Ôn thi liên thông đại học môn Toán

Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công Đề cương giúp cho học viên, sinh viên thi liên thông Đại học.Đê cương gồm có các phần rõ rệt cho từng mục để ôn thi, hy vong các bạn sẽ ủng hộ, chúc các bạn thành công

Trang 1

1

PGS TS TÔ VĂN BAN

Ôn tập THI ĐẦU VÀO VĂN BẰNG II

(Môn TOÁN)

(Phiên bản bê ta VI: 07 - 2007, 03 - 2008,

Trang 2

2

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI CHUYỂN CẤP VĂN BẰNG 2

Năm 2012 - môn TOÁN

II Vi phân hàm nhiều biến

1 Đạo hàm riêng và vi phân; đạo hàm hàm hợp; tính giá trị gần đúng

4 Cực trị địa phương

III Tích phân bội - Tích phân đường

1 Tính tích phân hai lớp trong toạ độ Đề các, toạ độ cực

2 -Tính tích phân đường loại 2

2 Phương trình vi phân cấp hai: phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng số vế phải đặc biệt

VI Chuỗi

1 Chuỗi số: các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương (tiêu chuẩn Dalambert, Côsi,; chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Lepnitz

2 Chuỗi luỹ thừa: miền hội tụ

(Chỉ ôn tập trong những dạng cơ bản!)

Tài liệu tham khảo:

[1] Tô Văn Ban, Đào Trọng Quyết, Nguyễn Thị Thanh Hà Giáo trình Toán Cao cấp, Nxb QĐND, 2011

[2] Lê Ngọc Lăng (Chủ biên) Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2 Môn toán T 1,2 NXB giáo dục 1994

[3] Tống Đình Quỳ Giúp học tốt môn toán cao cấp ( 4 tập)

[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Toán học cao cấp TI, II, III, NXB Giáo dục 2000

[5] Nguyễn Xuân Viên Bài tập giải tích 1 HVKTQS 2005

Trang 3

số, vế phải đặc biệt

2

Ngày 24 - 03 – 2012 Chủ nhiệm Khoa

4// Đào Thanh Tĩnh

Chủ nhiệm Bộ môn

4// Tô Văn Ban

Người biên soạn

Tô Văn Ban

Địa chỉ liên hệ

Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Phòng 1408, Tầng 4, Nhà A1 (sát đường Hoàng Quốc Việt)

ĐT 069 515 330

Trang 4

 Ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 gọi là ma trận

đơn vị, ký hiệu là E (đôi khi là I)

 Hai ma trận bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và những phần tử tương ứng ở cùng

C là ma trận đường chéo (cấp 3); E là ma trận đơn vị (cấp 3)

F là ma trận không, cấp 3 4 AD, khi và chỉ khi a0

Trang 5

PGS TS Tô Văn Ban - Ôn thi đầu vào Văn bằng II - Phiên bản bê ta V: 04/2011

Ta gọi tích AB là ma trận C  cij m n  có m hàng, n cột mà phần tử cij được xác định bởi công thức:

   : Phép nhân phân phối với phép cộng

Lưu ý Nói chung, kể cả 2 ma trận A và B vuông, cùng cấp, ta không có ABBA Như vậy, phép nhân ma trận không có tính giao hoán Xét ví dụ

Trang 6

-

 Tính chất Nếu có thể nhân ma trận A với ma trận B thì (AB)T B AT T

Ma trận đối xứng Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu AAT

Có thể tính định thức cấp 3 theo sơ đồ sau: Giả sử A =

Trang 7

 Nếu đổi chỗ 2 hàng của ma trận thì định thức đổi dấu

 Nếu ta cộng vào một hàng nào đó một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức không đổi

 Nếu ta nhân các phần tử của hàng nào đó với cùng một số C rồi cộng vào hàng khác thì định thức không đổi

 Một ma trận có hai hàng giống nhau thì định thức của nó bằng 0

 Nếu ma trận có một hàng gồm toàn số 0 thì định thức của nó bằng 0

 Nếu ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức tương ứng bằng 0

 Nếu nhân các phần tử của một hàng của ma trận với cùng một số k thì định thức của

ma trận được nhân lên k lần

 Tương tự các điều nói trên với cột

 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì

det(A B)det(A) det(B)

Lưu ý Nói chung det(AB)det(A) det(B)

a a a

0 a adet(A) C C.a a a

0 0 a

Trang 8

a a a

  (1.7)

(Giá trị C phụ thuộc vào các phép biến đổi sơ cấp đã sử dụng)

Bảng 1.1 Các phép biến đổi sơ cấp về hàng

Nhân một hàng với một số k0 Định thức được nhân với k Hạng không đổi

Đổi chỗ 2 hàng Định thức đổi dấu Hạng không đổi Cộng k lần một hàng nào đó vào

hàng khác Định thức không đổi Hạng không đổi

Trang 9

 Có nhiều cách tính ma trận nghịch đảo Chúng ta tìm hiểu cách tính thông dụng và có

tốc độ tính toán nhanh sau đây

* Viết ma trận đơn vị E bên phải ma trận A, ta được ma trận [A E ]

* Thực hiện các biến đổi sơ cấp theo hàng của [A E ] như sau:

Nhân hay chia các phần tử của cùng một hàng với một số khác 0;

Đổi chỗ hai hàng cho nhau;

Nhân một hàng nào đó với một số rồi cộng vào hàng khác

(Không thực hiện các phép biến đổi với cột)

[A E] [E B ] : Quá trình kết thúc

* Kết luận A1B

Trang 10

Lưu ý Nếu quá trình biến đổi không thể làm xuất hiện ma trận E ở bên trái - chẳng hạn

được ma trận có một số dòng toàn số 0 - thì kết luận ma trận A không khả nghịch

Bài tập

1.Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận

3 1 01) A 1 1 2

Trang 11

Giả sử p là số nguyên dương và p min(m, n)

Mỗi ma trận vuông cấp p suy từ ma trận A bằng cách bỏ đi m - p hàng và np cột gọi

là ma trận con cấp p của ma trận A

 Định nghĩa Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không

của A, ký hiệu là rankA

Cách 2 Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng hoặc đối với cột để đưa ma trận về dạng

bậc thang Khi đó, hạng của ma trận đã cho bằng số hàng (hoặc số cột) khác không của ma trận dạng bậc thang thu được

(Ma trận bậc thang là ma trận mà hàng có nhiều số không hơn ở thấp hơn, cột có nhiều

số không hơn ở bên trái cột có ít số không hơn)

Trang 13

trong đó a , b cho trước, ij i x , x , , x là ẩn 1 2 n

Như vậy, hệ có n ẩn và m phương trình

Bộ số ( 1, 2, ,n), hay đầy đủ hơn, x1 1, , xn   được gọi là nghiệm của hệ n

nếu khi thay vào hệ thì mỗi phương trình của hệ trở thành đẳng thức

xxx

1 2 3

bbb

Hệ được đưa về dạng ma trận Axb

1.2.2 Hệ thuần nhất

Khi b1b2  b n  , hệ trên trở thành 0

Trang 14

được gọi là hệ thuần nhất (m phương trình, n ẩn), dạng ma trận của nó là Ax0.

Rõ ràng, x1 xn  là một nghiệm, gọi là nghiệm tầm thường 0

1.2.3 Hệ Gauss Hệ (*) với m = n, và det(A) ≠ 0 gọi là hệ Gauss

n

b b

Adet(A )

là số lượng tính toán giảm đi rất nhiều so với phương pháp Cramer

1.2.4 Phương pháp Gauss (giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát) (Chủ yếu)

Xét hệ m phương trình tuyến tính n ẩn (*).Trình tự giải như sau

 Thêm cột hệ số tự do vào bên phải ma trận A ta được ma trận mở rộng B:

Trang 15

 Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng cho ma trận mở rộng B để đưa về ma trận

dạng hình thang Chẳng hạn nếu a11 ≠ 0, ta biến đổi sao cho từ hàng thứ 2 trở đi, các phần tử ở cột đầu tiên bằng 0 (còn nếu a11 = 0 thì đổi thứ tự hàng - ứng với nó là đổi chỗ hai phương trình - để có a11 ≠ 0) B được đưa về dạng:

* Nếu b  (  rankA ≠ rankB), hệ vô nghiệm r 1 0

* Nếu b  (  rankA = rankB), hệ có nghiệm: r 1 0

+ Khi r = n hệ có nghiệm duy nhất

+ Khi r < n hệ có vô số nghiệm

* Để tìm nghiệm, ta giải ngược từ hàng cuối cùng lên hàng đầu tiên

Nhận xét Có thể dùng phương pháp Gauss cho hệ thuần nhất

Nếu hệ thuần nhất Ax = 0 có số phương trình bằng số ẩn thì:

det(A)0 r rank An: Hệ chỉ có nghiệm tầm thường;

det(A)0 r rank An: Hệ có vô số nghiệm

Trang 17

Nếu   3 hệ có nghiệm duy nhất ( 0,0,0,0)

Nếu  = 3, hệ tương đương với hệ 3 phương trình 4 ẩn: Hệ có vô số nghiệm

Trang 18

a Giải và biện luận theo a

b Khi a = 0, tìm hệ nghiệm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm

Trang 19

 

Tuy nhiên ma trận A không còn là E như ở trường hợp I, mà chứa một số hàng 0 *

Ta phải hiểu bảng thu được chính là m hệ phương trình, mỗi hệ có ma trận hệ số giống nhau là A , còn cột hệ số tự do lần lượt là các cột thứ nhất, thứ 2, , thứ m của ma trận * B *Giải m hệ này, ta thu được ma trận X

Lưu ý rằng PT đã cho có thể có vô số nghiệm, nghiệm duy nhất, thậm chí vô nghiệm

Ví dụ 1.15 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình AXB, trong đó

Trang 20

a Tìm nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất

b Từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ

5) Tìm các ma trận vuông cấp ba X sao cho:

Trang 21

-

21

§ 1.3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ

1.3.1 Khái niệm không gian véc tơ

Định nghĩa Tập V được gọi là một không gian véc tơ (hay không gian tuyến tính) trên

 nếu tập V được trang bị phép cộng các phần tử trong V và phép nhân 1 số với 1 phần tử của V:

Khi không sợ hiểu lầm, ta vẫn ký hiệu véc tơ không là 0

*  x Vtồn tại véc tơ đối của x, ký hiệu là x, thỏa mãn: x ( x) 

Phần tử của V gọi chung là véc tơ

Ví dụ 1.16 i Không gian các đa thức với hệ số thực

Tập P[x] các đa thức ẩn x hệ số thực là một không gian véc tơ đối với phép cộng các đa thức và phép nhân các đa thức với các số thực

n

P[x] {a a x a x : a  , n0, 1, 2, }

Véc tơ không là đa thức 0, vecto đối của f(x) là -f(x)

ii Không gian tuyến tính  n

Đây là không gian thông dụng nhất

Trang 22

- Xác đinh phép toán cộng + trong  và phép nhân số thực với phần tử của n  như n

  : Tọa độ các điểm trong không gian

1.3.2 Nhận biết không gian con véc tơ

Giả sử F là một tập con khác rỗng của không gian véc tơ V trên trường 

Để chứng minh F là một không gian con của V ta kiểm tra điều kiện sau:

u, vF, ,     u v F

1.3.3 Cơ sở và chiều của một không gian véc tơ

a Không gian sinh bởi một hệ véc tơ

Giả sử {a1, a2, …, am} là hệ m véc tơ nào đó trong KGVT V Ký hiệu

L là không gian con của V, gọi là không gian sinh bởi hệ véc tơ {a1, a2, …, am}

 Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính:

Hệ các véc tơ {a1, a2, …, am} trong không gian véc tơ V được gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại α1, α2, …, αm   không đồng thời bằng 0 để

{a , a , , a } được gọi là độc lập tuyến tính

b Cơ sở của không gian véc tơ

Định nghĩa Hệ n véc tơ {e , e , , e } là cơ sở của không gian véc tơ V nếu thỏa mãn 1 2 n

2 điều kiện sau:

+ Hệ {e , e , , e } độc lập tuyến tính 1 2 n

+ Mỗi véc tơ aV đều biểu diễn tuyến tính qua e1, e2,…, en:

1, 2, , n : a 1 1e 2 2e n ne

           (1.16)

Trang 23

Số véc tơ trong cơ sở gọi là số chiều của không gian đó

Chiều của V ký hiệu là dim(V)

Ví dụ 1.17 i Không gian  các bộ 4 số thực 4

Một cơ sở là {(1, 0, 0, 0); (0,1, 0, 0); (0, 0,1, 0); (0, 0, 0,1)} Đây gọi là cơ sở chính tắc của

4

 Số chiều của  là 4 4

Trong cơ sở này véc tơ (4, -1, 2, 3) có tọa độ là (4, -1, 2, 3)

ii Không gian P [x] các đa thức (hệ số thực), bậc  4 4

Một cơ sở là {1, x, x , x , x } Đây gọi là cơ sở chính tắc của 2 3 4 P [x] Số chiều là 5 Đa 4thức p(x) 1 2x  x33x4 có tọa độ (1, 2, 0, 1, 3)

iii Không gian M2 3 ( ) các ma trận cấp 2 x 3 (thực)

+ Hoặc là mọi aV đều biểu diễn tuyến tính qua {e1, e2,…, en })

d Tìm tọa độ của một véc tơ u theo cơ sở v = {e1, e2,…, en }

* Bài toán Trong một cơ sở {e , , e } nào đó của KG V, cho u có tọa độ 1 n

Trang 24

- + Nếu hệ vô nghiệm, không tồn tại biểu diễn

+ Nếu hệ có vô số nghiệm: Biểu diến không duy nhất

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất: Biểu diễn là duy nhất

* Nếu mn và hệ {f , f , , f } là cơ sở thì hệ PT thu được luôn có nghiệm duy 1 2 nnhất Bộ số (x , , x ) là tọa độ của u trong cơ sở này 1 n

1.2.4 Hạng của hệ véc tơ

Định nghĩa Hạng của hệ véc tơ {a1, a2, …, am} trong KGVT V, ký hiệu là

 1 2 m

rank a , a , , a , là chiều của không gian con véc tơ L(a , a , 1 2 , a )m

Như vậy: rank a , a , , a 1 2 mdim L(a , a , 1 2 , a )m

* Phương pháp tìm hạng của hệ véc tơ {a1, a2, …, am}

Giả sử trong một cơ sở nào đó của KGVT V, các tọa độ tương ứng của các véc tơ a1, a2,

 Kết luận: rank{a1, a2, …, am} = rankA

1.2.5 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Xét hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn:

Định lý Tập N tất cả các nghiệm (x0 1, x2, … , xn) của hệ m phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn tạo thành không gian con véc tơ trong  n

Nếu rankA = r thì dim(N ) = n - r 0

Ví dụ 1.18 Trong  cho ba véc tơ 3 u(1, 2,3); v  ( 2, 5, 2); w (1, 3, 1)

Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con L sinh bởi u, v, w

Tìm λ để véc tơ b2, 5, cũng là một véc tơ của L Với λ đó, tìm biểu diễn đòi hỏi 

Giải Ta tìm hạng của ma trận

Trang 25

a Chứng tỏ hệ các véc tơ đó là một cơ sở của  4

b Tìm tọa độ của véc tơ e1, 0, 0,1trong cơ sở đó

Giải.a Trước hết ta biết rằng dim(4)4

Bây giờ ta tìm hạng của ma trận A các tọa độ của các véc tơ của hệ:

Rank(A) = Rank(B) = 4 Vậy hệ E độc lập tuyến tính

Hệ E gồm 4 véc tơ, vậy đây là một cơ sở của không gian  4

Trang 26

Vậy dim(S) = 2, và 1 cơ sở của S là {E1, E2}

Ví dụ 1.21 Tìm số chiều và cơ sở của KG nghiệm N của hệ thuần nhất: 0

Trang 27

+ Lấy fX bất kỳ, f phải có dạng f (0, x, 0, y, 0) Vậy

f x(0, 1, 0, 0, 0)y(0, 0, 0, 1, 0)xf1yf2: f biểu diễn tt qua {f , f } 1 2

Trang 28

-

a Giải và biện luận theo a hệ phương trình Tìm hệ nghiệm cơ sở

b Gọi A là ma trận các hệ số của ẩn Với giá trị nào của a thì tồn tại A-1 Tìm A-1 khi a

Tìm cơ sở và chiều của không gian L1L2

4 Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất sau:

a Chứng minh f1, f2, f3 tạo thành cơ sở của P x 2 

b Hãy biểu diễn f(x) = 3x2 + x + 1 qua f1, f2, f3

6 Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con sinh bởi hệ véc tơ:

Trang 29

cos x1(cot x) '

sin x(a ) ' a ln a

(e ) ' e

1(log x) '

x ln a1(ln x) '

x

1(arc sin x) '

1 x1(arc cos x) '

1 x1(arc tan x) '

1 x1(arc cot x) '

(C) ' 0(u ) ' u u '( u ) ' (1/ 2 u )u '(sin u) ' c os u u '(cos u) ' sin u u '

1(tan u) ' u '

cos u1(cot u) ' u '

sin u(a ) ' a (ln a) u '(e ) ' e u '

1(log u) ' u '

u ln a1(ln u) ' u '

u

1(arc sin u) ' u '

1 u1(arc cos u) ' u '

1 u1(arc tan u) '

1 u

  



Trang 30

  đồng biến, nó có hàm ngược, ký hiệu

là arc tan x - hay đầy đủ hơn - yarc tan x, x  ( ; ) Đây là hàm lẻ, đồng biến, và đồ thị

của nó cho ở dưới Lưu ý rằng

Hình 2 1 Hàm sinx và hàm arcsinx (a), và hàm arctan x (b)

Đường cong dưới dạng tham số

Cho 2 hàm số xx(t), yy(t), t(a; b)

Khi t chạy từ a đến b, điểm M(x(t),y(t)) lập nên đường cong L, ta nói đường cong L

được tham số hóa bởi x x(t)

Trang 31

31

Khi t : cd (c,d giữa a và d) thì M biến thiên trên đường cong thế nào?

Khi M(x(t),y(t)) chạy trên đường cong từ CD thì tham số t biến thiên thế nào (từ đâu đến đâu)?

Đường cong trong tọa độ cực

r là bán kính cực,  là góc cực của điểm M Khi không sợ lầm lẫn, ta có thể viết M(x,y) với ngụ ý rằng điểm M có tọa độ Đề Các (x,y), hoặc M(r, ) với ngụ ý rằng điểm M có tọa

độ cực (r, )

Tọa độ cực suy rộng Người ta còn xét tọa độ cực với r,  bất kỳ:

r  ( ; ),    ( ; )) Từ phương trình (*), ta tính được x,y Trong mặt phẳng, điểm M với tọa độ Đề các (x,y) sẽ có tọa độ cực (r, )

Khảo sát đường cong trong tọa độ cực

+ Dùng các quy tắc, các bước khảo sát như với hàm số thông thường

Trang 32

 

(2) (n) (n 1)

* Biến đổi hàm dưới dấu TP, đưa về TP cơ bản

Các phép biến đổi hay dùng là:

+Thêm bớt; +Dùng hằng đẳng thức; + Nhân liên hợp; +Tách thành tổng

1

dx tan x Ccos x

2 2

0du C1du du u C

u

11

du ln u Cu

ln a

e du e Csin udu cos u Ccos udu sin u C1

du cot u Csin u

1

du tan u Ccos u

Trang 33

atan xdx ln | cos x | C

2a x a

x a1

dx ln x x k C

x k

ln tan Csin x 2

trong đó G(u) là một nguyên hàm của hàm g(u)

Phương pháp đổi biến Cần tính tích phân

b a

I f (x) dx, f(x) liên tục

Ta có thể đặt x x (t) , t [ ; ]    sao cho:

+ x (t) liên tục và giữ dấu trên [ ; ]  hoặc chỉ được phép đổi dấu một số hữu hạn lần; + Tập giá trị x ([ ; ])  của hàm x(t) nằm trong miền liên tục của hàm f(x) (miền trên đó f(x) liên tục); x ( )  a , x ( )  b

Khi đó

b a

Khi cần tính tích phân, ta cố gắng viết hàm dưới dấu tích phân f(x) dưới dạng f (x)u(x) v (x)

trong đó u(x), v(x) là những hàm khả vi liên tục Khi đó

u dvuv  v du

 

6 dạng sau dễ dàng dùng TP từng phần

Trang 34

VD 2.1 Tìm đạo hàm của các HS sau:

a) y = x5 + tan(cosx + sin3x) d) y = earctan x

VD 2.5 Đưa về tọa độ cực , khảo sát đường cong

a) x22axy2 0 (a0) b) x2y22ay0 (a0) c) (x2 + y2)3 = 4xy

Trang 35

35

Ghi nhớ: Đường cong ra cos (a0) là đường tròn đường kính a, nằm bên phải trục tung, tiếp xúc với trục tung tại gốc tọa độ

Đường cong ra sin (a0) là đường tròn đường kính a,

VD 2.6 Tính đạo hàm bậc hai của các hàm số

a)y = log15(x4 - sin2x); b) yarc tan (3x x )

x 1

3 2

cos xdxsin x

Trang 36

VD 2.14 Tính tích phân

x 0

2 0

dx(x2)(x 5)

 b)

10 2 5

dx

x x 9

 Đặt

5 2

2 4

Trang 37



Các định lí cơ bản về sự liên tục của tổng, hiệu, tích, thương, hợp các hàm liên tục, tính liên tục đều của hàm liên tục trên tập compắc (dống và giới nội) đối với hàm một biến vẫn còn bảo toàn cho trường hợp hàm nhiều biến

a Đạo hàm riêng Cho hàm số zf (x, y) xác định trong miền D, (x , y )0 0 D Nếu khi yy0 cố định, hàm một biến số f(x, y ) có đạo hàm tại 0 xx0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng (cấp một) của hàm f(x, y) theo biến x (biến thứ nhất) tại (x , y ) và kí hiệu 0 0

Quy tắc Khi tính đạo hàm riêng theo biến nào đó, ta chỉ việc coi các biến khác không

đổi, rồi lấy đạo hàm theo biến quan tâm

b.Vi phân Nếu hàm số zf (x, y) có các đạo hàm riêng f (x, y) và f (x, y)x y liên tục trong miền D thì vi phân của nó xác định theo công thức

Trang 38

zf (u(x, y), v(x, y)) x u x v x

    (dù rằng u, v có là biến độc lập hay không)

* Quy tắc vi phân với các phép toán

Cho u, v là các hàm nhiều biến khả vi, khi đó:

zf (u(x, y))dzf (u(x, y)) du(x, y)

e Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một - nếu tồn tại

- được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai:

xy 0 0 yx 0 0

f (x , y )f (x , y ) (Không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm)

Mở rộng sang trường hợp cấp hơn 2, số biến hơn 2

* Vi phân hàm ẩn Nhiều khi sẽ rất hiệu quả nếu ta vi phân 2 vế phương trình đã cho,

dùng quy tắc vi phân với các phép toán hay tính bất biến dạng của vi phân bậc nhất

g Cực trị địa phương Giả sử D  2, M0 x , y0 0D, f : D 

Ta nói f có cực đại (địa phương) tại M nếu có một lân cận đủ nhỏ G của 0 M sao cho 0

x, y D G, f x, y  f x , y 0 0

Trang 39

39

Ta gọi x , y0 0 là điểm cực đại (địa phương) của hàm f, f(f (x , y ) là giá trị cực đại 0 0Chúng ta hãy tự hiểu ý nghĩa của cực tiểu địa phương

Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là các điểm cực trị

Ta nói f đạt giá trị lớn nhất tại x , y0 0 nếu

   0 0

f x, y  f x , y ,x, yD

Nếu xảy ra bất đẳng thức ngược lại, ta nói f đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0)

* Điều kiện cần của cực trị Cho D là một tập mở của  , 2 x , y0 0D Giả sử

f : D   có cực trị địa phương tạix , y0 0 và tại đó các đạo hàm riêng

* Hệ quả Chỉ việc tìm các điểm cực trị địa phương tại các điểm tới hạn

* Điều kiện đủ của cực trị. Cho D là một tập mở trong  Giả sử 2 f : D   có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của x , y0 0U là điểm dừng:  0 0  0 0

Nếu  0; A 0 thì f đạt cực tiểu tại M x , y 0 0;

Nếu  0; A 0 thì f đạt cực đại tại M x , y 0 0;

Nếu  0 thì f không đạt cực trị tại M x , y 0 0 (Điểm yên ngựa)

Nếu  = 0 thì chưa có kết luận

§3.2 BÀI TẬP

VD 3.1 Tính các đạo hàm riêng cấp một

Trang 40

2 2 2 y/x

x y



 Tính  u uxx uyy

Trả lời câu hỏi "Giá như ", ta tìm được điểm (x , y ) 0 0