Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-3)

Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part3-3)

bằng đồ thị, ta hay dat Tit + đa+ (getpist yatta +2 =y — mx =0 gira Phuong trinh (1) trở thành y2 ~ Đmxy + m2x2 + axy — z+(gaz-—p)x+jtTa=0 Giải hai phương trÌnh bậc hai ta tập hợp nghiệm (1) : \ — am42 + bz2 + cx + đ = Để khử số hạng có xy phương trình phải có : - 2m +a = tiem = a/2 Vay néu dat (3^+p)°~44~ x? =y ~ mx xt =y~ (@/2)x vA Xv.=~3 + (3® —P) (1) trở thành + Thay x? bdi y — (a/2) x biến đổi (2) (ga-p)?+4q~ trở thành x? + y2 + (a/2 + a3/8 — ab/2 + c)x + xtToz2—1x2+x+6=0, +(b—a24—1)y+d0 Tựa vào công thức (3) ta xác định duge A : 4(h+ `) (qe 6) - (he 1)7=0 Vậy phương trình (1) tương đương với hệ phương trình : tức nghiệm ly = x4 + (a/2)x (3) [+ @-a%4-ly+a=0 (4) x2 + y? + (af2 + a3/8 — ab/2 + cx + h3 + Th? — 25h ~175=0 tim : y? + (42/42 — (a29)x2 + bx2 + cx + đ = (9) Vi du Gidi phuong trinh Ta vA m = a/2 tite thực A cia Dựa vào (3) với h = ¢ = 5, a = -1 = -7,¢ = 1, d = thi tinh p=1/2,q= - 1/2 Đo hồnh độ giao điểm parabôn, đồ thị (8) đường tròn, đồ thị (4), nghiệm phương trình (1) cho Phương trỉnh theo (4) : nghiệm phương trình (1) lại phương trình » = 5ð, cho sé diễn đạt (2~gz+5)”~(gz~g) =0 Từ ta giải phương trình tích: x (2~š*+š—g**š) x =m? cho : sử dụng đồ thị trình Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn +! + ax3 + bx2 + œx + d = 206 Bạn vận dụng phương pháp để giải phương trỉnh bậc bốn sau 1) x+ 4x) + âx2 + 22— 1= 0, {~>l; -2; 3; 1} cách y? | (ab/2 — a3/8 — e) + + mb - a/Ajy/(ab/2 — a3/3 — e) +d =0 tập hợp nghiệm phương trình bậc bốn y = (n2 + (a/2m) x x §4 Ta lại cịn giải phương hồnh độ giao điểm hai parabôn (2~sz+5+sz- 3) Nếu ta đặt my = z2 + (a/2)x (m #0) @) 2) x'+ 232 + Bx2 + 4x — 19 =0, 3) 6x! + ñx3 — 882 + Bx + = 0, 4) z! + ly? — 12y2 + be +1 =0, B) x' + 2x2 — 2x2 + 6x — 1B = : VE MOT PHUONG TRINH HAM PHAN ĐỨC CHÍNH Tịa soạn báo Tốn học tuổi trẻ có nhận số lời giải toán số ki thi Toán Lúc-xem-bua : Bài toán Hay tim mot ham số f(x) xác dinh uới x hữu ti, thỏa mãn cóc điều biện Œ ƒ) Các lời giải gởi đến kể đáp ứng u cầu địi hỏi, vÌ tốn nói : Do chẳng cần dài dơng đưa ham s6 ffx) = x + 1, xác định với số hữu tỉ Nhưng khơng phải thâm ý toán ! Thực chất tốn địi hỏi tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện nêu Và thực tế ffx) = z + (x hữu tỈ) nghiệm toán Rất tiếc lời giải gửi đến, khơng có bạn chứng minh tính ấy, Đồng chi Pham Quang Giém làm việc tịa soạn có hỏi tơi : tốn nói đến hàm ƒ(+) xác định với x hữu tỈ, liệu có md rộng cho số thực x ? Bài toán thuộc loại "phương trình hàm”, tức ẩn hàm số phải tìm tất ham số nghiệm tốn Phép giải phương trình thơng thường nói chung việc không đơn giản, lẽ di nhiên phép giải phương trình hàm lại phức tạp Trong tốn phương trình hàm, ham số phải tÌm buộc phải thỏa mãn Chay nhiều) hệ thức đại số Và nói chung, khơng buộc thêm vài điều kiện phụ, thỉ có vơ số hàm số có đạng khác nhau, nghiệm tốn Chẳng hạn : Bài tốn Tìm tất hàm ƒfx), xác định 0uới số thục x, uà thỏa mãn diều kiện vô số hàm số nghiệm ql) Chang han, véi A va C 1a hai hAng số tùy fa) = với r, s hữu tỉ, x không biểu diễn dạng ; nghiệm toứn Để toán có nghiệm (1), cẩn đặt thêm điểu kiện phụ Thơng thường, đa số phương trình hàm, điều kiện : f(x) Hiên tục Khái niệm liên tục quan trong toán học Nhưng khái niệm tỉnh vi, phải dựa quan niệm chặt chẽ số thực Vì vậy, trình độ phổ thơng, có để cập đến khái niệm liên tục cách sơ lược Đến bạn hiểu toán 1, nới đến hàm ƒ(x) xác định với z hữu tỈ Dù câu hôi đồng chí Giám thơi thúc tơi : mở rộng tốn cho số thực, khơng phải sử dụng khái niệm Hên tục Nói cách khác, hệ thức đại số toán ngấm bao gồm khái niệm liên tục ? Nghỉ sâu hơn, tơi thấy Đồng thời giảm nhẹ giả thiết, đến : Bài toán Giả sử fix) la mot ham số xóc định oói số thục x, uà thỏa mán điều biện fay) = f4)f0) ¬ f& +y) +1 (2) uới x uà y Thế ffx) phải hai hàm sau : - f4) Hệ udi moi x va y Có số thực x = uới + ; ¬ f(x) = x + vdi moi x ƒ& +y) = f4) + f0) Đặc điểm chung chúng : với Ar + Ca x có dạng x = rÝÖ + s uới x, y hữu ti hàm = Cx ý, cố định, hàm ÑU =32,f@y) = f@ƒ0) -fœ+z)+1 hay tÌm số tùy ý, cố định Nhưng khơng thể kết luận tốn f(x) = Cx v6i x hữu tỉ, thức (2) đơn giản, hoi kho lam viéc Dat g(x) = ffx) — 1, thi toán tương đương với Bài toán 8* Gid sit g(x) la mot ham số xác định uới số thục x, uà thỏa môn diều 207 #(xy) = glx) gly) + gx) + Bly) Bie ty) vdi moi x va y Thé thi : (3) = ø@)ø(~3) + ø(%)øØ(~) — gŒ — y) = —ấ(%)g0) + øŒ) — #0) — gứ ~ y) Cộng đẳng thức với (8), suy ~ hoge g(x) đồng 0; ~ hode g(x) = x vdi moi x lời giải Ta việc tìm hàm g(x) khơng đồng 0, nghiệm toán, Phép giải chia nhiều bước 1) Trong (3), cho x = y = B(t + y) + B(x — y) = 2g(z) = g (2x) Datu B(x) + Bly) 2) Trong (3), cho y = 1, ta Tom #G@) = g@z() + g@) + ø() — gứ + Ù, Ðø Vậy gøgŒ + 1) = ø(1)[g@) + 1], = gO) = g(-1 + 1) = = g(1) [g(-1) + 1}, -1 øC—#) =ø(—~1)gŒ) + g(—1) + gŒœ) — gŒ — 1) = -1-g(e- 1) Nhân hai vế với -ø(1), thi theo (4) ~ø(1)øØ(—) = BQ) + a@ - LY) = ee) (8) =1, iii) gay) = g(x) gy) vai moi x, y ‘Tit ii) bang phép quy nap, ta duge g(nx) = ng(x) v6i moi n nguyên Do nguyên dương 8m) Vậy 3) Trong (3) cho y = -1 thi duge gay) = gtx) By) lai, ham g(x) có tính chất : ii) g(x + y) = g(x) + g0) với z, % (4) Nếu ø(1) = 0, gf +1) = véi moi x, tức gí) đồng 0, trái với giả thiết Thành thử g(4) z Trong (1), cho x = -1, thi g°(1) = Nếu ø(1) = -1, (4) trở € glx ~ y) = glx) + g(~y) = g2) — g0), thành Gia thit x số thực, øŒ + 2) = -1—g(x+ 1) = g2), Tị >PFy> «>> dac biét g(2) = g(0) = Nhưng 8) vÌ z z y thÌ do với n = ng(Lim), ƒ = gặt Lm) = mg(lim), Trong hệ thức này, cho x = -1, ~#*4) =ø#(—1) =1 208 = gíx + y) Khi từ (3), ta vay g(0) = # 0, nén g(-1) = =x - y, thi ta cd Blu) + gv) = glu tu) với u, 0, hay viết lại ø(0) = ø?(0) + 2g(0) ~ g(0), ma g(1) =x+y,u Chon B(x) = x, + & thi s,—x, 7, x, vay =X, GIAI TOAN BANG PHUONG PHAP DO THI PHAN ĐỨC CHÍNH Phương có hiệu PTTH phần tốn pháp đồ thị phương pháp lực để giải loạt tốn : có tốn cổ điển chương trình tốn khơng mẫu mực thực hành lớp PT chuyên Các bạn học lớp PTTH thông thường cần ý đến tốn cổ điển nêu tơi đến Đại ví dụ 1, 2, : chúng đặc biệt chọn toán liên quan việc biện luận tham 85, kiểu toán thường gặp dé thi tuyển sinh vào học Cao đằng Vi dy Với giá trị m phương trình sau dây có nghiệm cost + mein + 22x = 0? Giải Đặt £ = coa2x (Ô < ¿ & 1) phương trình trở thành + mt +m + 2= œ@ Như ta cẩn xác định m để phương trình (1) có Ít mt nghim / vi ô  < Kinh nghiệm giảng dạy cho hay đại đa số bạn học sinh thườ ng giải toán cách so sánh số Ú với nghiệm {Ư, thật cầu kì Co cách giải sáng sau ; Hiển nhiên ¿ = nghi ệm (1) Vi (1) tương đương với m = (2 + 9)/ + 1)=/+1+8/- 1), tốn cho trở Tim m để đường thẳng y = m cắt dồ thị cua ham y=‡+1+38/0 — 1) it điểm uới hồnh đệO0 «0< Để giải, khơng cẩn vẽ đồ thị hàm (2), (2) 1, ta việc lập bảng biến thiên sau xe v' y 1-¥3 + 0` ON - ~e 1+ý$ +0 + 0+ NU +0 Như khoảng (0, 1), hàm (2) nghịch biến, khoảng lấy 1#*TéTH gid tri y < -2 Thành tốn lÀ m « -2, thử đáp số VÍ dụ Với giá trị bất phương trình 2x + > a(Ï~# có nghiệm ? +1) Giải Đặt t= VI-z (¢ 0) thiz = 1-2, bất phương trình trở thành ~32 +8 >a (+) Ta xét ¢ » 0, tương đương với (-28 + 3)Kt + 1) > a, toán trở thành : xác định œ để hàm số y = C2 + 8Œ + 1) = ~9/ +2 + Lự + 1Ð) (3) có phần đồ thị ứng uới t > nằm đường thẳng y = q Hàm (3) có đạo hàm y'=Lữ~+1) 2?-< nơ nghịch biến khoảng (~œ ; =1) (-1 ; +o) V6i ¢ = 0, ta cóy = 3, từ suy za kết phải tÌm : a « Vi dy Tim giá trị m phương trình cho x +4? TT = mx + 1/2 có hai nghiệm Giải Ta phải xác định m đường thẳn g Ð có phương trình # = mx + 1/2, cắt đổ thị hàm số y=x+Ý42?—T1 (4) hai điểm Đường thẳng D có hệ số góc m di qua điểm (0 ; 1/2) DS thị hàm (4) có tiệm cận xiên bên phải y = đz tiệm can xiên bên trái y = -z Hàm (4) xác định với |z| > 1/2 có đạo hàm y= 1+ 4eNGZoT Vay hién nhién y’ > xz > 1/2 Với x < -U2, đểý |2x| > jJ4x2— 1, ÿ” < từ suy bang biến thiên dưa vào đó, ta vẽ đồ thị tức + =y=z=kl(a+b+c) Khi Nghiên cứu đổ thị tiệm cận xiên nó, ta thấy u cầu tốn thỏa mãn đường thẳng nầm miền chấm (hình vẽ), giới hạn đường thẳngy = 1/2 y = 2x + 1/2, Siin = OC = VR ¥ (a +B + cyhZ Vi dy 100 66 thuc a,, a) igg 06 tong Người ta viết số theo thứ tự đường trịn định hướng (hình vẽ) 4; giá trị phải tìm m 0« = = > = IA, + IB, = —-(IC, + ID,) blnh phuong Nếu ABCD : Cho tứ diện ABCD zt cosa, + tgcosa, (5) để xẩy đẳng thức Nếu đẳng thức xẩy (5) : — = 2+ > > = ABCD tốn kÍ hiệu tốn : x, y, 2, ý không đồng thời không Chứng minh : TRỊ LỚN NHẤT TRONG VÀ GIÁ CHỨNG TRỊ MINH LÊ ĐÌNH THỊNH Trong kì thi vào Đại học thường gặp toán mà dùng giá trị lớn giá trị bé ham số y (gọi tất y„ ) cách giải toán trở nên ao giản on nhiều,“ Thí dụ (Dé thi Dai hoe A - B ~ D/1985) Tim m dé cho ham số y = 2mx— 2eosx— maincoa+ 1/4 x cos22x luôn đồng biến Giải Hàm y` = 2m = ứn số xác định với x + 2sin2x + sin2v)(2 — mecos2x — 1/2sindx = — cos2x) 215 Dé ham số luôn đồng biến, cần di lay’ > 0V zx VÌ — cos2x > 0V x, nên Thi dy (Dé thi Đại học A/1978) Hãy (1) = 15 Vaỳ < g„v = lỗ V z Cịny V z đủ Muốn „>1, VẬY đmịn = m tìm tất cosS2x + mcosc + Giải, ~ giá trị 0V x m Gọi vế trái lày đặt£ = & ¿ « £: — -l 1, ta & £ « hàm 1, y để 0eom 2) -m/4 = 2# + mứ + 2, > thi Ymin = Ơ 1) ô 4, mau > 1,m phải hàm đồng biến, đạt giá trị bé thudn với m = > < ~4 thiy,,, = y(l) = nghiệm Thí dụ Chứng tam giác ta cớ = y(-m/4) = _4 a2 + b2 ~ 2abcos(C — 60°) > « minh + cost > -7 V x -1 ??? Giá ThÍ dụ Với m hàm số đồng biến z > Giải Ta có y = x? + m Dé ham số đồng bién khix > 5, cfin va dé lay > V x >5 VẬY Youn > xz > ð đủ Vì y parapơn quay bể lm phía trên, có đỉnh điểm xz = 0, nên y đồng biến Ynin = ¥ 5) 25 +m > m x > » -25 Thi dy Giai phuong trinh (2 + sin)(6 — sine) = 16 10??? Giải Gọi vế trái g đặt £ = sin x, lta dugeg = (2 + (6 - t) = đạc Dấu đẳng thức đạt ø = b cox(C = 60°) = 1, C - 60°= 0, C = 60° Vậy dấu đẳng thức đạt tam giác tam giác ThÍ dụ y = 183 + mix + 1) a? + 6?— 2ab = (a — by? > O dung od dinh £ = -1⁄2, nên y„ = ÿ(— 1/2) = -6 + Scosdx > = -8 V+, va 4ons8x+ 8cos4x+ coax > ~-6—l = ~7 Vx bé tức Đây parabôn quay bề lõm phía trên, Vậy y = 4cos8x trị cos( — 60) = ??? tel 216 ¢2 » 4S(5 Giải Theo công thức S = công thức hàm số côsin : 16 => Giải Xét y = Aosfx + Bcoa4x Dat t = cont, Muén trong a, 6, c cạnh, diện tích tam giác Khi xảy dấu đẳng thức < -4 3) -1 & -mj/A4 « 1,-4 & m « _ 4cosfr e2 = a? + 62 — ĐabcosC > -4, mâu thuẫn với m Thi dy minh a? + 62 + 4+m>0 om = Vậy 16.10!YL > 16 Bởi phương trình số xác định với đủ Ta có: 1) -m/4 < -1,m Binax = 16 |y| cos x, -l1 0 Vứ: -lz hay chi cfin tim m 46 g(x) = m + sin3x » -l = ~Ở bề lõm phía dưới, có đỉnh điểm ¿ = 2, nằm đoạn ~1 < ¿ < hàm ø đồng biến, ABC tam giác có góc bé 120° Xét tất hình chớp tam giác SABC chung đáy ABC có thể tích Hãy xác định hình chớp cớ tổng cạnh bé Giải VÌ hình chớp chung đáy, nên cần xác định hình chóp có tổng cạnh %C đủ chân SH, SA + SB + bé Gọi H đường cao ta cần tìm hình chớp có tổng hình chiếu HA + HB + HC bé đủ VÌ góc tam giác ABC bé 120, nên tốn điểm Ĩ tam giác, nhìn cạnh góc 120° (Bạn đọc tự chứng minh) Hình chóp cần tÌm hình chớp cao H trùng với điểm O có chân đường Thật vậy, qua 4, B, C kẻ đường thẳng tương ứng + ÓA, OB, ÓC tạo thành AA'B'C', tam giác A'B”C' tam giác Nếu HA h H khác H = O thi + HB + HC = OA + OB + ÓC = h; đường cao tam giác A'B'C' Nếu Ĩ HA + HB + HC > HP + HQ + HR = h (vì tổng khoảng cách từ điểm tam giác đến cạnh khơng đổi, chiều cao tam giác, cịn khoảng cách từ điểm tam giác đến cạnh lớn LABYRINTH THANH ~ MOT DE VAN DE chiều cao tam giác Bạn đọc tự chứng minh phương pháp diện tích), Cuối cùng, mời bạn tự giải số tập sau : Chứng minh hàm số : + = ?xz + 1/2.sin 8x + 2sin 4x + sin x ln đồng biến, Hãy tìm tất giá trị m để 1/3 sin 3x + msin 2x + sinx khi0 1250 - 2/2 Qua vài ví dụ bạn Để ý diện < x + 2p = > 1248 (dpem) hình dung phương pháp muốn giới thiệu với bạn \ mời bạn thử sức với tập sau, liệu chúng mở rộng phương pháp t¡ cho khơng ? 20 tốn khơng gian đt Trong hỉnh chữ nhật kích x 2ð có 120 hỉnh vng đơn vi Cht mỉnh tổn hình trịn bán kính nằm hình chữ nhật mà khơng cắt h: vuông Chứng minh đa giác lồi d tích S chu vi p chứa h Hình diện tích lân cận bán kính ÁArA2¿A; bé +12 Bằng quy + AA, nạp theo + AzA¿) số đoạn thẳng đường gấp khúc ta suy diện tích lân cận bán kính đường gấp khúc bé a + 2p (với p độ dài đường gấp khúc) Theo già thiết lân cận phủ kín hình vng cạnh 50, diện tích lân cận phải lớn diện tích hình vng (theo nguyên lí 1) MIỀN GIÁ tron bán kính S/p Trong hình chữ nhật kích thị 15 x 20 có 57 hình chit nhat x cạnh song song với cạnh hình chữ n lớn Chứng tỏ tổn hình vu¿ đơn vị nằm hình chữ nhật lớn cá: hai hình chữ nhật Cho đa giác lồi M Gọi s số hình trịn bán kính phủ kín  số nhiều hình trịn đơi có tâm thuộc M bán kính Roman cos rang s < ¢ TRỊ CUA HAM SỐ LE THONG NHAT phổ thông bạn học phương pháp cho hàm sốy = ƒữx) : cho đồ thị, cho bảng cho biểu thức đại số Miền xác định hàm số tất giá trị đối số z mà tương ứng xác định giá trị hàm số ƒf+) Việc tÌm miền xác định hàm số, hàm số cho biểu thức đại số bạn làm quen nhiều Thí dụ ki thi dai hoc thang năm 1970 ; "Tìm miền xác định hàm y= 222 LU-x?† 4+5 số : + igự?— 8x + 2) y= lo 2x +1 g TT — 3" Thực chất loại bạn tÌm giá trị đối số để tất biểu thức đại số cho có nghĩa (xác địt Trong trường hợp hàm số cho b thức đại số thÌ vấn để mà bạn cẩn quan tâm miền giá trị hàm số Miền giá trị hàm số tức giá trị nhận hàm +y để có giá trị đối số z lập tương : với Thí dụ hàm số y = x2 miền ...VE MOT PHUONG TRINH HAM PHAN ĐỨC CHÍNH Tịa soạn báo Tốn học tuổi trẻ có nhận số lời giải toán số ki thi Toán Lúc-xem-bua : Bài toán Hay tim mot ham số f(x) xác dinh uới x hữu ti,... ta thường gặp toán mê đạo sách toán, dạng toán học giải trÍ báo chí Cơng trình vấn dé mé dao nam (1826 1873 - la giáo sư Christian 1896, giáo sư hình học Wicner xạ ảnh trường đại học kỉ thuật... minh : TRỊ LỚN NHẤT TRONG VÀ GIÁ CHỨNG TRỊ MINH LÊ ĐÌNH THỊNH Trong kì thi vào Đại học thường gặp toán mà dùng giá trị lớn giá trị bé ham số y (gọi tất y„ ) cách giải toán trở nên ao giản on nhiều,“