬP HUẤN NÂNG CAO GIẢI TOÁN THCS TRấN MÁY TÍNH CẦM TAY 08, 09, 10/10/2009 (PHẦN 3) VI. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Một số kiến thức cần nhớ:. = 0,5 ; P(2) = 2 ; P (3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(20 03) Bài 6: Cho P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P (3) = 29; P(4) = 50. Hãy tính P(5) , P(6) , P(7). . Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q (3) = 9 , Q(4) = 11 . Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q( 13) Hướng dẫn Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q (3) = 9 = 2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4