Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 20 3 3 . . C C A A Ù Ù C C Q Q U U I I T T A A É É C C Đ Đ E E Á Á M M . . 3.1. ÁNH XẠ. 3.1.1. ĐỊNH NGHĨA. § Một ánh xạ f từ tập hợp A vào tập hợp B là phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x của A một phần tử duy nhất y của B mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x bởi f. Ta viết f : A → B x → f(x) § Hai ánh xạ f, g từ A vào B được nói là bằng nhau nếu: ∀ x ∈ A, f(x) = g(x). § Nếu E là một tập hợp con của A thì ảnh của E bởi f là tập hợp: f(E) = {y ∈ B/ ∃x ∈ B, y = f(x)} § T a cũng viết f(E) = {f(x)/ x ∈ B} § Nếu F là một tập hợp con của B thì ảnh ngược của F là tập hợp f -1 (F) = {x ∈ A/ f(x) ∈ F} Chú ý. 1. Nếu y ∈ B , ta viết f -1 ({y}) = f -1 (y). 2. Nếu f -1 (y) = ∅ thì y không nằm trong ảnh f(A) của A. 3. Nếu f -1 (y) = {x} thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y. § Gọi f là một ánh xạ từ tập hợp A vào tập hợp B. Khi ấy ta nói 1. Phép là toàn ánh nếu f(A) = B. 2. F là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của A có ảnh khác nhau. 3. F là song ánh nếu nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh. Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 21 § Cho hai ánh xạ f : A → B và g : B → C nh xạ hợp h từ A vào C xác đònh bởi: h : A → C x → h(x) = g(f(x)). 3.1.2. TÍNH CHẤT. Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y, A và B là hai tập con tùy ý của B. Ta có: § f(A∪B) = f(A) ∪ f(B). § f(A∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B). § f -1 (A∪B) = f -1 (A) ∪ f -1 (B). § f -1 (A∩B) ⊂ f -1 (A) ∩ f -1 (B). 3.2. PHÉP ĐẾM CÁC PHẦN TỬ CỦA MỘT TẬP HP. 3.2.1. THỦ TỤC ĐẾM. § Bước 0. Nếu A = ∅ ta nói số phần tử A bằng không. Ngược lại chuyển qua bước 1. § Bước 1. Chọn tùy ý một phần tử a ∈ A rồi gán a tương ứng với phần tử 1 ∈ N. Nếu A= {a} ta nói ta có 1 phần tử. Nếu không chuyển qua bước 2. § Bước 2. Do A ≠ {a}, tồn tại một phần tử b ∈ A và b ≠ a. Ta gán b tương ứng với phần tử 2 ∈N. Ta có song ánh: {a,b} ↔ {1,2} Nếu A = {a, b}, ta nói A có 2 phần tử, nếu không cứ tiếp tục. Hai trường hợp có thể xãy ra: 1. Thủ tục dừng ở một bước n nào đó, nghóa là tồn tại một song ánh giữa A và {1.2,…n} ⊂ N. Ta nói A có n phần tử. 2. Thủ tục không bao giờ dừng. Ta nói A có vô số phần tử hay A là một tập hợp vô hạn. Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 22 3.2.2. ĐỊNH NGHĨA TẬP HỮU HẠN & TẬP HP VÔ HẠN. § Một tập hợp A đươc nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giũa A và tập hợp con {1,2,…n} của N. T aviết Card(A) = n. § Nếu A không hữu hạn, ta nói A vô hạn. 3.2.3. NGUYÊN LÝ CỘNG (QUI TẮC 1). Giả sử B là một tập con của một tập hợp hữu hạn A. Gọi B la phần bù của B trong A. Khi ấy, ta có Card(A) = Card(B) + Card(B). 3.3. QUI TẮC ĐẾM 2 (QUI TẮC NHÂN). Giả sử ta thực hiện n cuộc thử nghiệm khác nhau: − Cuộc thử nghiệm thứ nhất có k 1 kết quả khác nhau. − Cuộc thử nghiệm thứ hai có k 2 kết quả khác nhau. − . . . . . − Cuộc thử nghiệm thứ n có k n kết quả khác nhau. Khi đó số các kết quả xảy ra sau n cuộc thử nghiệm đó là : k 1 × k 2 × . . .× k n khác nhau Thí dụ . Giả sử các bảng số xe gắn máy 2 bánh từ 50cc trở xuống gồm : Phần 1: Một trong số là 57 hoặc 58 Phần 2: Một số từ 00 đến 999 Phần 3: Hai mẫu tự bất kỳ. Vậy số các bảng số xe có thể cung cấp là : 2 × 999 × (26 × 26) = 1.350.648 3.4. QUI TẮC ĐẾM 3. Giả sử một cuộc thử nghiệm cho một trong k kết quả khác nhau. Nếu cuộc thử nghiệm đó được lặp lại n lần thì số các kết quả có thể có là: k × k × . . . × k = k n n lần Thí dụ 1. Khi thấy một đồng tiền, kết quả có thể là mặt sấp hoặc mặt ngửa. Vậy k = 2. Nếu ta thấy đống tiền đó 10 lần và ghi lại kết quả ở mỗi lần thấy thì số các trường hợp có thể xảy ra là : 2 10 = 1024 . Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 23 Thí dụ 2 . Nếu ta thấy một con súc sắc có 6 mặt 2 lần thì số các kết quả có thể xảy ra là: 6 2 = 36 . 3.5. QUI TẮC ĐẾM 4 (SỐ HOÁN VỊ). Giả sử có n vật khác nhau. Số cách sắp xếp n vật đó (có kể thứ tự) được cho bởi: n! = n(n-1) . . 1 Ký hiệu n! đọc là n giai thừa với qui ước 0! = 1 Thí dụ 1. Có 6 quyển sách khác nhau được đặt trên một kệï hàng. Số cách sắp đặt 6 quyển sách trên sẽ là : 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 720 Thí dụ 2. Có 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính tổng cho các số có được bằng cách hoán vò các chữ số nói trên. Gọi N là 1 số trong số 720 số có được thí dụ N = 341526. Ta có thể tìm được số một N cũng do hoán vò 6 chữ số đó với tính chất tổng của 2 chữ số ở cùng vò trí của N và N’ bằng 7 với N = 341526 thì N’ = 436251 Như vậy ta có 720/2 = 360 cặp số N và N’ có tổng bằng 777777. Do đó, tổng của 720 số có được do hoán vò 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là : 777 777 × 360 = 279.999.720 3.6. QUI TẮC ĐẾM 5 (SỐ CHỈNH HP). Giả sử ta có một tập hợp có n phân tử , số tập hợp con có k phân tử (có kể thứ tự ) rút ra từ tập hợp nói trên bằng A k = n! / (n -k)! = n(n -1) (n – k + 1) Thí dụ 1. Có tất cả 6 cuốn sách nhưng chỉ có thể xếp 4 cuốn sách lên kệ, Vậy số sách có thể xếp 4 quyển sách lên kệ là : Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 24 6! / (6 - 4)! = 6! /2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 Thí dụ 2 . Xét tập hợp các số gồm 3 chữ số khác nhau. Có bao nhiêu chữ số như vậy? Chú ý rằng số 0 không thể ở vò trí các chữ số hàng trăm. Gọi a, b, c, là 3 chữ số khác nhau trong các chữ số 1, 2, ,9 Các số ta đang xét có thể phân hoạch thành 5 loại : a. Các số có dạng abc có tất cả là: 9! / (9 - 3)! = 9!/ 6! = 9 × 8 × 7 = 504 số b. Các số có dạng acb có tất cả là: 9! / (9 - 2)! = 9! / 7! = 9 × 8 = 72 số c. Các số có dạng abc có tất cả là: 9! / (9 - 2)! = 72 số Vậy tổng có : 504 + 72 + 72 = 648 số gồm 3 chữ số khác nhau. Cách khác : Dùng qui tắc nhân - Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng trăm. - Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng chục. - Có 8 cách chọn 1 chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9 × 9 × 8 = 648 cách chọn 1 số có 3 chữ số khác nhau. 3.7. QUI TẮC ĐẾM 6 (SỐ TỔ HP). Trong một tập hợp có n vật, số tập hợp con có k vật rút ra từ tập hợp nói trên (không kể thứ tự ) bằng Thí dụ : Một tổ chức có 20 hội viên gồm 12 nam và 8 nữ, muốn bầu ra một Ban đại diện gồm 5 người trong đó phải có ít 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách thành lập một Ban đại diện như vậy trong mỗi trường hợp sau đây : a) Mọi người đều có tham gia vào Ban đại diện . b) ng X và bà Y không chòu ngồi chung trong một Ban đại diện. Giải . a) Có 2 trường hợp: − Ban Đại diện có 3 nam và 2 nữ. Số cách để thành lập một Ban Đại diện như vậy bằng k n = n! / (k! (n -k)! ) 3 12 = 12! / (3! 9!) x 8!/(2! 6!) = 6 160 2 8 Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 25 − Ban đại diện có 2 nam và 3 nữ. Số cách để thành lập một Ban Đại diện như vậy bằng Vậïy số Ban đại diện có thể thành lập được là 6 160 + 3 603 = 9856. b) Trước hết ta tìm số cách lập một Ban đại diện có cả ông X và bà Y. − Trường hợp 3 nam và 2 nữ. Chọn 2 nam trong 11 nam (đã có Ô.X). Chọn 1 nữ trong 7 nữ (đã có Bà Y). − Trường hợp có 2 nam và 3 nư õ Vậïy có 385 + 231 = 616 cách lậïp mộït Ban đại diện trong đó có ông X và bà Y ngồi chung. Do đó, số cách lậïp Ban đại diện không có ông X và bà Y ngồi chung là 9856 - 616 = 9240. 3.8. SỐ CÁCH PHÂN HOẠCH MỘT TẬP HP. X là một tập hợp có n phân tử. Ta muốn phân hoạch X thành k lớp (có kể thứ tự các lớp). Lớp thứ 1 có n 1 phân tử, Lớp thứ 2 có n 2 phân tử, … Lớp thứ k có n k phân tử. Và (n 1 + n 2 + + n k = n). Số phân hoạch có thể là: 2 12 = 12! / (2! 10!) x 8!/(3! 5!) =3 696 3 8 2 11 = 11! / (2! 9!) x 7 = 385 1 7 1 11 = 11 x 7! / (2! 5!) = 231 2 7 Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 26 Thí dụ 1 . Có bao nhiêu cách phân bố 8 sinh viên vào 3 phòng trọ biết rằng: Phòng số 1 có 3 giường Phòng số 2 có 3 giường Phòng số 3 có 2 giường Giải. Mỗi cách phân bố các sinh viên vào các phòng là mộït phân hoạch của mộït tập hợp có 8 phân tử thành 3 lớp Lớp 1 có n 1 = 3 phân tử Lớp 2 có n 2 = 3 phân tử Lớp 3 có n 3 = 2 phân tử Vậïy số phân hoạch là: Thí dụ 2. Tranh giải vô đòch quốc gia mộït đội bóng A phải thi đấu với 6 đội khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp để kết quả sau 6 trận đấu trên gồm 2 thắng, 3 thua, 1 hòa. Giải. Số cách sắp xếp = Số phân hoạch 1 tập hợp có 6 phân tử ( các đội bóng thi đấu với đội A ) Thành 3 lớp: Lớp thứ 1 gồm các đội thua A ( có 2 đội ). Lớp thứ 2 gồm các đội thắng A ( có 3 đội ). Lớp thứ 3 gồm các đội hòa A ( có ù đội ). Vậïy số cách sắp xếp là Chú ý nếu phân hoạch có thứ tự một tập hợp có n phân tử thành 2 lớp: 2, 3, 1 6 = 6 / (2! 3! 1! ) = 60 3, 3, 2 8 = 8! / (3! 3! 2! ) = 560 n 1 n 2 , …,n k n = n! / (n 1 ! n 2 ! …n k ! ) Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 27 Lớp 1 có k phân tử . Lớp 2 có n - k phân tử . thì Số phân hoạch : = (Số tập hợp con có k phân tử trong n phân tử). 3.9. Khai triển nhò thức . Công thức khai triển nhò thức : (x + y) n (n là số nguyên tự nhiên) được cho bởi : (× + y ) n = x n + x n-1 y + . . + × y n-1 + y n Các hệ số n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 Thí dụ . (x + y ) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 2 + y 5 3.10. Khai triển bội thức . Khai triển của (x 1 + x 2 + +x k ) n gồm tổng tất cả các số hạng có dạng : với n 1 + n 2 + + n k ! = n. Thí dụ. (x + y + z ) 3 = x 3 + y 3 + z 3 +3x 2 y +3yz 2 + 3x 2 z +6xyz k, n -k n = n! / (k! (n -k )! = n k n n-1 1 n k n , k = 1 . . n-1 đượïc cho bởi tam giác PASCAL n 1 n 2 , …,n k n X n1 X n2 ….X nk . NGUYÊN LÝ CỘNG (QUI TẮC 1). Giả sử B là một tập con của một tập hợp hữu hạn A. Gọi B la phần bù của B trong A. Khi ấy, ta có Card(A) = Card(B) + Card(B). 3.3. QUI TẮC ĐẾM 2 (QUI TẮC NHÂN) lần thấy thì số các trường hợp có thể xảy ra là : 2 10 = 1024 . Chương 3. Các Qui tắc Đếm Trương Mỹ Dung 23 Thí dụ 2 . Nếu ta thấy một con súc sắc có 6 mặt 2 lần thì số các kết quả có. khác nhau. Cách khác : Dùng qui tắc nhân - Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng trăm. - Có 9 cách chọn 1 chữ số hàng chục. - Có 8 cách chọn 1 chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9 × 9 × 8 = 648 cách chọn