ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai học ta thường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=fx có đồ thị C..
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG
TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT
Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai học ta thường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) Tìm các điểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Tôi xin đơn cử ví dụ sau đây:
Ví dụ: “ Cho đường cong (C):
2 1
x y x
Tìm các điểm trên trục Ox để từ đó
vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C)
Lời giải của đa số các sách tham khảo:
Gọi M(x0,0) Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k, phương trình của (d) là: y=k(x-x0)
(d) tiếp xúc với (C) <=>hệ phương trình sau đây có
nghiệm:
2
0
2
1
1
x
k x x x
x
k x
(1)
Trang 2Thay (2) vào (1) được phương trình: 1 2 1 0
x x
<=> x0x2 + 2x – x0=0 (x0) (3)
Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 :
<=> '(3)
0
0
(0) 0
x
g
trong đó g(x)= x0x2 + 2x – x0
<=> 02 0
0
0
0
x
x
Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0
0
( ,0) 0
M x x
Rõ ràng lời giải trên thiếu chặt chẽ, bởi vì nếu phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và k(x1)=k(x2) thì ta chỉ tìm được 1 tiếp tuyến vẽ từ M đến đường cong (C) chứ không phải 2 tiếp tuyến phân biệt Do đó, để tìm lời giải chặt chẽ cho ví dụ trên và các bài toán tương tự là 1 công việc cấp bách và cần thiết
Trong phạm vi của bài viết này, tôi xin bổ sung để bài giải cho loại toán này được chính xác, mong nhận được sự đóng góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp
Trang 3B.NỘI DUNG, BIỆN PHÁP:
I Quá trình phát triển kinh nghiệm:
Trước đây khi giảng dạy đến dạng bài tập này, tơi cũng thực hiện tương
tự như lời giải trong sách tham khảo
Ưu điểm của cách giải trên là gọn gàng, nếu học sinh nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) đi qua 1 điểm cho trước thì cĩ thể làm được dạng tốn này
Nhược điểm lớn nhất của cách giải trên là thiếu chính xác, từ đĩ bản thân cảm thấy day dứt khi mình truyền đạt cho học sinh cách giải này Đặc biệt, trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại Học An Giang năm học 2001 cĩ bài tương tự và tơi cĩ tham gia chấm Những học sinh giải thiếu chính xác chỗ này
bị trừ điểm rất nặng
II Biện pháp mới thực hiện:
Sau khi dạy xong bày “ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C)
đi qua 1 điểm cho trước” tơi làm theo các bước sau đây:
1 Bước 1: Cho học sinh các bài tập sau đây về nhà chuẩn bị:
Bài 1: Cho đường cong (C) :
2 4 1
x x y
x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
đi qua A(1, -4)
Trang 4Bài 2: Cho đường cong (C): y=x4-2x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(0, -1)
Bài 3: Cho đường cong (C): y=x3-9x2+ 17x +3 Qua A(-2,6) có thể vẽ được mấy tiếp tuyến với (C)
2 Bước 2: Giáo viên và học sinh thực hiện tại lớp:
- Nếu cách viết phương
trình tiếp tuyến với
đường cong (C): y= f(x)
đi qua điểm M0(x0,y0)
cho trước
- Viết phương trình tiếp
tuyến với (C): y=x4-2x2
đi qua A(0, -1)
- Gọi (d) là đường thẳng đi qua M0 và có hệ số góc k.(d): y= k(x-x0) +y0
(d) tiếp xúc với (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm:
'( )
f x k
(1) (2)
Thay (2) vào (1) được phương trình:
f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 (3)
Giải (3) tìm x, thay x tìm được vào (2) tìm k, từ
đó suy ra phương trình của (d)
- Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(0,-1) và
có hệ số góc k
Trang 5- Bài giải này, giáo viên
cho học sinh nhận xét và
sau đó không xoá bảng,
vì còn để gợi ý cho bài
tập tiếp theo
- Thầy nói: Trên nền tảng của
bài toán này, các em hãy, suy
nghĩ và giải bài toán sau đây:
“Cho đường cong (C):
2
1
x
y
x
Hãy tìm các điểm
M thuộc trục hoành để từ đó vẽ
được 2 tiếp tuyến phân biệt đến
đường cong (C).”
- Để giúp học sinh giải bài toán
này, thầy có thể dựa trên hệ
thống câu hỏi sau đây:
+ Điểm M Ox có toạ độ như
thế nào?
+ Khi thay (2) vào (1) thì ta
được phương trình với ẩn là gì?
+ Để vẽ được hai tiếp tuyến
(d): y=kx-1
(d) tiếp xúc (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm:
3
(1) (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
x4-2x2=(4x3-4x)x-1
<=> 3x4-2x2-1=0
<=> x2=1 <=> 1
1
x x
Khi x=1 ta được k=0
Khi x=-1 ta được k=0
Kết luận: Có 1 tiếp tuyến với (C) đi quan A(0,-1) là (d): y = -1
- Gọi M(x0,0) Ox, (d) là đường thẳng qua M
và có hệ số góc k
(d): y= k(x-x0)
(d) (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm:
Trang 6phân biệt đến (C) <=> phương
trình (3) phải như thế nào?
- Thầy cho các em khác nhận
xét về cách giải bài toán trên
bảng
- Nếu học sinh không phát hiện
ra thì giáo viên hướng dẫn học
sinh lại bài toán về nhà đã làm
còn để trên bảng, giáo viên nói,
phương trình 3x2-2x2-1=0 có 2
nghiệm phân biệt x=1 và x=-1
nhưng khi tìm k chỉ có 1 giá trị
duy nhất k=0, vì vậy chỉ có 1
tiếp tuyến duy nhất
- Đến đây thầy nói: “Từ M vẽ
được 2 tiếp tuyến phân biệt vơi
(C) <=> phương trình (3) phải
giải như thế nào?
2
0
2
1
1
x
k x x x
x
k x
Thế (2) vào (1) ta được:
0 2
x x
<=> x0x2 + 2x – x0=0 (x0) (3)
Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 :
<=> '(3)
0 0 (0) 0
x
g
trong đó g(x)= x0x2 + 2x
– x0
<=> 02 0
0
0
0
x
x
Kết luận: Các điểm cần tìm là:
0
0
( ,0) 0
M x x
hay M Ox và MO
Trang 7- Trò trả lời: (3) có 2 nghiệm phân biệt x1,
x2 khác 0 và k(x1)=k(x2)
0 ' (3)
0 0 (0) 0
x
g
0
0
x
0
0 0
x
0
0
x
0
0 0
x
vì x1x2
0
0
0 2 0
x x
x 0 0
Gọi M(x0,1) y=1 và (d) là đường thẳng qua M
có hệ số góc k
=> (d): y= k(x-x0) +1 (1)
(d) tiếp xúc (C) hệ phương trình có nghiệm:
Trang 8-Thầy bổ sung cho bài giải đầy
đủ
- Thầy nêu ví dụ 2: Tìm những
điểm trên đường thẳng y=1 để
từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân
biệt đến đường cong (C):
y x x cho học
sinh tự giải và gọi 1 học sinh
lên bảng
0 2
Thay (2) vào (1) ta được:
0
2x3 -3(x0+1)x2 + 6x.x0 -1 =0
(x-2) [2x2+(1-3x0)x + 2] =0 (3)
0
2 2x +(1-3x )x + 2 =0
x
Từ M vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C) (3) có 2 ngiệm phân biệt x1, x2 khác 2 và
k(x1)=k(x2))=k(2)
' (3)
1
2
0 (2) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
g
k x
k x
k x k x
2 0
0
(1 3 ) 16 0
8 (1 3 )2 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
x x
k x k x
k x k x
Trang 9- Thầy hỏi: Có nhận xét gì về
hiệu x1-2 và x2-2
0
1 or 5/ 3 2
[-3 ( 2].[-3 ( 2)] 0
x
0
1 2
1 or 5/ 3 2
x
x x
0
0
1 or 5 / 3 2
2 0 2
2
x
x
0
1 or 5 / 3 2
5 3
x x
0
5
1 or
3 2
x
Kết luận: Các điểm cần tìm là:
0
( ,1)
5
1 or and 2
3
M x
Trang 10Thầy cho VD3: Tìm các điểm
trên Oy để từ đó vẽ được 3 tiếp
tuyến phân biệt đến đường con
(C):
2
y x x
- Giáo viên hỏi: Phương trình
(3) là phương trình gì và
phương pháp giải của nó?
- Giáo viên hỏi: Khi nào
phương trình (3) có 3 nghiệm?
Lúc đó phương trình các tiếp
tuyến với (C) vẽ từ M có tìm
được không?
-Gọi M(0,y0) Oy và (d) đi qua M có hệ số góc
k
=> (d) : y=kx+y0
(d) tiếp xúc (C) Hệ phương trình sau có
nghiệm:
0 3
2
(1), (2)
Thế (2) vào (1) ta được:
0
x x x x y
3x4x2 y0 2 0 (3)
Đặt: t=x2 , đk: t0
(3) trở thành: 3t2t2 y020 (4)
* Trường hợp 1:
Phương trình (4) có 1 nghiệm bằng 0
Khi đó: y0 = - 2
Lúc đó (4)
0 1 t=
3
t
Trang 11- Giáo viên hỏi: Khi nào
phương (3) có 4 nghiệm phân
biệt ?
- Giáo viên hỏi: Khi (4) có 2
nghiệm phân biệt (0<t1<t2) thì
(3) có các nghiệm là gì?
- Giáo viên hỏi: Liệu có thể
xảy ra trường hợp k(x1)= k(x2)
với x1, x2 là 2 nghiệm phân
biệt của (3) hay không ?
Và (3) có 3 nghiệm x1=0, x2= 1
3,
x3= - 1
3 Thay x1, x2, x3 lần lượt vào (2) được
k1=0, k2= 2
3
, k3= 2
3
Vậy: Từ M(0,-2) vẽ được 3 tiếp tuyến đến (C)
Trường hợp 2: Phương trình (4) có 2
nghiệm dương phân biệt (0<t1< t2)
0 0 0
S P
0
0
0
23
23 2
12
12 2
y
y y
(5)
Khi đó : (3) có 4 nghiệm phân biệt:
- t2 , - t1, t2 , t1
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của (3) và
k(x1)=k(x2)
Trang 12- Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì
về biểu thức 2(x12+x1x2+x22)
-1 ?
- Giáo viên hỏi: Có nhận xét gì
về các nghiệm: - t2, - t1,
2
t , t1
Khi đó: 4x13 -2x1=4x23 -2x2 <=>
2(x1- x2)(x12 + x1.x2 + x22) - (x1- x2) =0
<=>(x1- x2)[2(x12 + x1.x2 + x22)]= 0
<=> 2(x12 + x1.x2 + x22) – 1 = 0 (6)
Do tính đối xứng của biểu thức 2(x12 + x1.x2 +
Trang 13x22) – 1 và tính đối xứng của 4 nghiệm t2 ,
1
t
, t1 , t2 qua 0 nên xét các khả năng sau đây:
i) x1= t1 , x2= t2
Khi đó (6) <=> 2(t1+t2+ 1t2 - 1 =0
<=> 2(
3
2 3
y ) = 1 <=>
12
23
0
y (loại
do (5)) (7)
ii) x1= t1 , x2= - t1
Khi đó (6) <=> 2(t1+t2+ t1t2 - 1 =0 <=>
t1=1/2
Khi đó 2 0
2
1 4
3
0
y <=>
4
9
0
y (loại
do (5)) (8)
iii) x1= - t1 , x2= t2
Khi đó (6) <=> 2(t1+t2+ 1t2 )= 1
<=>2(
3
2 3
y ) = 1 <=>
6
1 3
2
0
y
(VN) (9)
Trang 14Từ (7) (8) (9) => nếu x1, x2 là nghiệm phân biệt của (3) thì k(x1) k(x2) Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt thì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M
Kết luận: Điểm cần tìm là: M(0,-2)
3 Chuyển biến của sự việc:
- Học sinh hiễu rõ hơn bản chất của bài toán viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm cho trước, cụ thể là từ số nghiệm của phương trình
f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 ta suy ra các giá trị k bằng cách thay thể x vào biểu thức k= f’(x) Do đó, nếu
sử dụng mệnh đề “ Từ M vẽ được n tiếp tuyến phân biệt đến (C) <=> phương trình f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 có n nghiệm phân biệt” thì trước hết phải chứng minh rằng: “Nếu
x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình f(x)=f’(x).(x-x0) + y0 thì k(x1) k(x2) .”
- Không khí lớp học rất sôi nổi, học sinh rất hứng thú suy nghĩ và đưa ra ý kiến của riêng mình
Trang 15- Trên cơ sở của 3 bài toán trên, các em có thể giải quyết các bài toán khác nhau như:
Tìm M để từ đó vẽ ít nhất 1 tiếp tuyến, đúng 1 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến vuông góc đến
(C)
4 Kiểm nghiệm kết quả thực hiện:
Sau khi dạy xong phần này, tôi cho học sinh lớp 12A3 (lớp khá giỏi) làm bài
kiểm tra 20 phút với nội dung sau đây:
“ Cho đường cong (C):
1
9
2
x
x
y Tìm các điểm trên Ox để từ đó vẽ đúng 1
tiếp tuyến với (C).” Tôi thu được kết quả sau đây:
a Thống kê:
Lớp TS Điểm 0 1 2 3 4
Dưới
TB
Số
lượng
0 0 0 0 0 0 3 6 8 13 10 7 47 12A3 47
Tỷ lệ 0 0 0 0 0 0 6.38 12.77 17.02 27.66 21.28 14.89 100%
b Phân tích đánh giá kết quả :
Trước khi phân tích đánh giá kết quả, tôi xin đưa ra đáp án sau đây:
Trang 16Gọi M(x0, 0) Ox và (d) đi qua M cĩ hệ số gĩc k => (d): y=k(x-x0)
(d) tiếp xúc (C) <=> hệ phương trình sau cĩ nghiệm:
k x
x x
x x k x
x
) 1 (
9 2
) ( 1 9
2
0 2
Thay (2) vào (1) ta được: ( )
) 1 (
9 2 1
9
0
2 2
x x x
x x x
x
<=>( x2- 9)(x+1)=(x2+2x+9)(x-x0)
<=> (1-x0)x2 +2(9-x0)x+9-9x0 = 0 (x -1) (3) (2đ)
Để từ M vẽ được đúng 1 phương trình với (C), ta xét các trường hợp sau đây:
i) 1-x0 = 0 <=> x0=1
Khi đĩ (3) <=> 16x = 0 <=> x = 0 -1
Vậy x0 = 1 thoả mãn đề bài
ii) (3) có một nghiệm kép khác 1
0
x
1
1
x
x
3 3
x x
iii) (3) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1
0
x
1
1
x x x
1
x (2đ)
Trang 17iv) (3) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 1 và
k k
1
1
x x x
1 2 1 2
x
(1,5đ)
1 2
x
2 0 1
x x x
0 16
x x
(hệ VN)
Kết luận: M(x0,0) với x0{1,-1,3,-3} (0.5đ)
- Số học sinh đạt từ 8 trở lên rất cao, hầu hết các học sinh này xét đủ 4 trường hợp, nhưng trong quá trình làm cĩ sai sĩt chút ít, cĩ thể khắc phục dần
- Số học sinh đạt từ 7 trở xuống chiếm tỷ lệ 36.7% Các học sinh này cĩ thực hiện trường hợp thứ 4 nhưng khi biến đổi k(x1) = k(x2) th ành (x1-x2)(
x1+x2+2) = 0 thì thực hiện sai sĩt do ngán ngại việc rút gọn những biểu thức tương đối dài Việc này giáo viên chỉ cần uốn nắn nhắc nhở nhiều lần
- Hầu hết cĩ xét trường hợp thứ 4, điều này khẳng định các em hiểu rõ vấn đề: “ Số nghiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x0) + y0 và số tiếp tuyến tìm được chưa chắc là tương ứng một đối một.” Đĩ cũng chính là mục đích của tơi khi trình bày vấn đề này
II Kiểm nghiệm lại kết quả:
Trang 181 Kết quả của cách giải mới:
- Như đã nói ở phần trên, cách giải mới giúp học sinh nắm được mối liên hệ giữa số ngiệm của phương trình f(x)=f’(x)(x-x0) + y0 và số tiếp tuyến tìm được Cụ thể là: “Nếu n là số nghiệm của phương trình và m là số tiếp tuyến tìm được thì m<=n.”
- Rèn luyện thói quen lập luận chính xác là 1 vấn đề khoa học nào đó
2 Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
a Đối với bản thân:
- Mở ra hướng nghiên cứu tổng quát sau đây: “ Trong các đồ thị của những hàm
số sơ cấp trong chương trình phổ thông thì đồ thị của những đồ thị hàm số nào tồn tại tiếp tuyến tiếp xúc với nó tại 2 điểm phân biệt Nếu nó có điều kiện tôi
sẽ nghiên cứu tiếp tục vấn đề này theo hướng nói trên
b Đối với học sinh:
Đối với học sinh khá giỏi, giúp các em giải được chặt chẽ bài toán loại này để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh Đại Học và Cac Đẳng sắp tới
3 Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a Nguyên nhân thành công:
- Được dạy ở lớp giỏi nói trên nên luôn chuẩn bị và nghiên cứu trước để giúp
đỡ học sinh khi dạy phần này
Trang 19- Được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp trong tổ Tốn và sự động viên của Ban Giám Hiệu
- Trong kỳ chấm thi vào Đại học An Giang năm 2001 vừa qua, thấy các học sinh
bị trừ điểm nặng khi giải tốn thiếu chính xác loại tốn này nên thơi thúc tơi thực hiện sáng kiến này
b Nguyên nhân tồn tại:
- Do thời gian cĩ hạn nên sáng kiến này cĩ một ít sai sĩt
- Nếu kiến thức về phương trình đại số ở lớp 10 bị hỏng thì gặp khĩ khăn khi học phần này
- Do phân phối chương trình cho phần các bài tốn liên hệ đến khảo sát hàm
số quá ít nên việc truyền đạt cũng gặp rất nhiều khĩ khăn
4 Bài học kinh nghiệm:
- Khám phá được cách giải chặt chẽ cho loại Tốn này
- Đối với tổ nhĩm chuyên mơn, đây là một chuyên đề để anh em cĩ thể trao đổi để nâng cao trình độ chuyên mơn cho cá nhân
C.KẾT LUẬN CHUNG:
Khoa học tự nhiên nĩi riêng và khoa học nĩi chung phải chính xác tuyệt đơi