Các bài giảng về tổ hợp

Hỏi Kiên có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để tặng sinh nhật một người bạn.. Vì Kiên có 5 cuốn sách Văn học khác nhau nên số cách thực hiện phương án này là 5 cách  Phương án 2: Chọn

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

TỔ HỢP

Mục lục

Chủ đề 1 Hai quy tắc đếm cơ bản 1

Chủ đề 2 Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp 7

§1 Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị 8

§2 Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm 14

Chủ đề 3 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn 23

§1 Chứng minh đẳng thức 24

§2 Hệ số của một lũy thừa trong khai triển 29

Chủ đề 1 Hai quy tắc đếm cơ bản

2

Ví dụ 1 Bạn Kiên có 5 cuốn sách Văn học khác nhau và 6 cuốn sách Lịch sử khác nhau Hỏi Kiên có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để tặng sinh nhật một người bạn

Giải Để chọn một cuốn sách, Kiên có hai phương án:

 Phương án 1: Chọn sách Văn học Vì Kiên có 5 cuốn sách Văn học khác nhau nên số cách thực hiện phương án này là 5 (cách)

 Phương án 2: Chọn sách Lịch Sử Vì Kiên có 6 cuốn sách Lịch sử khác nhau nên số cách thực hiện phương án này là 6 (cách)

Theo quy tắc cộng, số cách chọn sách của Kiên là: 5 6 11 (cách)

Ví dụ 2 Từ tỉnh A đến tỉnh B có 3 đường đi, từ tỉnh B đến tỉnh C có 4 đường đi Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C biết rằng muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B

Giải Để đi từ tỉnh A đến tỉnh C ta phải thực hiện hai bước

 Bước 1: Đi từ tỉnh A đến tỉnh B Vì có 3 đường đi từ A đến B nên số cách thực hiện bước này là 3 (cách)

 Bước 1: Đi từ tỉnh B đến tỉnh C Vì có 4 đường đi từ B đến C nên số cách thực hiện bước này là 4 (cách)

Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến C là 3 4 12  (cách)

Ví dụ 3 Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến

9

Giải Giả sử số cần lập là A a a 1 2 Để lập số a5 A, ta phải lần lượt chọn a1, a2, , a5 sao cho a 1 0 và a1, a2, , a5 đôi một khác nhau

 Vì a 1 0 nên có 9 cách chọn a1

 Vì a2 có thể bằng 0, tuy nhiên a2 a1 nên có 9 cách chọn a2

 Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có số cách chọn a3, a4, a5 lần lượt là: 8, 7, 6 cách Vậy theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 9.9.8.7.6 27216 (cách)

Ví dụ 4 Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 từ các chữ số từ 0 đến 9

Giải Giả sử số cần lập là A a a 1 2 Để lập số a5 A ta có hai phương án như sau với chú ý rằng a5 phải bằng 0 hoặc 5:

 Phương án 1: Nếu chọn a 1 5 thì a 5 0 Số cách chọn a2, a3, a4 lần lượt là: 8, 7, 6

cách Theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.7.6 336 (cách)

 Phương án 2: Nếu Chọn a 1 5 thì có 8 cách chọn a1, 2 cách chọn a5 (a5 có thể bằng

0 hoặc 5) Số cách chọn a2, a3, a4 lần lượt là: 8, 7, 6 cách Theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.2.8.7.6 5376 cách

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lập số A là 336 5376 5712  cách

Nhận xét. Việc lập số A trong Ví dụ 4 được chia thành hai phương án vì việc a1 có bằng 5 hay khác 5 có ảnh hưởng đến số cách chọn a5

Ví dụ 5 Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến

9 biết rằng số này có đúng hai chữ số 1 và các chữ số còn lại đôi một khác nhau

Giải Giả sử số cần lập là A a a 1 2 a5 Để lập số A ta có hai phương án như sau (về cách chọn

1

a ):

 Phương án 1: a 1 1

 Chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số 1 có 4 cách

 Lần lượt chọn chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là 9, 8, 7 cách

Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 1.4.9.8.7 2016 cách

 Lần lượt chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là 8, 7 cách

Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 8.6.8.7 2688 cách

Vậy số cách lập số A là 2016 2688 4704  cách

Ví dụ 6 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6

chữ số đôi một khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Giải Giả sử số cần lập là A a a 1 2 a5 Để lập số A ta có hai phương án như sau:

 Phương án 1: xếp 2 và 3 vào hai vị trí đầu tiên có n 1 2 cách (a 1 2, a 2 3 hoặc ngược lại) Số cách chọn chữ số cho các vị trí a3, a4, a5 lần lượt là 4, 3, 2 cách Do

đó, số cách thực hiện phương án này là 4 3 2  24 (cách)

 Phương án 2: xếp 2 và 3 vào hai vị trí khác vị trí a1 Có thể xếp 2 và 3 vào các vị trí:

2

a và a3, a3 và a4, a4 và a5, suy ra số cách xếp 2 và 3 theo phương án này là 2.3 6

cách Số cách chọn a1 là m 2 3 cách Chọn chữ số cho 2 vị trí còn lại có số cách lần lượt là 3, 2 Vậy số các thực hiện phương án này là 6 3 3 2   108 (cách)

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 24 108 132 

Ví dụ 7 Có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5

và 4 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác mầu vừa khác số

Giải Để chọn được 3 quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:

 Bước 1: Chọn quả cầu vàng có n 1 4 cách

4

 Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu

vàng đã chọn ở bước 1 nên số cách chọn quả cầu đỏ là n 2 4

 Bước 3: Chọn quả cầu xanh: vì không được chọn quả cầu xanh có số trùng với số của các

quả cầu đã chọn ở bước 1 và bước nên số cách chọn quả cầu đỏ là n 3 4

Vậy số cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác mầu vừa khác số là: n n n 1 .2 3 64

C BÀI TẬP

Bài 1 Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40 Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có

4 màu khác nhau Hỏi

a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?

b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?

ĐS: a) 9; b) 20

Bài 2 Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40 Áo cỡ 39 có 4 màu là trắng, đỏ, xanh, vàng; áo cỡ 40 có 3 màu là trắng, đỏ, tím Hỏi

a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?

b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?

c) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu?

ĐS: a) 7; b) 12; c) 10

Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho 3 chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ

số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau

Bài 6 Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 nếu

a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau

b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau

c) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau

Bài 8 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng 2000;3000 có thể tạo nên từ các chữ số  1, 2,

3, 4, 5, 6 nếu

a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau

b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau

ĐS: a) 125; b) 60

Bài 9 Khi gieo đồng thời ba con xúc xắc khác nhau có bao nhiêu khả năng mà tổng số chấm

xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc lớn hơn 9

ĐS: 6

Bài 10 Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu có 4 toa Hỏi

a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của 4 hành khách

b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên

c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai lên

ĐS: a) 256; b) 24; c) 36

Chủ đề 2 Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp

1 Hoán vị

 Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự

được gọi là một hoán vị của n phần tử của A

 Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử là P n n! 1.2.3 . n

Với quy ước 0! 1 , ta có thể định nghĩa P  0 1

2 Chỉnh hợp

 Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1) và số nguyên k với 1k n Mỗi cách lấy ra k

phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập k của

 Cho tập hợp A có n phần tử ( n 1) và số nguyên k với 1kn Mỗi cách lấy ra k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A

n C

Ví dụ 2 Giải các phương trình, bất phương trình và hệ sau:

a) [TN2007] C n4C n5 3C n61

2 2

52

6(1)55(2)2

y x y x y x y x

C C C C

Do đó VT(1)10n2 9n2 6 n2   (1) nhận mọi 6 0 n 2 là nghiệm  bất phương trình

đã cho nhận mọi n 2 là nghiệm

c) Điều kiện: x , y nguyên, 1 y  x 1



Thay (5) vào (4) ta được

1 1

k n k n

Giải Mỗi một cách chọn k phần tử từ tập A cho ta một tập con gồm gồm k phần tử của A 

số tập con gồm k phần tử của A là C n k Số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A nghĩa là

Chú ý rằng dấu “ ” không xảy ra

Thay từng giá trị của k vào T ta được

   

14

§2 Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm

Sau đây ta sẽ áp dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm (tất nhiên vẫn sử dụng các quy tắc đếm) Nhờ đó, việc đếm được thực hiện đơn giản và chính xác hơn

A CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Bạn Ngọc có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn

và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu

các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

Tóm lại số các xếp thỏa mãn yêu cầu là 6 34560 207360 (cách)

Ví dụ 2 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách

xếp trong mỗi trường hợp sau

a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau

b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

Giải

a)

 Bước 1 Trước tiên ta xác định trong 12 vị trí, vị trí nào của học sinh trường A, vị trí nào của học sinh trường B Rõ ràng để đảm bảo bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau ta có các xếp như sau

 Bước 2 Ứng với mỗi cách đã xác định ở bước 1, ta xếp 12 học sinh vào chỗ

 Xếp 6 học sinh trường A vào 6 chỗ: có 6! cách

 Xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ còn lại: có 6! cách

Theo quy tắc nhân thì số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 6!6! 1036800  (cách)

Ví dụ 3 Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng ngang sao cho không

có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau?

Giải

 Bước 1 Xếp 5 bạn nam thành hàng ngang Ta thấy có 5! cách làm như vậy

 Bước 2 Xếp 4 bạn nữ Ta thấy để việc xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phải xếp 4 bạn vào 6 vị trí như hình vẽ

(1) Nam (2) Nam (3) Nam (4) Nam (5) Nam (6) Như vậy, ứng với mỗi cách xếp 5 bạn nam có 4

6

A cách xếp 4 bạn nữ

Tóm lại, số cách xếp là 5!A 64 43200 (cách)

Ví dụ 4 [ĐHB02] Cho đa giác đều A A1 2 A ( n n 2, n nguyên) Biết số tam giác có các đỉnh là

3 trong 2n điểm A , 1 A , , 2 A gấp n 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm

1

A , A , , 2 A , tìm n n

Giải

 Mỗi cách chọn ra 3 điểm trong 2n điểm rồi nối chúng lại cho ta một hình tam giác Do

đó, số tam giác có đỉnh là 3 trong số 2n điểm là C 2n3

 Giả sử đa giác đều A A1 2 A nội tiếp đường tròn n  O , ABCD là hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong số 2n đỉnh của đa giác Ta thấy ABCBCD90

 AC và BD đi qua  O Từ đây, ta suy ra cách tạo một hình chữ nhật có 4 đỉnh là bốn đỉnh của tứ giác:

Chọn ra 2 đường chéo đi qua O từ n đường chéo đi qua O của đa giác Bước này có

Ví dụ 5 [ĐHB04] Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,

10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó, có thể lập được bao nhiêu đề kiểm

16

tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

Giải Thầy giáo có 3 phương án sau đây để lập một đề thi thỏa mãn yêu cầu

 Phương án 1 Đề thi có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 2

Ta phân công như sau

Bước 1 Chọn thanh niên tình nguyện cho tỉnh thứ nhất Theo quy tắc nhân thì bước này có số

Các thanh niên còn lại phân công đi giúp đỡ tỉnh thứ ba

Vậy theo quy tắc nhân thì số cách phân công là C C C C 124 31 84 12 207900

Ví dụ 7 [ĐHD06] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5

học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như

vậy?

Giải Nếu bỏ qua điều kiện 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp thì số cách chọn là 4

12

Bây giờ ta đếm số cách chọn mà 4 học sinh đó bao gồm học sinh của cả 3 lớp Để làm như vậy

ta có sau phương án sau

 Phương án 1 Chọn 2 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là 2 1 1

2 5 4 4

 Phương án 2 Chọn 1 học sinh lớp T, 2 học sinh lớp L, 1 học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là n3 C C C51 42 14

 Phương án 3 Chọn 1 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, 2 học sinh lớp H Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện phương án này là n3 C C C51 14 42

Vậy, số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

4 2 1 1 1 2 1 1 1 2

12 5 4 4 5 4 4 5 4 4 225

Ví dụ 8 Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4

cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 em học sinh A, B, C, D, E, F , mỗi em một cuốn Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau

khi tặng, mỗi loại sách : văn học, âm nhạc, hội hoạ, thầy vẫn còn ít nhất một cuốn

Giải Ta thấy tổng hai loại sách bất kỳ đều lớn hơn 6 nên không thể chọn sao cho cùng hết 2

 Số cách chọn sao cho không còn sách nhạc là A A 64 82 20160

 Số cách chọn sao cho không còn sách hoạ là A A 63 93 60408

Vậy, số cách chọn cần tìm là 665280 – 5040 20160 60480   579600

Ví dụ 9 Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1

Giải Giả sử Aa a a a a a1 2 3 4 5 6 là số cần lập Để lập số A , ta lần lượt làm như sau

 Bước 1 Chọn vị trí cho chữ số 0 Vì a  nên bước này có số cách thực hiện là 1 0 5

Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 4

3 Tính tổng các số có 5 chữ số đôi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia hết cho 5 được lập

6 Từ các chữ số 0, 1 2, 4, 5, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số chia hết cho 2 Biết chữ số 2 xuất hiện hai lần, còn các chữ số còn lại đôi một khác nhau

7 Từ các chữ số 0, 1 2, 4, 5, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong các chữ số có chữ số 2 và chữ số 4

8 Từ các chữ số 0, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số biết rằng trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau nó

9 Từ các chữ số 0, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số thỏa mãn một trong hai điều kiện: trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước lớn hơn chữ

số đứng sau nó hoặc trong hai chữ số liên tiếp bất kỳ thì chữ số đứng trước nhỏ hơn chữ số đứng sau nó

10 Một trường Phổ thông trung học có 280 nam sinh và 325 nữ sinh

a) Có bao nhiêu cách chọn ra 11 học sinh

b) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ

c) Giả sử trong các học sinh nam có một bạn bạn tên là Long và trong các nữ sinh có một bạn tên là Ngọc Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nhưng không đồng thời có hai bạn Long và Ngọc

11 Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong số đó có nam sinh Hưng và nữ sinh Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người từ những học sinh ưu tú với yêu cầu có ít nhất hai nữ sinh, ngoài ra ban cán sự không đồng thời có cả Hưng và Hoa Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán sự này

12 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn công tác 3 người từ các nhà khoa học nói trên sao cho trong đoàn có cả nam và nữ, có

cả nhà toán học và nhà vật lý

13 Một trường trung học có 8 thầy dạy toán, 5 thầy dạy lý và 3 thầy dậy hóa học Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 thầy thuộc đủ cả 3 bộ môn đó đi đại hội