Chuyên đề giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Tổng hợp một sồ phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số,giúp các em học sinh dễ dàng giải được bài toán về hàm số.....................................................................................................

A/ PHẦN MỞ ĐẦUI/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH

PHƯỚC

TRƯỜNG THPT ĐỒNG XOÀI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

-Trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh nhất làhọc sinh lớp 12, khi dạy bài “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁTRỊ NHỎ NHẤT” các em thường đặt vấn đề là:“Cóbao nhiêu cách tìm GTLN-GTNN của một hàm số haymột biểu thức” Thực tế vấn đề GTLN-GTNN các em đãbắt đầu học từ chương trình lớp 8, lớp 9 và trong chươngtrình ở bậc THPT.

Các bài toán tìm GTLN-GTNN rất phong phú và đa dạng,nó mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việcgiáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻnhất, ngắn nhất, dài nhất … trong một bài toán, đểdần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm mộtgiải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộcsống sau này

II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI:

Các bài toán tìm GTLN-GTNN có một vị trí xứng đángtrong chương trình học và dạy ở các trường phổ thông.Các bài toán này đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thứcvà vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo

Do đó các em học sinh thường gặp nhiều khó khăntrong việc đi tìm lời giải, các em không biết bắt đầu từđâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học ?Mặt khác trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi ĐạiHọc và đề thi HSG thì bài toán tìm GTLN-GTNN rấtthường xuyên xuất hiện, thí sinh khi làm các bài thinày thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải

Để giúp các em bớt gặp khó khăn cũng như có cáchnhìn chung về vấn đề tìm GTLN-GTNN, bài viết sau đâynhằm mục đích hệ thống lại các phương pháp tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một biểu thức

Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chânthành của quí thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viếtđược tổng quát hơn, hay hơn

Đồng Xoài, ngày 28tháng 3 năm 2007

Giáo viên

TRÁC

B/ PHA À N NỘ I DUNG

I/ PHƯƠNG PHÁ P NGHIÊ N CỨ U

Bài toán tìm GTLN_GTNN có rất nhiều phương pháp giải , từ những cách giải đơn giản , dễ hiểu , quen thuộc với các em học sinh phổ thông mà một học sinh học lực trung bình yếu vẫn có thể nắm bắt được , cho đến những phương pháp giải phức tạp hơn , đòi hỏi phải có sự suy luận , logic chặt chẽ dành cho các em học sinh giỏi Trong phương pháp đồ thị và phương pháp vectơ đôi khi đòi hỏi học sinh phải nắm bắt được dấu hiệu hình học hay vectơ ẩn tìm trong từng con số , từng chữ của bài toán Muốn phát hiện ra chúng thì người giải toán phải hiểu một cách khá sâu sắc khái niệm và tính chất của hình học và vectơ cùng các phép toán của nó , phải được rèn luyện nhiều bài tập mới có thể làm quen được

Đề tài này tôi đã thực hiện từ năm 1996 cho đến nay , trong chương trình lớp 12, trong lớp luyện thi Đại Học và trong lớp bồi dưỡng HSG Toán của trường THPT Đồng Xoài

II/ NỘ I DUNG NGHIÊ N CỨ U VÀ KẾ T QUẢ NGHIÊ N CỨ U:

Nộ i dung1/Ôn lại các định nghĩa về GTLN-GTNN và bổ sung các tính chất về GTLN-GTNN để học sinh khá, giỏi tham khảo

Nộ i dung 2/ Hệ thống lại các phương pháp tìm GTLN-GTNN ở các cấp học

Nộ i dung 3/ Nêu một số đề toán tìm GTLN-GTNN trong các kỳ thi để học sinh tham khảo

Nộ i dung 4/ Kết quả nghiên cứu

III/ PHẦ N KẾ T LUẬ N

IV/ TÀ I LIỆ U THAM KHẢ O

NỘI DUNG I : ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GTLN-GTNN

1/ ĐỊNH NGHĨA:

a/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT:

Cho hàm số f(x) có miền xác định D.Ta nói M là giá trịlớn nhất của f(x) trên miền D ,nếu như đồng thời thỏamãn hai điều kiện sau:

1/ f(x)

2/

Ký hiệu: M = f(x)

b/ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:

Cho hàm số f(x) có miền xác định D.Ta nói m là giá trịnhỏ nhất của f(x) trên miền D ,nếu như đồng thờithỏa mãn hai điều kiện sau:

2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ :

Sau đây là môt số tính chất cơ bản của GTLN-GTNN đểhọc sinh tham khảo cũng như có thể xem là những ví dụcho các bài toán về GTLN-GTNN mà trong sách giáokhoa chưa đề cập

a/ Tính chất 1: Giả sử A B, khi đó ta có :

*/

**/

e/ Tính chất 5:

f/ Tính chất 6: Nếu đặt M = và m = thì:

NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN-GTNN

PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A2 0, dấu bằng xãy ra khi A

= 0

1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2:

Ở cấp 2 nhìn chung các bài toán thường giải bằngcách đưa về dạng bình phương , chẳng hạn ta nhắc lại

một số dạng sau đây :

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = x2 – 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất (SGK lớp 8)

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = 18 – 6x – x2 có giá trị lớn nhất(SGK lớp 8)

Ví dụ 3: Gọi là một góc cố định cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của

hàm số : y = tan2(x+ ) + tan2(x - )

và bằng (-1 +cos 2 )2 nếu cos 2 0 khi cos 2x = -1

Vậy :i/ Nếu cos 2 0 thì miny =

ii/ Nếu cos 2 < 0 thì miny =

Giải:

Ta có : P = cosB + 6cos cos = cosB + 6 sin cos

= (1 – 2 sin2 ) + 6 sin cos

+ 6 sin +

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của:

P = cosB + 3( cosA + cosC)

Suy ra : maxP = khi

Giải: Ta có :

f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) = 2cos cos - 2 cos2 +1

= -2 [cos2 - cos cos ] +1

= -2[cos2 - 2 cos cos + ] +

+ 1

= -2(cos - cos )2 + + 1

Suy ra f(x,y)

Dấu “=” xãy ra khi

Mặt khác x;y thì cosx ; cosy ; - cos(x+y)

Dấu “=” xãy ra khi

Vậy max f(x,y)= khi

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) với x;y

min f(x,y) = -3 khi

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/ Bất đẳng thức Cauchy:

Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an là các số không âm, ta có :

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an

2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski :

Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an và b1 ,b2 , b3 , … ,bn là 2n số tùy ý, ta có :

(a12 +a22 +a32 +….+an2)(b12 + b22 + b32 +… + bn2) (a1b1 + a2b2 +

…….+anbn)2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

(với quy ước rằng trong phân số nếu bi = 0 thì ai = 0)

Dấu “=” xảy ra khi tgA = tgB = tgC

Vậy min P = 3 khi tam giác ABC là tam giác đều

Vì x (0;1) > 0

Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :

Dấu “=” xảy ra khi

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =

Vậy min A = khi x = y = z =

xy+yz+zx = 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x4

Ví dụ 6: Tìm gtln của hàm số : y = sinx +

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy : max y = 3 khi

Giải : + Tập xác định của hàm số là : D = [2;4]

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :

y = 1

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy = 2 khi x = 3

Nhận xét : Ở ví dụ 7 ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất

nên ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm , nhưngnếu cũng với hàm số y = ta cần tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì cách làm gọn nhấtlà sử dụng đạo hàm để tìm miền giá trị của hàm sốtừ đó ta tìm được GTLN và GTNN của hàm số

Phương pháp sử dụng miền giá trị của hàm số là mộtphương pháp rất hay , rất thuận lợi cho học sinh trongviệc đi tìm GTLN –GTNN

PHƯƠNG PHÁP 3 : SỬ DỤNG MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ :

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/Cho hàm số y = f(x) xác định trên D , có miền giá trịT

y0 T phương trình y0 = f(x) có nghiệm x D

( dấu “=” xảy ra được)

Khi đó và

2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi

a2 + b2 c2

Như vậy để tìm GTLN –GTNN của hàm số theo phươngpháp này ta quy về việc tìm điều kiện để một phươngtrình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y =

+ Tập xác định D = R.Gọi T là tập giá trị của hàm số Gọi y0 T phương trình y0 = có nghiệm x R

phương trình :y0x2 + (y0 – 2)x + 4y0 + 1= 0 (1) cónghiệm x R

Ta xét hai trường hợp :

 Nếu y0 = 0 thì (1) - 2x + 1 = 0

 Nếu y0 0 thì (1) có nghiệm

Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm

Vậy và

Giải:+ Tập xác định D = R

Có nghiệm x R

Có nghiệm x R

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :y =

Ví dụ 2: Xác định các tham số a và b sao cho hàm số :

y = đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và đạt giá trị

nhỏ nhất bằng -1

Vậy yêu cầu bài toán

Giải:

Vì phương trình : sinx + cosx – 2 = 0 vô nghiệm nên tậpxác định D = R

Gọi T là tập giá trị của hàm số

Gọi y0 T phương trình y0 = có nghiệm x R

Vậy :

PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Để tìm GTLN-GTNN của hàm số bậc hai : ax2+bx +c = 0( a 0) trên [ ] ta có nhận xét sau: đồ thị của hàmsố là Parabol có hoành độ đỉnh là x0 = -

Ta xét hai trường hợp :

1/ a>0: * Nếu x0 thì

Có nghiệm x R

Có nghiệm x R

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :y =

Điều kiện để hệ có nghiệm là : S2 – 4P 0

Bây giờ ta tìm a để P = đạt giá trị nhỏ nhấttrên [2-

Ta có hoành độ đỉnh parabol : a0 = 1 < 2 -

Parabol có bề lõm quay lên , do đó minP đạt được khi a =2-

Vậy với a = 2- thì xy đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình :Xác định a để tích xy là nhỏ nhất ?

Ví dụ 2: Tìm tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y = 4ax + lớn hơn 2

Đặt u = với x R thì -1 khi đó

y = cos u + cos2u + 1 = cos u + 2cos2u

PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG ĐẠO HÀM:

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Trong chương trình lớp 12 , ở phần đạo hàm chúng ta đãsử dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìmGTLN-GTNN

Đặc biệt nếu D = [a;b] và hàm số y = f(x) liên tục vàcó đạo hàm trên (a;b) thì

với x0 , x1 ,… lànghiệmcủa pt y/= 0

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y =

Ở đây ta xét thêm một số bài toán tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp đạo hàm

Nhận xét:Ví dụ 1 ta đã giải bằng pp sử dụng bất

đẳng thức , nhưng đối với học sinh yếu thì các em không sử dụng bất đẳng thức thành thạo

Mặt khác ở chương trình lớp 12 các em đã học đạo hàm và biết cách lập bảng biến thiên ,do đó khi giải

ví dụ 1 thì phương pháp đạo hàm chiếm ưu thế hơn vì mọi học sinh đều có thể giải được

Giải : Ta xét hàm số trên khoảng (0;1)

y/ = , y/ = 0

BBT:

Nhận xét: Ví dụ 2 ta cũng đã giải bằng phương pháp

bất đẳng thức , bây giờ ta giải ví dụ này theo phương

x - -1- 0 -1+ 1

+ y/ + 0 - - 0 + +

+ +

y

3+2

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =

trên (0;1)

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :

f(x) = xét trên miền D = [1;5]

pháp đạo hàm để thấy tính ưu việt của phương phápđạo hàm.

Giải: Tập xác định : D = [1;5]

Giải: Miền xác định: D = R

y/ = cosx + 6cos 2x = 12cos2x + cosx – 6

y/ = 0

1/ Với cosx = thì sinx =

2/ Với cosx = - thì sinx =

Vậy :

Chú ý : Trong các ví dụ sau nếu xét hàm số đã cho

theo biến x thì ta khó xét tính đơn điệu của hàm số ,nhưng nếu đặt ẩn phụ t thì ta có thể đưa hàm số trênvề dạng hàm số theo biến t quen thuộc với học sinhlớp 12 vì đó là một trong các dạng hàm số mà các

em đã khảo sát và vẽ đồ thị trong chương trình lớp 12

Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :y = sinx + 3 sin 2x

Ví dụ 4:Với giá trị nào của x ,hàm số sau

đạt giá trị nhỏ nhất:

Hàm số xác định với mọi x 0

Đặt t = x + , điều kiện :

Khi đó y = t2 – 2t + 3 = g(t) y/ = 2t – 2 = 0

BBT:

x - -2 1 2 +

y / - - 0 + +

+ +

y

11 3

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =

Nhận xét : Ở bài toán này nếu ta giải theo phương

pháp miền giá trị của hàm số thì ta không thể chỉ rađược x bằng bao nhiêu khi hàm số đạt GTLN ,

GTNN.Như vậy ta không trả lời được đúng yêu cầu củađề bài Vì vậy ở bài này ta phải giải bằng cách đặtẩn phụ

y / 0 + 0

1 2

y

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y=

Hàm số có chu kỳ T = 2

Vì y 0 và tính chất chẵn , lẻ của hàm số sinx , cosxnên ta chỉ cần xét hàm số

y= trên miền xác định D = [0; ]

Đặt t = cosx + sinx =

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A ,

B cho trước thì đường thẳng nối hai điểm A , B cóđộ dài nhỏ nhất

 Trong một tam giác , tổng hai cạnh luôn lớn hơncạnh thứ ba

 Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước ,khi đó độ dài đoạn vuông góc kẻ từ M xuống dngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống cùngđường thẳng ấy

 Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường trònthì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất.Trong thực tế phương pháp tìm GTLN-GTNN bằng phươngpháp hình học , chúng ta cũng đã làm quen rất nhiều

ở cấp 2 , chẳng hạn : “ Trong các tam giác có cùngcạnh đáy và cùng diện tích , tam giác nào có chu vi

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y=

nhỏ nhất”hay “ Chứng minh rằng trong các tam giáccó cùng cạnh đáy và cùng diện tích , tam giác câncó bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.”

Như vậy nếu như một bài toán nào đó tìm GTLN-GTNNbằng một phép biến đổi nào đó có thể quy về sựkiện hình học mà bằng phương pháp đồ thị và hìnhhọc ta có thể dễ dàng giải được thì chúng ta sửdụng phương pháp này

Giải:

Ta viết f (x) = Khi đó : f(3) = 4Dựng tam giácABC vuông tại A, AC = 5 , AB =

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1

Theo định lý Pitago, ta có :

Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = trên miền xác định D = R

y

Nếu (x,y) D ta có : x2 + y2 +16 = 8x + 6y

Vậy D chính là đường tròn tâm O1( 4; 3), bán kính R = 3

Khi (x,y) D ta có : f(x,y) = 4x+ 3y =

Xét điểm M(x;y) trên D Nối OO1 cắt đường tròn D tại M1

Vì x2 + y2 = OM2 nên từ (1) ta suy ra :

và

PHƯƠNG PHÁP 7: PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1/ Các đẳng thức vectơ:

Trong không gian n chiều , cho hai vectơ :

Vậy : max y = khi

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y =

Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y= sinx +

Ví dụ 5: Gọi là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp chữ nhật với ba cạnh phát xuất từ một đỉnh và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

léo để chọn tọa độ vectơ thích hợp thì giải được bàitoán nhẹ nhàng

Giải: Nhận xét : x2 – 2x + 5 = (1 – x)2 +22 , x2 + 2x + 5 = (x+1)2

Dấu “=” xảy ra cùng hướng

Vậy : min y = 2 khi x = 0

Giải:

Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho

A bằng tổng độ lớn của hai vectơ đó

Xét hai vectơ:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A =

Nhận xét : Ta chọn ba vectơ có tọa độ thích hợp sao cho

A bằng tổng độ lớn của ba vectơ đó

Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức :

A =

Aùp dụng bất đẳng thức :

Dấu “=” xảy ra cùng hướng

Vậy : min A = 5 khi

Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho

y bằng giá trị tuyệt đối của hiệu độ lớn của hai vectơđó

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y =

Ví dụ 6: Cho n số thực : a1,a2 , …., an Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A =

Aùp dụng bất đẳng thức :

Dấu “=” xảy ra cùng hướng

Vậy : min A = ( n +1 )

NỘI DUNG 3: MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH THAM

KHẢO

Đề 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc = 1 Tìm giá trị

nhỏ nhất của :

P =

Đề 2: Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 – 2sin 2x + m

Tính theo m giá trị lớn nhất của f(x) Từ đó tìm m saocho f2(x)