Ôn thi liên thông đại học môn Toán

Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công

1 PGS TS TÔ VĂN BAN Ôn tập THI ĐẦU VÀO VĂN BẰNG II (Môn TOÁN) (Phiên bản bê ta VI: 07 - 2007, 03 - 2008, 04 - 2009, 04 - 2010, 4-2011, 4-2012) 2 KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CHUYỂN CẤP VĂN BẰNG 2 Năm 2012 - môn TOÁN I. Đaị số tuyến tính 1. Đại số ma trận: các phép toán trên ma trận, định thức, cách tính định thức, hạng ma trận. 2. Hệ phương trình tuyến tính: phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính, biện luận nghiệm, nghiệm tổng quát. 3. Không gian véctơ, cơ sở và chiều, một số không gian véc tơ thông dụng. II. Vi phân hàm nhiều biến 1. Đạo hàm riêng và vi phân; đạo hàm hàm hợp; tính giá trị gần đúng. 4. Cực trị địa phương. III. Tích phân bội - Tích phân đường 1. Tính tích phân hai lớp trong toạ độ Đề các, toạ độ cực. 2. -Tính tích phân đường loại 2 - Công thức Green - Tích phân đường không phụ thuộc đường cong lấy tích phân. V. Phương trình vi phân 1. Phương trình vi phân cấp 1: phương trình phân ly biến số, phương trình đẳng cấp, phương trình tuyến tính, phương trình Becnuli, phương trình vi phân toàn phần. 2. Phương trình vi phân cấp hai: phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng số vế phải đặc biệt. VI. Chuỗi 1. Chuỗi số: các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương (tiêu chuẩn Dalambert, Côsi,; chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Lepnitz. 2. Chuỗi luỹ thừa: miền hội tụ. (Chỉ ôn tập trong những dạng cơ bản!) Tài liệu tham khảo: [1] Tô Văn Ban, Đào Trọng Quyết, Nguyễn Thị Thanh Hà. Giáo trình Toán Cao cấp, Nxb QĐND, 2011. [2] Lê Ngọc Lăng (Chủ biên). Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2 Môn toán T 1,2. NXB giáo dục 1994. [3] Tống Đình Quỳ. Giúp học tốt môn toán cao cấp ( 4 tập). [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh. Toán học cao cấp TI, II, III, NXB Giáo dục 2000. [5] Nguyễn Xuân Viên. Bài tập giải tích 1. HVKTQS 2005. 3 C ẤU TR ÚC Đ Ề MÔN TOÁN CHUYỂN CẤP- VBII Năm 2012 TT Phần Nội dung Số điểm 1 Đại số TT Ma trận Hệ PTTT Cơ sở, số chiều của KGVT 3 2 Hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Cực trị 2 3 Tích phân hàm nhiều biến Tích phân kép (2 biến) Tích phân đường loại II 2 4 Phương trình vi phân Cấp I: Phân ly, đẳng cấp Tuyến tính, Bernoulli, toàn phần Cấp II: Tuyến tính, hệ số hằng số, vế phải đặc biệt 2 5 Chuỗi Miền hội tụ 1 Ngày 24 - 03 – 2012 Chủ nhiệm Khoa 4// Đào Thanh Tĩnh Chủ nhiệm Bộ môn 4// Tô Văn Ban Người biên soạn Tô Văn Ban Địa chỉ liên hệ Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Phòng 1408, Tầng 4, Nhà A1 (sát đường Hoàng Quốc Việt) ĐT. 069 515 330 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 4 CHƯƠNG I. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH § 1.1. MA TRẬN, ĐỊNH THỨC 1.1.1 Ma trận, các phép toán trên ma trận a. Định nghĩa ma trận, các loại ma trận  Ma trận A cấp m n  là một bảng m.n số xếp thành m hàng n cột 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a . . . a a a . . . a A . . . . . . . . . a a . . . a              (Ta còn viết ij mxn A [a ]  hay ij A [a ]  ) Ở đây: i là chỉ số hàng, j là chỉ số cột; phần tử trên hàng i, cột j là ij a . Ví dụ 1.1 A= 1 2 3 4 5 6       là ma trận cỡ 23, a 11 =1 a 23 = 6 …  Nếu số hàng khác số cột, ta có ma trận chữ nhật. Nếu số hàng bằng số cột (m = n), ta có ma trận vuông cấp n.  Ma trận vuông mà mọi phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 gọi là ma trận đường chéo.  Ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là E (đôi khi là I).  Hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và những phần tử tương ứng ở cùng hàng, cùng cột thì bằng nhau.  Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0, ký hiệu là O. Ví dụ 1.2. Cho các ma trận 2 2 2 a a a 0 0 1 3 0 1 3 a A ; B a 0 1 ; C 0 1 0 ; D 3 2 5 3 a 2 5 0 0 2 a 1 2                                          ; 1 0 0 E 0 1 0 0 0 1            (đôi khi viết tắt là 1 1 1           ); 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 0 0            . A là ma trận cấp 2 3  , có 2 dòng, 3 cột; 23 a 5  . B là ma trận vuông cấp 3 (3 dòng, 3 cột); C là ma trận đường chéo (cấp 3); E là ma trận đơn vị (cấp 3). F là ma trận không, cấp 3 4  . A D  , khi và chỉ khi a 0  . b. Các phép toán trên ma trận  Cộng ma trận. Cho hai ma trận cùng cấp ij ij m n m n A a , B b             . Tổng của A và B là ma trận ij ij m n C A B a b          .  Tính chất * A B B A * A O O A A * (A B) C A (B C)             PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 5  Nhân ma trận với một số Cho ij m n A a , k         ; tích kA là ma trận xác định bởi ij m n kA ka       . Quy tắc: Khi nhân một số với ma trận, ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó.  Tính chất. Cho A, B là những ma trận cùng cấp, h,k   . Khi đó, k(A B) kA kB, (h k)A kA hA, k(hA) (kh)A.         Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận ij ij m p p n A a , B b             (số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B). Ta gọi tích AB là ma trận ij m n C c       có m hàng, n cột mà phần tử c ij được xác định bởi công thức: p ij i1 1j i2 2j ip pj ik kj k 1 c a b a b a b a b        . Như vậy, để thu được phần tử ở hàng i, cột j của ma trận tích, ta thực hiện theo sơ đồ nhân sau Hàng i của ma trận A Cột j của ma trận B Ví dụ 1.3. 1 0 1 3 0 5 4 A ; B AB 2 1 3 2 5 22 3 3 1                              . Tính chất. Giả sử rằng các phép nhân sau đây thực hiện được, ta có: (AB)C A(BC)  : Tính kết hợp A(B C) AB AC (B C)A BA CA       : Phép nhân phân phối với phép cộng Lưu ý. Nói chung, kể cả 2 ma trận A và B vuông, cùng cấp, ta không có AB BA  . Như vậy, phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Xét ví dụ 1 0 0 1 0 1 0 0 A ; B AB BA . 0 0 1 0 0 0 1 0                               c. Ma trận chuyển vị. Cho ma trận ij mxn A [a ]  . Ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các viết dòng i thành cột i: ji nxm B [a ]  , được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là T A . 1j 2j i1 i2 i3 in 3j nj b b (a a a . . . a ) b b                   PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 6  Tính chất. Nếu có thể nhân ma trận A với ma trận B thì T T T (AB) B A  . Ma trận đối xứng. Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu T A A  . Ví dụ 1.4. T 1 1 1 2 4 2 3 1 3 0 4 0                    . Ma trận 1 2 5 C 2 0 3 5 3 4             là đối xứng. 1.1.2. Định thức a. Định nghĩa Cho A là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc | A |, xác định theo quy nạp như sau. * A là ma trận cấp một: A = [a], det(A) = a. * A là ma trận cấp hai: a b A c d        , a b det(A) det ad bc. c d          * Giả sử ta đã xác định được định thức cấp n - 1. Cho A là ma trận cấp n 11 12 1n 21 22 2n ij n1 n2 nn a a . . . a a a . . . a A a . . . . . . . . . a a . . . a                   . Gọi 1j A là ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách bỏ đi hàng 1, cột j. Khi đó 1 n 11 12 1n 11 12 1n det(A) a det(A ) a det(A ) ( 1) a det(A )       . Định thức của ma trận vuông cấp n gọi chung là định thức cấp n. * Tính định thức cấp 2 và 3 Ví dụ 1.5. Tính det(A) với i. 2 3 A 5 4        , ii. A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9             Giải. i. det(A) = 2  4 - 3  5 = - 7 ii. 1 2 3 5 6 4 6 4 5 4 5 6 1 2 3 8 9 7 9 7 8 7 8 9             = (4.5 + 6.8) - 2(-4.9 -6.7) + 3 (4.8-5.7) = 240. Có thể tính định thức cấp 3 theo sơ đồ sau: Giả sử A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a           . * Viết thêm cột 1 và 2 bên cạnh A : * Tính det(A) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 Ví dụ 1.6. Tính det(A) với A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9             PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 7 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5 7 8 9 7 8      det(A) = 1.5.9 + 2.6.7 +3.4.8 - 3.5.7 +1.6.8 +2.4.9 = 240 b. Tính chất của định thức  Phép chuyển vị ma trận không làm thay đổi giá trị định thức T det(A) det(A )  .  Nếu đổi chỗ 2 hàng của ma trận thì định thức đổi dấu.  Nếu ta cộng vào một hàng nào đó một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức không đổi.  Nếu ta nhân các phần tử của hàng nào đó với cùng một số C rồi cộng vào hàng khác thì định thức không đổi.  Một ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của nó bằng 0.  Nếu ma trận có một hàng gồm toàn số 0 thì định thức của nó bằng 0.  Nếu ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức tương ứng bằng 0.  Nếu nhân các phần tử của một hàng của ma trận với cùng một số k thì định thức của ma trận được nhân lên k lần.  Tương tự các điều nói trên với cột.  Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì det(A B) det(A)det(B)  . Lưu ý. Nói chung det(A B) det(A) det(B)    . c. Cách tính định thức Cách 1.( Khai triển theo hàng hoặc cột) Xét ma trận vuông ij A a      cấp n. ij A : Ma trận vuông cấp n-1 nhận được từ A bằng cách bỏ đi hàng i, cột j;   i j ij ij A 1 A    : phần bù đại số của phần tử a ij . (Ta thường làm xuất hiện thêm số 0 ở hàng hoặc cột dự định sẽ khai triển để giảm bớt số định thức cấp n - 1). Khi đó n ik ik k 1 det A a A    (Khai triển theo hàng i) n kj kj k 1 detA a A    (Khai triển theo cột j) Cách 2. (Chủ yếu) Sau đây chúng ta dùng các phép biến đổi sơ cấp (xem Bảng 1.1) để đưa định thức đã cho về dạng tam giác. Khi ấy, giá trị của định thức cho bởi 11 12 1n 22 2n 11 22 nn nn a a a 0 a a det(A) C C.a .a a 0 0 a   PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 8 11 21 22 11 22 nn n1 n2 nn a 0 0 a a 0 det(A) C C.a .a a a a a   (1.7) (Giá trị C phụ thuộc vào các phép biến đổi sơ cấp đã sử dụng). Bảng 1.1. Các phép biến đổi sơ cấp về hàng Biến đổi sơ cấp (về hàng) Tác dụng Nhân một hàng với một số k 0  Định thức được nhân với k Hạng không đổi Đổi chỗ 2 hàng Định thức đổi dấu Hạng không đổi Cộng k lần một hàng nào đó vào hàng khác Định thức không đổi Hạng không đổi Ví dụ 1.7. Tính định thức: 0 1 2 10 1 2 3 4 A 2 5 15 18 1 1 1 4         Giải. Trước tiên ta làm xuất hiện thêm hai số 0 ở cột một rồi khai triển theo cột này:   2 1 0 1 2 10 0 1 2 10 1 2 10 1 2 3 4 1 2 3 4 A 1 .1. 1 9 10 2 5 15 18 0 1 9 10 1 2 0 1 1 1 4 0 1 2 0                       1 3 1 2 10 0 7 0 7 0 ( 1) 10 . 10. 7 70 1 2 1 2 0               . Ví dụ 1.8. Tính định thức của ma trận 2 2 0 2 1 2 0 1 A 1 1 1 1 2 1 0 1                  . Giải. Ta đưa dịnh thức về dạng tam giác trên bằng các phép biến đổi sơ cấp 2 2 0 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 0 0 0 1 1 2 det(A) 2 2 1 0 1 1 0 1 1 2 0 2 0 0 2 1 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1                1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2 2 4 0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2 5 0 0 0 1           . Bài tập. Tính các định thức: PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 4 3 6 1. 3 1 4 2. 3. 1 1 1 1 1 3 4 5 1 2 1 1 1 1 1 1 8 7 10        3 5 7 4 4 1 1 6 2 1 4 3 5 1 1 7 4. 5. 1 2 1 0 3 2 1 3 2 1 2 2 1 4 1 2         Đáp số: 1) 0; 2) 16; 3) -16; 4) 24; 5) -5 1.1.3. Ma trận nghịch đảo Cho A - ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = E, (E là ma trận đơn vị cấp n) thì ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu 1 B A   . Khi đó, ma trận A gọi là khả nghịch.  Điều kiện tồn tại. Giả sử A là ma trận vuông. A khả nghịch det (A) 0   .  Tính chất của ma trận nghịch đảo + Nếu A khả nghịch thì 1 A  cũng khả nghịch và 1 1 (A ) A    . + Nếu 2 ma trận vuông cùng cấp A, B khả nghịch thì tích AB khả nghịch và 1 1 1 (AB) B A     .  Cách tính ma trận nghịch đảo Cách 1: +Tính detA. +Tính các phần bù đại số A ij của phần tử a ij của ma trận A: 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn A A A A A A A A A T 1 ij 1 A A . det A        Cách 2: (Chủ yếu)  Có nhiều cách tính ma trận nghịch đảo. Chúng ta tìm hiểu cách tính thông dụng và có tốc độ tính toán nhanh sau đây. * Viết ma trận đơn vị E bên phải ma trận A, ta được ma trận [A E] . * Thực hiện các biến đổi sơ cấp theo hàng của [A E] như sau: Nhân hay chia các phần tử của cùng một hàng với một số khác 0; Đổi chỗ hai hàng cho nhau; Nhân một hàng nào đó với một số rồi cộng vào hàng khác. (Không thực hiện các phép biến đổi với cột). [A E] [E B]   : Quá trình kết thúc. * Kết luận 1 A B   . . PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 10 Ví dụ 1.9. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 3 2 A 2 5 3 3 2 4                Cách 1: detA = -1 ≠ 0 nên A khả nghịch. Ta tính các phần phụ đại số của A 11 12 13 5 3 2 3 2 5 A 14, A 17, A 19 2 4 3 4 3 2               21 22 23 31 32 33 3 2 1 2 1 3 A 8, A 1, A 11 2 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 3 A 1, A 1, A 1 5 3 2 3 2 5                              T 1 14 17 19 14 8 1 1 A 8 10 11 17 10 1 1 1 1 1 19 11 1                                   Cách 2: Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng của (A | E): 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 2 5 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 3 2 4 0 0 1 0 11 10 3 0 1                              1 1 3 2 1 0 0 1 3 0 37 22 2 0 1 1 2 1 0 0 1 0 17 10 1 0 0 1 19 11 1 0 0 1 19 11 1 1 3 0 37 22 2 1 0 0 14 8 1 14 8 1 0 1 0 17 10 1 0 1 0 17 10 1 A 17 10 1 0 0 1 19 11 1 0 0 1 19 11 1 19 11 1                                                                              Lưu ý. Nếu quá trình biến đổi không thể làm xuất hiện ma trận E ở bên trái - chẳng hạn được ma trận có một số dòng toàn số 0 - thì kết luận ma trận A không khả nghịch. Bài tập 1.Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận 3 1 0 1)A 1 1 2 1 1 1              1 0 0 2) B 1 1 0 1 1 1            1 2 0 3)C 1 3 2 1 2 1             ĐS: 1 1 1 1 2 6 3 1 1 A 1 2 2 1 1 0 3 3                        ; [...]... a n ) Dễ thấy  n trở thành không gian tuyến tính, gọi là không gian tọa độ 1 : Đường thẳng thông thường  2  {(x, y) : x, y  } : Tọa độ các điểm trong mặt phẳng; 3  {(x, y, z) : x, y, z  } : Tọa độ các điểm trong không gian 1.3.2 Nhận biết không gian con véc tơ Giả sử F là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ V trên trường  Để chứng minh F là một không gian con của V ta kiểm tra... gọi chung là véc tơ Ví dụ 1.16 i Không gian các đa thức với hệ số thực Tập P[x] các đa thức ẩn x hệ số thực là một không gian véc tơ đối với phép cộng các đa thức và phép nhân các đa thức với các số thực P[x]  {a o  a1x   a n x n : a i  , n  0, 1, 2, } Véc tơ không là đa thức 0, vecto đối của f(x) là -f(x) ii Không gian tuyến tính  n Đây là không gian thông dụng nhất Gọi  n là tập hợp các... e2  (14,  8, 0,1) {e1 , e2 } là cơ sở của không gian nghiệm, dim(N 0 )  2 1.2.6 Phương trình ma trận Tìm ma trận X cấp n × m thỏa mãn A.X = B, A: ma trân vuông cấp n, B: ma trận cấp n × m; A, B cho trước, 18 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V:... sau có nghiệm không tầm thường: 2x1  x 2  x 3  0   x1  x 2  2x 3  0 5x  x  x  0 2 3  1 Với λ tìm được hãy tìm nghiệm tổng quát của hệ 5) Tìm các ma trận vuông cấp ba X sao cho: 20 1 2  1   2 7  5 X  0    4  1 5   PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn... PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 23 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 - + Nếu hệ vô nghiệm, không tồn tại biểu diễn + Nếu hệ có vô số nghiệm: Biểu diến không duy nhất + Nếu hệ có nghiệm duy nhất: Biểu diễn là duy nhất... cột để đưa ma trận về dạng bậc thang Khi đó, hạng của ma trận đã cho bằng số hàng (hoặc số cột) khác không của ma trận dạng bậc thang thu được (Ma trận bậc thang là ma trận mà hàng có nhiều số không hơn ở thấp hơn, cột có nhiều số không hơn ở bên trái cột có ít số không hơn) Chú ý Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rankA = n  A khả nghịch (  A 1  det(A)  0 )  1 0 0 1 Ví dụ 1.10 Tìm hạng của ma... , , a n ), a1, , a n  } PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 21 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 - Xác đinh phép toán cộng + trong  n và phép nhân số thực với phần tử của  n như sau: a  (a1 , , a n ); b  (b1,... 1, x 3  1 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 17 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 -  e  (1,  1,  1,1) là nghiệm cơ bản (cơ sở của không gian nghiệm)  x1  2x 2  3x 3  2x 4  0  2 Cho hệ phương trình 2x1 ... chiều của một không gian véc tơ a Không gian sinh bởi một hệ véc tơ Giả sử {a1, a2, …, am} là hệ m véc tơ nào đó trong KGVT V Ký hiệu m     L  a1, a 2 , , a m   a    k a k ; 1 ,  2 , ,  m      k 1   L là không gian con của V, gọi là không gian sinh bởi hệ véc tơ {a1, a2, …, am}  Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính: Hệ các véc tơ {a1, a2, …, am} trong không gian véc tơ... PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011 - Khi đó, với a đã cho, bộ số (1 ,  2 , ,  n ) là duy nhất và gọi là các tọa độ của véc tơ a đối với cơ sở {e1 , e 2 , , e n } Số véc tơ trong cơ sở gọi là số chiều của không gian đó Chiều của . VI: 07 - 2007, 03 - 2008, 04 - 2009, 04 - 2010, 4-2011, 4 -2012) 2 KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CHUYỂN CẤP VĂN BẰNG 2 Năm 2012 - môn TOÁN I. Đaị số tuyến. Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/ 2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/ 2011 4 CHƯƠNG I. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH § 1.1. MA TRẬN,. Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/ 2011 PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/ 2011 5  Nhân ma trận với một số Cho ij m n A a