Quá trình Phát tán vật chất trong các cửa sông và vùng nước ven bờ ( ĐH khoa học tự nhiên ) - Chương 4 pps

120 Chơng 4. Khuyếch tán rối 4.1 Trạng thái Chuyển động Rối Dòng chảy rối đợc đặc trng bởi những chuyển động tác động song song lẫn thẳng góc với hớng chuyển động cơ bản, làm cho một hạt riêng lẻ chuyển động một cách không đều phụ thuộc vào dòng chảy trung bình khi nó đợc mang đi theo. Do đó, những mô hình nhận thức trớc đây về dòng chảy rối cho rằng nó đợc tạo ra cho chuyển động trung bình mà chồng lên trên đó là những chuyển động ngẫu nhiên không đều. Từ quan điểm của một ngời quan sát chuyển động cùng với dòng chảy, chuyển động rối là chuyển động quay rất mạnh và sự có mặt của chuyển động quay nh vậy đã dẫn đến khái niệm rằng một trờng rối đợc tạo nên từ một chuỗi 'các xoáy' có kích thớc và cờng độ khác nhau. Không có phơng pháp định lợng xáo trộn phát sinh bởi chuyển động rối nào hoàn toàn thỏa mãn. Vấn đề cơ bản có hai mặt; trớc hết, chuyển động mà rối thực sự đợc tách ra từ dòng chảy trung bình và thứ hai, rối phải có liên hệ với các thuộc tính chuyển động kết hợp. Thờng không thực tế nếu đo đạc trờng vận tốc phức tạp tạo ra bởi chuyển động rối xoáy và nồng độ của chất hoà tan đợc sử dụng nh một chỉ thị của mức độ rối hiện có. Cách tiếp cận này còn đòi hỏi sự hiểu biết chi tiết về trờng dòng chảy trung bình, do vậy hiệu ứng của các quá trình không ngẫu nhiên lên phân bố nồng độ, nh sự trợt dòng chảy trung bình, có thể phải đợc tính đến Trong các cửa sông và vùng nớc ven bờ, ảnh hởng cản của đờng bờ tạo ra những biến đổi vận tốc trung bình theo hớng ngang và sự trợt này phát sinh các biến dạng đã nhắc đến trong Chơng 1. Tuy nhiên, chuyển động quay liên quan đến sự trợt này cuối cùng chuyển thành sự quay của các xoáy lớn, và chúng vỡ thành các xoáy quy mô nhỏ hơn hoặc là rối. Một trạng thái tơng đơng đợc áp dụng trong mặt phẳng thẳng đứng, sức cản do ma sát đáy phát sinh những biến đổi vận tốc theo độ sâu và chuyển động quay theo hớng thẳng đứng phát sinh cuối cùng cũng đóng góp cho sự quay của các xoáy trong trờng rối. Nh vậy sự trợt hớng ngang hoặc hớng đứng trong dòng chảy trung bình, có thể phát sinh bởi những đặc điểm vật lý nh mũi đất và đảo đã chỉ ra trong hình 2.16, cuối cùng trở nên một phần của rối thấy đợc trong môi trờng biển. Có hai cách tiếp cận vấn đề rối ảnh hởng đến việc xáo trộn khuếch tán chất hoà tan ra sao. Phơng pháp đầu tiên là tính trung bình những dao động rối trong một chu kỳ thời gian và liên hệ dòng kết quả với những thuộc tính trung bình của nớc. Một cách tiếp cận khác là xét những thuộc tính thống kê của những dao động rối chi tiết và sử dụng chúng để mô tả những đặc trng pha loãng ở dạng phổ năng lợng. Mỗi cách tiếp cận đợc xem xét riêng rẽ trong các mục sau. 121 4.2 các thuộc tính trung bình của trờng Rối 4.2.1 Phân tách rối và những điều kiện trung bình Hiệu ứng của rối lên sự vận chuyển một thuộc tính nh động lợng đã đợc mô tả trong Chơng 1. Đặc tính quan trọng của vận chuyển rối này ở chỗ nó đạt đợc mà không có bất kỳ sự vận chuyển thực tế nào của nớc. Theo cách tơng tự, không có vận chuyển thực tế của nớc trong khuyếch tán rối những thuộc tính nh khối lợng của chất hoà tan hoặc của nhiệt. Mức độ vận chuyển của khối lợng, ví dụ, phụ thuộc vào độ lớn và tần số của những nhiễu động rối trong vận tốc và nồng độ chứ không phải là những giá trị trung bình. Do đó, có thể đánh giá sự vận chuyển về lợng của vật chất bởi những dao động trong một khoảng thời gian ngắn bằng việc xác định mối tơng quan của những dao động riêng lẻ trong chu kỳ đó. Dự định đầu tiên biểu thị quá trình khuyếch tán rối này bằng những số hạng toán học là của Osborne Reynolds (1884). Đợc áp dụng cho vận chuyển một chất hoà tan, lý thuyết cho rằng những thành phần tức thời của vận tốc có thể lấy theo ba hớng tọa độ, u, v, và w. Những thay đổi của những thành phần vận tốc này theo thời gian đợc giả thiết tạo ra biến đổi nồng độ c của chất hoà tan. Biểu thị những giá trị trung bình trong một khoảng thời gian tuỳ ý bằng <u>, <v>, <w>, <c> (xem hình 1.3), những giá trị tức thời của u và c có thể biểu thị ở dạng u = < u> + u' (4.1) c = < c > + c'. Suất vận chuyển khối lợng, hoặc dòng khối lợng của vật chất qua một mặt cắt ngang có diện tích A lấy bằng Auc. Bởi vậy dòng đi qua một diện tích của mặt cắt ngang đơn vị bằng <uc>, lấy trung bình trong một khoảng thời gian tuỳ ý, bằng <uc> = <[<u> + u][<c> + c] = <<u><c>> + <<u>c> + <u<c>> + <uc> = <u><c> + <u><c> (4.2) = khuyếch tán bình lu vì theo định nghĩa các trung bình theo thời gian của những nhiễu động vận tốc và nồng độ riêng lẻ bằng không (tức là < u '> = < c '> = 0). Nếu thuộc tính đợc vận chuyển là động lợng mà không phải là chất hoà tan, nồng độ tức thời trong dẫn xuất trên có thể thay thế bởi vận tốc tức thời w', là nhiễu động trong thành phần thẳng đứng của vận tốc. Lấy u' là thành phần nằm ngang, dòng bằng <uw> = <u><w> + <uw>. (4.3) Dòng động lợng đợc dẫn xuất nh vậy là số đo của sức cản mà một lớp sử dụng trên một lớp kề bên đang chuyển động với vận tốc khác. Cho là mật độ của chất lỏng, có thể dẫn xuất những số hạng có dạng <uw> cho tất cả các tích số có thể có của các thành phần vận tốc. Chúng có thứ nguyên của áp suất (tức là Newton trên đơn vị diện tích) và gọi là ứng suất Reynolds, hoặc đơn giản là ứng suất trợt. ứng dụng đặc biệt của ứng suất Reynolds xác định bằng <uw> là nó thể hiện dòng thẳng đứng của động lợng, 122 cung cấp phần tổn thất tại đáy bởi ma sát. Nó liên quan đến phân bố vận tốc thẳng đứng bằng cách sử dụng phơng trình gradient (1.4) do đó z u Nwu zzx '' . (4.4) Vì hớng z xác định là dơng hớng xuống dới, <u>/z là âm trong dòng chảy kiểm soát chỉ bởi gradient mặt nớc và ma sát. Do đó dấu trừ đợc đa vào để bảo đảm rằng dòng động lợng đợc định hớng theo gradient vận tốc. Thông thờng giả thiết rằng vận tốc ở dạng <u>/z thể hiện giá trị trung bình và ta bỏ đi những dấu móc. Biểu thức tơng đơng với dòng thẳng đứng của khối lợng là z c KcwQ zz '' (4.5) trong đó Q z là vận chuyển rối của khối lợng theo hớng z. 4.2.2 Khái niệm quãng đờng xáo trộn Việc đắm con tàu SS Titanic vào năm 1912 kích thích nghiên cứu những điều kiện thời tiết ở ngoài khơi Grand Banks của Newfoundland. Nhà động lực học chất lỏng ở Cambridge, Geoffrey Ingram Taylor, từng là một nhà khí tợng trong một cuộc thám hiểm ở khu vực đó vào năm 1913 trên con tàu săn bắt cá voi Scotia, và ông thực hiện quan trắc những độ cao mà không khí ấm bay khỏi lục địa châu Mỹ bị làm lạnh bởi nớc từ những núi băng trôi. Taylor sử dụng những đánh giá dòng thẳng đứng của nhiệt và gradient nhiệt độ trung bình để xác định một hệ số vận chuyển mà ông cho là liên quan đến một quãng đờng xáo trộn khi sử dụng vận tốc rối thẳng đứng. Khái niệm quãng đờng xáo trộn đợc phát triển về sau bởi Ludwig Prandtl (1934) thành lý thuyết 'quãng đờng xáo trộn và nó chứng tỏ có nhiều ứng dụng hữu ích. Khái niệm này tơng tự với đờng đi trung bình tự do trong lý thuyết động học chất khí, chỉ có điều quãng đờng xáo trộn biến đổi theo trờng dòng chảy. Sử dụng khái niệm quãng đờng xáo trộn, có thể liên kết những quy mô xoáy với hệ số nhớt rối. Để làm điều này, ứng suất trợt zx liên hệ với gradient vận tốc bởi biểu thức z u z u lwu mzx 2'' (4.6) trong đó l m là quãng đờng xáo trộn đối với vận chuyển động lợng. Từ phơng trình (4.4) thấy hệ số nhớt rối bằng z u l zu wu N mz 2 '' / (4.7) giả thiết không đổi trong thời gian lấy trung bình. Kết quả này nói lên rằng độ nhớt rối phụ thuộc vào gradient cục bộ của vận tốc. Bởi tính tơng tự với đờng đi tự do trung bình, l m thể hiện khoảng cách dịch chuyển bởi một xoáy trớc khi nó thải đi thuộc tính mà nó mang trong vùng nớc lân cận. Khái niệm chứng tỏ có giá trị đặc biệt gần các biên bởi vì khoảng cách lan truyền bởi một xoáy bị hạn 123 chế trong khu vực đó. Sự giảm l m khi đến gần biên đợc dự đoán bằng phơng trình (4.7) tạo ra sự giảm tơng ứng của N z , và có vẻ lý giải đợc một cách vật lý bởi vì quy mô của các xoáy phải trở nên nhỏ hơn khi khoảng cách đến biên bị giảm đi. Tuy nhiên, lý thuyết cũng dự đoán rằng trong những khu vực tại đó u/z tiến đến không, nh có thể xuất hiện tại tâm một lòng dẫn đang chảy, N z cũng có xu hớng tiến đến không. Nói cách khác, l m phải trở nên rất lớn để bảo đảm rằng N z không trở thành rất nhỏ. Tại tâm của lòng dẫn có dòng chảy rối phát triển hoàn toàn, N z đợc dự kiến lớn một cách có lý và có vẻ là khái niệm quãng đờng xáo trộn không cho phép hiệu ứng của các xoáy có quy mô lớn hơn, vận chuyển động lợng qua một khu vực có độ trợt yếu. Phơng trình tơng ứng với phơng trình (4.7) đối với vận chuyển khối lợng z c l z c cu K cz 2 '' / . (4.8) Dù những yếu điểm của nó, lý thuyết quãng đờng xáo trộn của Prandtl đã đợc sử dụng với hiệu quả lớn để liên hệ độ nhớt rối và độ khuếch tán rối với những thuộc tính của dòng chảy. Lý thuyết đã chứng tỏ u thế đặc biệt trong việc mô tả hiệu ứng của vận chuyển rối với sự có mặt phân tầng, một trạng thái trong đó các xoáy quy mô nhỏ có vẻ trội hơn. 4.2.3 Phơng trình cân bằng khối lợng tổng quát Điều kiện cân bằng khối lợng có tầm quan trọng cơ bản đối với việc diễn giải sự thay đổi nồng độ trong môi trờng biển. Khái niệm dựa vào giả thiết rằng khối lợng của một chất không thay đổi (tức là nó 'bảo toàn'), nên mức độ mà một thể tích có đợc (hoặc mất đi) khối lợng, phụ thuộc vào sự khác nhau giữa mức khối lợng chất đi vào thể tích và mức mà nó đi ra. Để biểu thị điều này bằng những số hạng toán học, xét một khối lập phơng rất nhỏ của nớc. Trong cách tiếp cận dới đây, xét sự vận chuyển vào và ra khối lập phơng bởi những dòng thậm chí nhỏ nhất có mặt trong dòng chảy. Bằng cách này, đóng góp của chuyển động rối đối với cân bằng khối lợng đợc bao gồm trong biểu thức dẫn xuất. Xét một khối lập phơng nớc với những cạnh x, y, z (hình 4.1). Lu lợng thể tích tức thời đi vào trong phần tử qua một mặt có diện tích yz bằng (u +u') yz, trong đó u + u' là tổng của những thành phần rối và trung bình của dòng chảy theo hớng x. Lấy nồng độ tức thời cũng bằng tổng của những thành phần rối và trung bình, xác định bằng c + c', suất đầu vào của khối lợng sẽ là (u + u)(c + c')yz. Có thể dẫn ra những biểu thức tơng đơng đối với đầu vào và đầu ra qua những mặt khác, lấy vi phân để cho phép thay đổi nhỏ của vận tốc và nồng độ qua phần tử. Tổng của suất vận chuyển khối lợng cho tất cả sáu mặt của khối lập phơng cho ta mức khối lợng thực tế nhận đợc trong phần tử, có thể viết là /t(x y z). Biểu thị sự cân bằng giữa mức tăng khối lợng và mức vận chuyển qua những mặt của hình lập phơng ở dạng vi phân, ta có phơng trình cân bằng khối lợng tổng quát (Proudman, 1953: tr. 88) 0)'()'()'()'( cc z ww y vv x uu t . (4.9) 124 Hình 4.1 Vận chuyển hớng đứng và hớng dọc qua các mặt của một khối lập phơng bởi những thành phần rối và trung bình của vận tốc Thấy rằng 0'''' c z w y v x uc z w y v x u t (4.10) trong đó u, v, w, c là những giá trị trung bình trong chu kỳ lấy trung bình và những số hạng với những dấu nháy thể hiện độ lệch tức thời từ những giá trị đó. Xét tính liên tục thể tích 0' ''' c z w y v x u . (4.11) Cộng phơng trình này vào phơng trình (4.10), phơng trình cân bằng khối lợng trở thành 0)''()''()''( cw z cv y cu x c z w y v x u t . (4.12) Bốn số hạng đầu tiên có thể biểu thị nh sau c z w y v x u tDt Dc (4.13) và bằng việc thay những dòng khối lợng do rối bằng các số hạng gradient, phơng trình (4.12) có thể viết )()()( z c K zy c K yx c K xDt Dc zyx . (4.14) Những hệ số khuyếch tán trong phơng trình (4.14) biến đổi theo những hớng thành phần. Với những giá trị K không đổi theo thời gian và độc lập với tọa độ không gian, phơng trình (4.14) đơn giản thành phơng trình Fick 125 2 2 2 2 2 2 z c K y c K x c K Dt Dc zyx . (4.15) Nhiều khảo sát những quá trình pha loãng trong biển tập trung vào các cách giải khác nhau đối với phơng trình (4.14), trong đó c thể hiện nồng độ của bất kỳ chất hoà tan nào, bằng việc đơn giản hóa cụ thể các giả thiết hoặc bằng việc áp dụng phân tích số. Ví dụ, có thể dẫn ra những cách giải đối với phơng trình (4.14) để mô tả sự thay đổi nồng độ theo khoảng cách từ tâm của một đám mây đang dãn rộng hoặc từ trục của một vệt loang trong môi trờng không có biên (Sutton, 1953). Một đặc tính tổng quát của những phân bố dự đoán là chúng có dạng Gauss và hệ số khuyếch tán có thể xác định bằng dt d K 2 2 1 (4.16) trong đó 2 là độ biến thiên của phân bố. Việc tích phân phơng trình (4.16) trong một khoảng thời gian t trong đó K là hằng số hiệu quả dẫn đến biểu thức hữu ích 2 = 2Kt. (4.17) Những giá trị của K bắt nguồn từ những quan trắc trực tiếp về độ lệch chuẩn của những đốm loang và vệt loang chất chỉ thị trong biển (Talbot và Talbot, 1974; Bowden và nnk., 1974), thể hiện tính biến thiên đáng kể theo thời gian và không gian. Những lý do đối với những biến đổi nh vậy, trong một chừng mực nh chúng ta hiểu hiện nay, sẽ trở nên hiển nhiên hơn với thảo luận trong mục 4.3. 4.3 các thuộc tính Thống kê của trờng Rối 4.3.1 Những cách tiếp cận Euler và Lagrange Trong mục 2.4.6 thấy rằng việc mô tả vận tốc tại một vị trí cố định không xét đến những gia tốc dòng chảy theo không gian. Tuy nhiên, gia tốc toàn bộ của dòng chảy tạo ra từ lực tác động thực tế lại phụ thuộc vào sự kết hợp của gia tốc tại một điểm (Euler) cùng với gia tốc không gian (Lagrange). Sự phụ thuộc vào vị trí của ngời quan sát này cũng quan trọng trong việc mô tả những quá trình phát tán rối. Có thể thấy hiệu ứng rối khí quyển theo những quan điểm Euler và Lagrange nh khi khói phát ra từ một ống khói. Tại một khoảng cách cố định theo chiều gió, nồng độ đợc coi là phụ thuộc vào mức độ lan rộng của vệt loang cho nên, ví dụ khi những điều kiện khí quyển là ổn định thì vệt loang hẹp lại và nồng độ sẽ cao. Trạng thái này gọi là Euler vì những quan trắc tập trung vào những phần tử thể tích cố định trong không gian. Ngợc lại, ngời quan sát có thể đi theo một phần riêng biệt của vệt loang khi nó đợc mang theo chiều gió và chứng kiến sự phá vỡ của nó thành những đám mây riêng biệt, hoặc những luồng gió, làm tăng kích thớc và làm giảm nồng độ. Việc mô tả sự dịch chuyển của những phần tử riêng lẻ của một đám khói đặc trng gần trọng tâm của nó đợc coi là sự phát tán Lagrange. Những lý thuyết thống kê xáo trộn rối đã đợc thiết lập cho cả hai trạng thái Euler và Lagrange. Những lý thuyết này dựa trên một số giả thiết lý tởng về trờng rối 126 đối với sự phân bố và quy mô các xoáy cùng sự biến thiên theo thời gian của nó. Phần lớn những đo đạc rối đợc thực hiện tại một vị trí cố định, nhng điều đó không đa ra thông tin đòi hỏi về kích thớc rối (Ibbetson, 1981). Các xoáy riêng biệt tác động tơng hỗ và thay đổi theo thời gian, và phân bố không gian của các xoáy này không xác định đợc từ bản ghi vận tốc theo thời gian. Tuy nhiên, nếu giả thiết rằng trờng rối chỉ thay đổi chậm theo thời gian, có thể đa ra một quan hệ xấp xỉ giữa những mô tả thời gian và không gian. G.I. Taylor giả thiết rằng rối có thể xét là 'đông cứng' theo thời gian, để bức tranh xoáy dịch chuyển bởi dòng chảy trung bình qua một điểm đo đạc. Hình 4.2 minh họa khái niệm này cho một chuỗi xoáy có kích thớc khác nhau. Những biến đổi theo thời gian của một thành phần vận tốc tại một vị trí cố định phải đồng nhất với các biến đổi không gian thấy tại một thời điểm đã cho, mặc dù theo hớng ngợc lại. Nếu tần số nhiễu động đo đợc tại một vị trí cố định là f, thì quy mô xoáy l c có thể liên quan với vận tốc trung bình của dòng chảy u, cho ta f= u/l c . Trong một dòng chảy rối, trong đó tất cả các xoáy đều tơng đối nhỏ, mối quan hệ này là một xấp xỉ hợp lý. Tuy nhiên, các xoáy lớn có xu hớng dịch chuyển với vận tốc khác với vận tốc trung bình cục bộ, và nếu có các xoáy lớn hiện hữu, mô hình rối 'đông cứng' ít thỏa mãn. Hình 4.2 Hiệu ứng dịch chuyển của 'rối đông cứng' qua một điểm đo lên sự biến đổi rõ rệt của vận tốc rối w'(t) theo thời gian. (Phiên bản, với sự cho phép của Ibbetson,1981) 4.3.2 Khuyếch tán từ một nguồn liên tục Nh đã giải thích trong mục 4.1, một tiếp cận thay thế cho lý thuyết khuyếch tán là tuân theo lịch sử thời gian của một hạt riêng lẻ. Cách tiếp cận này khác với kỹ thuật lấy trung bình rối ở chỗ những thuộc tính thống kê của chuyển động đợc tính đến một cách tờng minh, thay vì buộc môn thống kê phải xác định những thuộc tính của chuyển động trung bình. Việc lấy trung bình liên hệ sự vận chuyển khuếch tán với những giá trị trung bình, trong khi cách tiếp cận thống kê tìm tòi để thiết lập trờng phát tán, bao gồm dòng chảy trung bình, có thể bắt nguồn từ những nhiễu động đặc trng cho rối ra sao. 127 Những nền tảng của lý thuyết thống kê đợc thiết lập bởi Geoffrey Taylor (1921). Lý thuyết của Taylor xem xét một trờng rối đồng nhất ở trạng thái ổn định, trong đó một hạt thay đổi vận tốc liên tục theo một cách ngẫu nhiên. Tại một thời gian đặc trng hạt có một vận tốc nhất định và sau một khoảng rất ngắn vận tốc của hạt phải tơng tự. Tuy nhiên, với những khoảng lớn hơn những khác biệt về vận tốc trở nên rõ ràng hơn, do vậy ngoài một khoảng thời gian nhất định vận tốc phải trở nên độc lập với giá trị ban đầu của nó. Nh vậy độ tơng quan của vận tốc tại những khoảng thời gian càng tăng sẽ giảm đến không. Taylor sử dụng hàm tơng quan này, bởi do sự phụ thuộc vào thời gian chứ không phải vào không gian của nó, là Lagrange trong thực tế, để dẫn ra một biểu thức cho sự trải rộng một số lớn các hạt khi chúng dịch chuyển một cách thành công qua một điểm cố định. Nếu X là độ lệch của một hạt riêng lẻ do vận tốc xoáy u' sau thời gian t, mức độ thay đổi của biến thiên toàn bộ X 2 , do sự thải liên tiếp một số lớn các hạt (hình 4.3) bằng t dtutuXu dt Xd X dt Xd 0 ' 2 )(')('222 (4.18) trong đó là độ gia tăng nhỏ theo thời gian. Sự thay đổi mức độ biến thiên có tầm quan trọng lớn trong thực tiễn bởi vì nó có thể liên kết trực tiếp với hệ số khuyếch tán đối với mức độ lan rộng (xem phơng trình (4.24) dới đây). Một khi những thuộc tính trung bình đợc giả thiết đồng nhất trong không gian và ổn định theo thời gian, tích số vận tốc có thể thay thế bởi )('/)(')(' 2 Rututu (4.19) trong đó R() là hệ số tơng quan Lagrange. Với R() và u' 2 đều không phụ thuộc vào gốc thời gian, độ biến thiên có thể biểu thị nh sau T t dtdRuX 0 0 22 )('2 (4.20) trong đó X độ lệch của hạt sau thời gian T. Biểu thức này cho thấy độ lệch quân phơng của một hạt đơn lẻ trong những khoảng thời gian liên tục bằng nhau phụ thuộc vào vận tốc rối quân phơng của nó, và hệ số tơng quan Lagrange. R() mô tả mối liên kết giữa vận tốc của một hạt vào thời gian t và vận tốc của nó tại thời gian t + về sau. Những xem xét đơn giản dẫn đến hai hệ qủa có thể có đối với những lời giải phơng trình (4.20). Đối với thời gian khuyếch tán nhỏ T, những vận tốc hạt tại t và t + có vẻ tơng quan chặt chẽ, do vậy R() = 1 khi =0. Thấy rằng đối với T nhỏ 222 ' TuX . (4.21) Với những thời gian khuyếch tán lớn, có vẻ ít khi có tơng quan giữa vận tốc hạt tại những thời điểm t và t + bởi vì các xoáy khác nhau phải đến cuộc chơi và bắt hạt chuyển động khác nhau ở hai thời gian. Khi thời gian tăng lên, sẽ đạt đến một điểm nó vợt trôị thời gian t 1 ; tại t 1 giả thiết rằng không còn tơng quan giữa vận tốc của hạt tại t và t + nh vậy là R() = 0. Nh vậy đối với T lớn 128 TutTudRX L t 22 0 2 '2'))((2 1 (4.22) trong đó t L là quy mô thời gian Lagrange của rối, bằng 0 )( dRt L . (4.23) Hình 4.3 Sự dịch chuyển của một hạt tơng đối so với tọa độ cố định trong trờng rối đồng nhất Cần thấy rằng đối với một nguồn điểm liên tục, tất cả các tần số dao động có hiệu quả từ thời điểm thải. Những dao động chậm hơn nổi trội sớm khi lan rộng khuếch tán và duy trì giá trị R() lớn cho đến khi trở nên đủ dài để những mối tơng quan giảm đi. Nh vậy khuyếch tán phụ thuộc vào hình dạng của đờng cong tự tơng quan R(), đến lợt nó phụ thuộc vào cấu trúc của rối. Nếu dòng chảy chỉ chứa các xoáy nhỏ và chúng dịch chuyển qua ngời quan sát nh đợc chỉ ra trong hình 4.2, thì R() sẽ giảm nhanh hơn nếu dòng chảy chỉ chứa các xoáy lớn. Chứng tỏ rằng R() cuối cùng dần giảm đến không với những giá trị lớn của , quy mô thời gian Lagrange t L là số đo của chu kỳ liên quan đến rối lớn nhất có mặt trong dòng chảy. Nếu mô hình rối đông cứng của Taylor có hiệu lực đối với trờng rối đang nghiên cứu, thì kích thớc các xoáy lớn nhất l c = ut L . Đối với phân bố xác suất chuẩn của độ dịch chuyển hạt, hệ số xáo trộn K x theo hớng x bằng dt dX K x 2 2 1 . (4.24) 129 Với thời gian lớn, từ những phơng trình (4.22), (4.23) và (4.24) thấy rằng 1 0 2 )(' t x dRuK (4.25) và đối với T lớn TKX x 2 2 . (4.26) Trong dòng chảy không đổi, T = x / u và phơng trình cuối cùng này phát biểu một cách thành công rằng sự lan rộng một vệt loang, nh thể hiện bởi những độ lệch chuẩn thẳng đứng Z và ngang Y tơng ứng, cuối cùng trở nên tỷ lệ với x 1/2 , có dạng parabôn. Tại những thời gian khuyếch tán lớn, từ những phơng trình (4.23) và (4.25) thấy rằng cLx ul u u tuK 2 2 2 ' ' . (4.27) Biểu thức này có tầm quan trọng đáng kể vì nó mô tả sự khuyếch tán liên quan đến tỷ lệ của cờng độ rối với năng lợng của dòng chảy trung bình ra sao. Ví dụ Những đo đạc về rối trong nớc ven bờ ngoài khơi hòn đảo Anglesey trong biển Ai len cho ta tỷ số 0169,0/' 22 uu (Bowden, 1962 b). Vận tốc dòng chảy trung bình khoảng 0,4 ms -1 để giả thiết kích thớc xoáy cực đại l c = 15 m, phơng trình (4.27) nói lên rằng K x = 0,10 m 2 s -1 . Một khi trờng rối đợc xem nh đẳng hớng theo phơng ngang, thì có thể giả thiết K x = K y . Những đo đạc cũng đa ra giá trị trung bình 0044,0/' 22 uw , do vậy giả thiết các xoáy thẳng đứng lớn nhất phải bị hạn chế bởi độ sâu, l c = 15 m, nó đợc lấy theo một biểu thức tơng đơng với phơng trình (4.27) trong đó K z = 0,026 m 2 s -1 . 4.3.3 Khuyếch tán đốm loang rời rạc Có thể nhận thấy sự khác nhau giữa những trạng thái trong đó vật chất đang khuếch tán từ một nguồn liên tục và trong đó vật chất đang lan rộng nh một đốm loang rời rạc. Ví dụ trớc có thể biểu thị bằng sự thải liên tục các hạt từ một nguồn cố định, trong khi ví dụ sau phải dựa vào một mô hình khái niệm khác, nh sự lan rộng của một nhóm hạt. Đối với một số lớn hạt, trạng thái vừa nói có thể xem nh thể hiện sự phát tán một đốm loang riêng biệt của chất hoà tan quanh trọng tâm của nó. Richardson (1926) khảo sát vấn đề này bằng việc xem xét sự tách ra của một cặp hạt trong một cụm. Một đặc tính tiêu biểu của cách tiếp cận này để đánh giá dòng vật chất là sự phụ thuộc vào khoảng lấy trung bình đã chọn. Richardson bắt đầu luận điểm của ông bằng việc đề xuất rằng hoàn toàn không thể phân biệt giữa những biến đổi vận tốc cấu thành dòng chảy trung bình và những dòng chảy thuần túy rối. Nếu khoảng lấy trung bình rất ngắn, thì giá trị trung bình dẫn xuất có thể không đặc trng cho dòng chảy. Mặt khác, lấy trung bình qua một chu kỳ dài có thể tạo ra những thay đổi đặc trng cho sự thay đổi bình thờng của dòng chảy trung bình, bao gồm trong nhiễu động rối. [...]... (b )) Các xoáy nhỏ hơn đốm loang đóng vai trò khuếch tán, làm trơn những biến dạng hoặc những thứ không đều đặn của hình dạng đốm loang (hình 4. 4 (c )) Hình 4. 4 Hiệu ứng của những quy mô xoáy khác nhau lên sự vận chuyển và lan truyền một đốm loang vật chất Lý luận toán học của Richardson thực chất như sau ở dạng một chiều, những phương trình (4 .1 4) và (4 .1 5) đơn giản thành 2 u Kx 2 x t x (4 .2 8) trong. .. v' Như vậy v (t )v (t ) 2v' (t )v' (t ) và với T lớn, phương trình (4 .3 1) trở thành T t' 2 2 0 y y 4 v' (t )v ' (t )ddt ' (4 .3 3) 0 0 Cần lưu ý rằng số hạng thứ hai trong phương trình (4 .3 3) bằng hai lần đối với những thời gian lớn theo phân tích của Taylor (xem phương trình (4 .2 0) Như vậy, sau những thời gian khuyếch tán rất dài hoặc sau khi đi một khoảng cách rất dài, độ tách quân phương... rằng (Pasquill và Smith, 1983: tr 15 5) T t' 2 v ' ' (t )v ' ' (t )ddt ' 300 2 2 0 (4 .4 0) Ngoài độ biến thiên ban đầu 02 và hệ số phát sinh từ phân bố Gauss ba chiều, phương trình này thực chất cũng giống như đã cho đối với những phương trình (4 .1 9) và (4 .2 0) trong lý thuyết của Taylor Tuy nhiên, phương trình áp dụng v", là vận tốc tương đối so với vận tốc trung bình của tất cả các hạt trong. .. nhưng không lớn hơn các xoáy cực đại hiện có, phương trình (4 .3 5) trở thành dy 2 T 2 dt (4 .3 7) Tích phân những phương trình (4 .3 6) và (4 .3 7) cho thấy rằng với T nhỏ y 2 T 2 (y 0 ) 2 / 3 const (4 .3 8) và với T trung gian y 2 T 3 (4 .3 9) Điều này nói lên rằng tại những thời điểm trung gian độ tách quân phương của một cặp hạt nhanh hơn tại những thời gian khuyếch tán nhỏ hoặc lớn Cách tiếp cận ghép... quả phát hiện của Batchelor ở dạng 2 y aT p (4 .4 1) trong đó a và p là những hằng số Vậy mức độ lan rộng khuếch tán bằng p = 2 (T nh ) p = 3 (T trung bình) p = 1 (T lớn) Có thể thấy rằng khi p = 3 1 d 2 K 4/ 3 2 dt (4 .4 2) như vậy giả thiết định luật bốn phần ba của Richardson tương ứng với những thời gian khuyếch tán trung bình khi quy mô cụm nằm trong dải quán tính 4. 3.6 Phổ năng lượng Từ phương trình. .. 2 2 0 y y 2 v(t )v(t )ddt ' (4 .3 1) 0 0 trong đó y là độ tách ra của cặp hạt vào thời gian T sau độ tách ra ban đầu y0, và v(t) là vận tốc tương đối của các hạt vào thời gian t Bỏ qua sự tách ra ban đầu, trước hết thấy rằng biểu thức này có vẻ tương đương với phương trình của Taylor đối với sự biến thiên toàn bộ của một số lớn hạt được thải liên tục (xem phương trình (4 .2 0)) Tuy nhiên, v là vận... được xác định chỉ bởi mức độ tiêu tán năng lượng trên đơn vị khối lượng của chất lỏng, và những số hạng bao gồm không còn được kể đến trong biểu thức, cho nên dy 2 T 2 f ( y 0 / 1 / 2 T 3 / 2 ) dt (4 .3 5) Đối với những giá trị nhỏ của T, mức độ tách ra phải đồng nhất với mức độ tuyến tính đã cho trong phương trình (4 .3 2) và bởi vậy, dy 2 T (y 0 ) 2 / 3 dt (4 .3 6) 135 Khi T có độ lớn trung bình,... động năng rối trong cửa sông Duwamish tăng một bậc độ lớn trước khi giảm trở lại mức ban đầu Nhiều hiện tượng rối ngắn hơn đã được quan trắc trong thời gian đo đạc trực tiếp ứng suất trượt trong các cửa sông và nước ven bờ Nói chung, ứng suất trượt tăng đáng kể trong những chu kỳ từ 5 đến 10 giây với một khoảng giữa những sự kiện từ 20 đến 100 giây (Gordon, 19 74; Heathershaw, 197 4) Trong cửa sông Choptank,... trong dòng chảy trung bình nhưng vẫn loại trừ một vài chuyển động rối nhanh hơn Hình 4. 4 minh họa một đốm loang chất chỉ thị bị ảnh hưởng bởi ba quy mô xoáy khác nhau tại một thời điểm bất kỳ ra sao Các xoáy lớn hơn đốm loang vận chuyển nó mà không làm ảnh hưởng đến hình dạng của nó (hình 4. 4 (a )) ; các xoáy quy mô trung gian gây ra những biến dạng, kéo dài biên với chất lỏng bao quanh (hình 4. 4 (b )) . .. bao giờ thật sự xuất hiện trong dòng chảy thực tế bởi vì nó phụ thuộc vào sự chồng lên nhau của trọng tâm những nhóm hạt Trên cơ sở những quan trắc trên phạm vi rộng các quy mô độ dài, Richardson thể hiện rằng hệ số khuyếch tán Fick biến đổi theo K = 0,2 l 4/ 3 (4 .3 0) trong đó l - độ dài đặc trưng đối với hệ thống quan trắc, như được minh họa trong hình 4. 5 Phương trình (4 .3 0) được gọi là 'Định luật . dt dX K x 2 2 1 . (4 .2 4) 129 Với thời gian lớn, từ những phơng trình (4 .2 2), (4 .2 3) và (4 .2 4) thấy rằng 1 0 2 )( & apos; t x dRuK (4 .2 5) và đối với T lớn TKX x 2 2 . (4 .2 6) Trong dòng. hơn các xoáy cực đại hiện có, phơng trình (4 .3 5) trở thành 2 2 T dt dy . (4 .3 7) Tích phân những phơng trình (4 .3 6) và (4 .3 7) cho thấy rằng với T nhỏ constyTy 3/2 0 22 )( (4 .3 8) và. lợng tổng quát (Proudman, 1953: tr. 8 8) 0)& apos ; () &apos ; () &apos ; () &apos ;( cc z ww y vv x uu t . (4 . 9) 1 24 Hình 4. 1 Vận chuyển hớng đứng và hớng dọc qua các mặt