Giới thiệu Mã Nhị Phân Gray docx

Giới thiệu Mã Nhị Phân Gray Phạm Trọng Khiêm. Nguyễn Minh Đăng. Mã Nhị Phân Gray: I. Định nghĩa: Mã nhị phân Gray thứ n ≥1 là một danh sách của tất cả các phần tử (a n-1 ,…,a 1 ,a 0 ) ∈ {0.1} n , sao cho mỗi lần ta di chuyển theo thứ tự danh sách thì chỉ có một thành tố nhị phân được thay đổi. Ví dụ: Với n=1, danh sách có 2 phần tử {(0),(1)}. Với n=2, danh sách có 4 phần tử {(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)} Với n=3, danh sách có 8 phần tử {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)} Mã Nhị Phân Gray: II. Công thức xác định mã Gray: Γ 0 = 0 ; Γ n+1 = 0Γ n ∪ 1Γ n R , ∀n ≥ 0; với: 0Γ n được xây dựng bằng cách thêm 0 vào mỗi phần tử của danh sách Γ n . Γ n R là danh sách ngược của danh sách Γ n . 1Γ n R được xây dựng bằng cách thêm 1 vào mỗi phần tử của danh sách Γ n R . 1. Ví dụ: Γ 2 = 0Γ 1 ∪ 1Γ 1 R ={(00),(01);(11),(10)} Γ 3 = 0Γ 2 ∪ 1Γ 2 R = {(000),(001),(011),(010); (110),(111),(101),(100)} Mã Nhị Phân Gray: 2. Ghi chú 1: Với mỗi n≥1 ta có: Γ n R = Γ n ⊕ 2 n-1 ; 1Γ n R = 0Γ n ⊕ ( 2 n + 2 n-1 ); Với: 2 n-1 = (10…0) 2 ; 2 n + 2 n-1 = (110…0) 2 ; Ví dụ: với n = 3, để có (111) 2 , ta cộng nhị phân (011) 2 ⊕ (100) 2 = (111) 2 Mã Nhị Phân Gray: 3. Ghi chú 2: Xét 1 tập hợp M có n phần tử, ví dụ: M = {1,2,…,n} và tập hợp P(M) của tất cả các tập con của M. Gọi vector đặc trưng của T ∈ P(M) là XT. Ta đặt XT = (a n-1 ,…,a 1 ,a 0 ) ∈ {0,1} n , sao cho: a i =1 ∀n-i ∈ T; a i = 0 ∀n-i ∉ T Ví dụ: Cho M = {1,2,3}; n = 3 P(M) = {( ),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)} Xét T = {(1,3)}. Suy ra : XT = ( 101) ∅ Mã Nhị Phân Gray: 4. Định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S): Xét T, S ∈ P(M), ta định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S) = |T ∆ S| , T ∆ S = (T\S) ∪ (S\T). Vậy mã nhị phân Gray chính là 1 danh sách của P(M) sao cho 2 tập hợp liên tiếp của danh sách này có khoảng cách Hamming bằng 1; nghĩa là mỗi tập hợp con của M được xây dựng bằng cách thêm hay bỏ 1 điểm vào tập hợp đứng trước. Ví dụ: T = {(1) } , S = { (1,3) } , R = { (2,3) } Ta có: T và S là 2 tập hợp liên tiếp T và R là 2 tập hợp không liên tiếp. Mã Nhị Phân Gray: Ta xét: T ∆ S = (T\S) ∪ (S\T) = ∅ ∪ (3) = (3) = (001) Ta tính khoảng cách Hamming : d(T,S) = | T ∆ S | = | (001) | = 1 Vậy tập hợp (T,S) là một mã nhị phân Gray. Ta xét: T ∆ R = (T\R) ∪ (R\T) = (1)∪ (2,3) = (1,2,3) = (111) Ta tính khoảng cách Hamming : d(T,R) = | T ∆ R | = | (111) | = ≠ 1 Vậy (T,R) không phải là một mã nhị phân Gray. 3 Mã Nhị Phân Gray: III. Các định lý: 1. Định lý 1: Ta đặt: Γ n = {g n (0),g n (1),…,g n (2 n -1)} với n ≥ 1, 0 ≤ r < 2 n , k = 2 n + r, ta có : g n+1 (r) = 0g n (r) ; g n+1 (2 n + r) = 1g n (2 n -1-r); Ví dụ: với n = 1 ta có: Γ 1 = {g 1 (0),g 1 (1)} = {(0) 2 ,(1) 2 } Mã Nhị Phân Gray: Ví dụ (tt) với n = 2 ta có: Γ 2 = {g 2 (0),g 2 (1), g 2 (2), g 2 (3)} = {(0) 2 ,(1) 2 ,(3) 2 ,(2) 2 }; g 3 (r) = 0g 2 (r), ∀0 ≤ r < 4; g 3 (4) = 1g 2 (3) = 4 + g 2 (3) = 6 = ( 110) 2 g 3 (5) = 1g 2 (2) = 4 + g 2 (2) = 7 = ( 111) 2 g 3 (6) = 1g 2 (1) = 4 + g 2 (1) = 5 = ( 101) 2 g 3 (7) = 1g 2 (0) = 4 + g 2 (0) = 4 = ( 100) 2 1.1 Ghi Chú: Với ta có: 1 2 1 0 2 0 2 , ( ) n n n r r b b b b − − ≤ < = 1 2 1 0 2 2 1 ( ) , 1 n n n r b b b b b b − − − − = = ⊕ Ví dụ: với n = 3, r = 2, ta có: 2 2 2 2 (010) ; 2 1 8 3 5 (101) (010) n r r = = − − = − = = = Mã Nhị Phân Gray: [...].. .Mã Nhị Phân Gray: 2) Định lý 2: Giả sử : r ∈[0, 2n [ , r = (bnbn -1 b1b0 ) 2 = b j 2 j , bn = 0 ∑ 0 ≤ j ≤n g n ( r ) = ( an −1 a1a0 ) 2 ∈Γ , n ≥1 n Ta có công thức cơ bản của mã nhị phân Gray là: a j = b j ⊕ b j +1 mod 2, ∀0 ≤ j ≤ n − 1 bj = ∑ a mod 2, ∀0 ≤ j ≤ n − 1 j ≤i < n i Mã Nhị Phân Gray: •Ví dụ: Với n = 3, r =5, ta có: r ∈[0,2 [ , r = 5... 0≤ i < 3 i 2 mod 2 + a1 mod 2 + a0 mod 2 = 1 + 1 + 1 = 1 3 Mã Nhị Phân Gray: •2.1 Ghi chú 1: r ∈[0,2 [ ⊆ [0,2 [,1 ≤ n . Giới thiệu Mã Nhị Phân Gray Phạm Trọng Khiêm. Nguyễn Minh Đăng. Mã Nhị Phân Gray: I. Định nghĩa: Mã nhị phân Gray thứ n ≥1 là một danh sách của tất. 101) ∅ Mã Nhị Phân Gray: 4. Định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S): Xét T, S ∈ P(M), ta định nghĩa khoảng cách Hamming d(T,S) = |T ∆ S| , T ∆ S = (TS) ∪ (ST). Vậy mã nhị phân Gray chính. tiếp. Mã Nhị Phân Gray: Ta xét: T ∆ S = (TS) ∪ (ST) = ∅ ∪ (3) = (3) = (001) Ta tính khoảng cách Hamming : d(T,S) = | T ∆ S | = | (001) | = 1 Vậy tập hợp (T,S) là một mã nhị phân Gray. Ta