I. Giới thiệu bài toán đối ngẫu: Có nhứng bài toán QHTT mà giải trực tiếp thì phải gặp những phức tạp nên với bài toán QHTT ta có thể thiết lập cho nó một bài toán khác gọi là bài toán đổi ngẫu của nó, người ta có thể giải bài toán đối ngẫu của bài toán gổc rồi suy ra phương án tối ưu của bài toán gốc. Giữa 2 bài toán có mối quan hệ đặc biệt, vì vậy nếu tìm được phương án tối ưu của bài toán này thì cũng suy được phương án tối ưu của bài toán kia. II. Định nghĩa bài toán đối ngẫu Cho bài toán QHTT gọi là bài toán ( P) III. Mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu: + Phần này ta chỉ xét bài toán gốc dạng min. 1. Định lý 1( Định lý ngẫu yếu): Cho x,y thứ tự là phương án của bài toán gốc và bài toán đối ngãu ta có: f(x)> g(y) hay (c,x)> (b,y). Từ đó nếu tìm được x,y theo thứ tự là phương án của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu sao cho………… theo thứ tự là phương án tối ưu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu 2.Định lý 2(đối ngẫu mạnh): Nếu một trong 2 bài toán (gốc hoặc đối ngẫu) có phương án tối ưu thì bài toán kia cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng nhau. + Chứng minh: Cho x và y là một phương án chấp nhận được của các quy hoạch tuyến tính đối ngẫu. Theo định lý 1 giá trị hàm mục tiêu của (P) bị chặn dưới bởi ,b y 〈 〉 và giá trị hàm mục tiêu của (Q) là chặn trên bởi ,c x 〈 〉 .Khi đó (P) và (Q)đều có phương án cực biến tối ưu ⇒ Sự bằng nhau của các giá trị các hàm tiêu là hiển nhiên. 3. Định lý 3( Định lý độ lệch bù): Điều kiện cần và đủ để 2 phương án x và y của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là trong các cặp ràng buộc đối ngẫu, nếu một ràng buộc thoả mãn dấu bất đẳng thức thực sự (lỏng) thì ràng buộc kia phải thoả mãn với dấu bằng (chặt) hay: ' ( ) ( ) 0 Ax-b,y 0 , b a C A y x 〈 − 〉 = 〈 〉 = + Chứng minh: Các điều kiện (a) và (b) là điều kiện để có dấu bằng trong (*), nghĩa là điều kiện cần và đủ để cặp phương án x,y tối ưu (đpcm) Các điều kiện (a) và (b) có thể diễn tả chi tiết như sau: 0 , , 0 0 , , c 0 i i i i i i j j j j j j y A x b A x b y x A y c A y x 〉 ⇒ 〈 〉 = 〈 〉〉 ⇒ = 〉 ⇒ 〈 〉 = 〈 〉〈 ⇒ = Hệ quả: Một ràng buộc lỏng đối với một phương án tối ưu của bài toán này thì ràng buộc đối ngẫu với nó phải là chặt đối với mọi phưong án tối ưu của bài toán kia Ví dụ: Xét xem x = (5,-6,1,-4,0) có phải là phương án tối ưu của bài toán QHTT sau không? 1 2 3 4 5 ( ) 2 minf x x x x x x = − + − + → . I. Giới thiệu bài toán đối ngẫu: Có nhứng bài toán QHTT mà giải trực tiếp thì phải gặp những phức tạp nên với bài toán QHTT ta có thể thiết lập cho nó một bài toán khác gọi là bài. cũng suy được phương án tối ưu của bài toán kia. II. Định nghĩa bài toán đối ngẫu Cho bài toán QHTT gọi là bài toán ( P) III. Mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu: + Phần này ta. ưu của bài toán kia Ví dụ: Xét xem x = (5,-6,1,-4,0) có phải là phương án tối ưu của bài toán QHTT sau không? 1 2 3 4 5 ( ) 2 minf x x x x x x = − + − + →