Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Bi 12 GIAO TUYN CA HAI MT I. KHI NIM Giao tuyn ca hai mt l tp hp cỏc im chung ca hai mt dú Dng ca giao tuyn : _ Giao tuyn ca hai a din thng l mt hay nhiu ng gp khỳc kớn trong khụng gian - tp hp cỏc on thng v cỏc im góy thuc cỏc mt v cỏc cnh ca a din _ Giao tuyn ca a din vi mt cong i s bc n thng l m t hay nhiu ng gp khỳc kớn trong khụng gian, tp hp cỏc cung ng cong phng i s bc n v cỏc im góy thuc cỏc mt v cỏc cnh ca a din _ Giao tuyn ca mt cong i s bc m v mt cong i s bc n thng l ng cong ghnh i s bc m x n II. TRNG HP BIT MT HèNH CHIU CA GIAO TUYN Nu mt trong hai mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn thuc hỡnh chiu suy bin ca lng tr chiu hoc tr chiu ú _ v hỡnh chiu cũn li ca cỏc giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im, ng thuc mt cũn li Vớ d 1 Hóy v giao tuyn ca lng tr (abc) chiu bng vi lng tr xiờn (mnp); (Hỡnh 12.1a) Gii _ Vỡ lng tr (abc) P 1 nờn ta bit c hỡnh chiu bng ca giao tuyn l on ch V: 1 1 3 1 5 1 thuc tam giỏc a 1 b 1 c 1 [ hỡnh chiu bng suy bin ca lng tr (abc)] _ Giao tuyn l ng gp khỳc kớn gm tp hp cỏc im góy v cỏc on thng thuc cỏc cnh v cỏc mt ca a din, c xỏc nh nh sau: Hỡnh 12.1a Hỡnh 12.1b + - + -++ 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 2 6 2 4 2 2 2 1 1 2 1 c 1 5 1 b 1 3 4 1 1 6 a 1 p 1 n 1 m 1 p 2 m 2 n 2 c 2 5 2 b 2 a 2 1 2 p 2 n 2 m 2 p 2 a 2 c 2 b 2 a 2 Cỏc im góy: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; (Hỡnh 12.1a); trong ú: + m lng tr (abc) = im 1 mp(a, b) v im 5 mp(b, c) + n lng tr (abc) = im 2 mp(a, b) v im 4 mp(b, c) + b lng tr (m n p) = im 3 mp(n, p) v im 6 mp(m, p) GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 82 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Cỏc on thng: + mp(m, n) lng tr (abc) = on 12 mp(a, b) v on 45 mp(b, c) + mp(n, p) lng tr (abc) = on 23 mp(a, b) v on 34 mp(b, c) + mp(m, n) lng tr (abc) = on 12 mp(a, b) v on 45 mp(b, c) Ni cỏc im va tỡm c, vi chỳ ý rng hai im cựng thuc mt mt phng thỡ mi n i li. Thy - khut trờn hỡnh chiu: nhng on giao tuyn thuc phn khut ca mt trong hai mt trờn hỡnh chiu no thỡ nhng on giao tuyn ú b khut trờn hỡnh chiu ú. on 12 v 45 thuc mp(m,n) khut trờn hỡnh chiu ng nờn 1 2 2 2 v 4 2 5 2 khut ; (Hỡnh 12.1a) Ni giao bng cỏch lp bng khai trin Ngoi cỏch ni giao ó nờu trờn; sau õy s trỡnh by cỏch ni giao bng cỏch lp bng. Trỡnh t thc hin: _ V s khai trin ca hai mt a din, nu cnh no khụng giao thỡ nờn khai trin theo cnh ú ( trong hỡnh 12.1a khai trin theo cnh a, cnh p) _ Ghi tờn cỏc im va tỡm c dỳng nh v trớ trờn hỡnh chiu _ Ni hai im cựng m t ụ Xột thy (+), khut (-) trờn tng hỡnh chiu ta thờm ch s hỡnh chiu ú. on no thuc hai mt phng thy thỡ thy trờn hỡnh chiu ú (Hỡnh 12.1b) Vớ d 2 V giao ca mt cu tõm O vi lng tr (abc) chiu ng (Hỡnh 12.2) Gii Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l ng gp khỳc 4 2 2 2 1 2 7 2 thuc tam giỏc a 2 b 2 c 2 - hỡnh chiu ng suy bin ca lng tr, giao do ba mt bờn ca lng tr ct cu: _ mp(a,b) cu = cung trũn 212, cú hỡnh chiu bng l cung trũn 2 1 1 2 2 1 khut _ mp(b,c) cu = cung trũn 23432 song song P 3 , cú hỡnh chiu bng l on thng 3 1 3 1 _ mp(a,c) cu = ng trũn tõm I, cú hỡnh chiu bng l elớp tõm I 1 v nhn 6 1 6 1 , 1 1 7 1 lm cp trc (I 1 6 1 = I 1 6 1 = I 2 7 2 ) _ 5 1 , 5 1 l cỏc tip im ca hỡnh chiu bng ca giao tuyn vi ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu, chỳng cng l cỏc im ranh gii thy khut hỡnh chiu bng ca giao. c 2 I 1 2 1 3 1 2 1 4 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 1 1 b 1 c 1 3 1 a 1 7 2 6 2 6 2 I 2 5 2 5 2 4 2 3 2 3 2 1 2 a 2 O 1 O 2 2 2 2 2 b 2 Hỡnh 12.2 Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l hai ng kớn: Elớp tõm I 1 v ng kớn 1 1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 1 Xột thy khut nh hỡnh 12.2 vi chỳ ý nhng im thuc na trờn cu c thy hỡnh chiu bng: cung 5 1 6 1 7 1 6 1 5 1 thy; cỏc cung cũn li khut hỡnh chiu bng . Vớ d 3 V giao ca mt chúp S.ABC vi mt tr chiu bng (Hỡnh 12.3) Gii GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 83 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Vỡ tr chiu bng nờn ta bit c hỡnh chiu bng ca giao tuyn l cung trũn 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 thuc ng trũn hỡnh chiu bng ca tr v hỡnh chiu ng ca giao tuyn ta gn cỏc cung thuc cỏc mt ca a din: _ mp(ABC) tr = cung trũn1D8, cú hỡnh chiu ng l on thng ngang D 2 8 2 _ mp(SBC) tr = Hai cung 12 v 78 ca mt elip, cú hỡnh chiu ng l hai cung1 2 2 2 v 7 2 8 2 ca mt elip _ mp(SAB) tr = cung elip 2345, cú hỡnh chiu ng l cung elip 2 2 3 2 4 2 5 2 _ mp(SAC) tr = cung elip 567, cú hỡnh chiu D 2 2 2 1 2 3 2 4 2 5 2 6 2 8 2 7 2 B 1 C 2 A 2 B 2 A 1 S 1 1 1 2 1 3 1 D 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 Hỡnh 12.3 S 2 C 1 ng l cung elip 5 2 6 2 7 2 _ 4 2 l tip im ca hỡnh chiu ng ca giao tuyn vi vi ng sinh bao hỡnh chiu ng ca tr v cng l im ranh gii thy khut hỡnh chiu ng ca giao. _ Vy hỡnh chiu ng ca giao tuyn l ng kớn 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 D 2 1 2 S 2 t 1 1 (C 1 (C 2 t 2 4 1 3 1 6 1 6 2 3 2 3 2 4 2 4 2 3 1 1 1 2 1 S 1 2 5 1 5 1 4 1 5 2 5 2 2 2 1 2 _ Xột thy khut nh hỡnh 12.3 vi chỳ ý nhng im thuc na trc tr thỡ thy hỡnh chiu ng: 1 2 2 2 3 2 4 2 thy, cỏc cung cũn li khut hỡnh chiu ng Vớ d 4 V giao ca mt nún trũn xoay nh S vi mt tr chiu ng (Hỡnh 12.4) Gii - Hai mt nún v tr giao nhau nhau theo ng cong ghnh bc bn, cú: - Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l cung trũn 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 thuc ng trũn hỡnh chiu ng ca tr - v hỡnh chiu bng ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt nún, bng cỏch gn cỏc im vo cỏc ng trũn v tuyn nm ngang ca nún (hoc gn vo ng sinh ca nún) - 3 1 , 3 1 l cỏc tip im ca hỡnh chiu bng ca giao tuyn vi ng sinh bao hỡnh chiu bng ca tr, chỳng cng l cỏc im ranh gii thy khut hỡnh chiu bng ca giao. Hỡnh 12.4 - Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l ng cong phng bc bn khộp kớn: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 i xng qua ng thng 1 (l hỡnh chiu suy bin ca mt phng i xng chung) - Xột thy khut nh hỡnh 12.4 vi chỳ ý nhng im thuc na trờn ca tr thỡ thy hỡnh chiu bng: 3 1 2 1 1 1 2 1 3 1 - thy; cũn li khut hỡnh chiu bng GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 84 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 III. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT VỀ GIAO HAI MẶT BẬC HAI Giao của hai mặt bậc hai trong trường hợp tổng quát là đường cong ghềnh bậc bốn. Trong các trường hợp đặc biệt đường cong ghềnh bậc bốn đó có thể suy biến thành : _ Hai đường cong bậc hai _ Một đường cong bậc hai và hai đường thẳng (hay một đường thẳng kép) _ Một đường cong bậc ba và một đường thẳng _ Bốn đường thẳng Sau đây sẽ xét một vài định lý đ ã chứng minh về giao hai mặt bậc hai trong trường hợp đặc biệt. Định lý 1 Nếu hai mặt bậc hai đã giao nhau theo một đường cong bậc hai thì chúng còn giao nhau theo một đường cong bậc hai nữa Ví dụ Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ bậc hai có chung đường chuẩn (C); (Hình 12.5) - mặt phẳng đối xứng chung song song P 2 Giải Hai mặt nón và trụ có chung nhau đường chuẩn (C), nên theo định lý 1 chúng còn giao nhau theo một đường cong bậc hai nữa. Vì mặt phẳng (β) đối xứng chung của hai mặt nón và trụ song songP 2 nên mp (β) sẽ cắt hai mặt đó theo các đường sinh mà ở hình chiếu đứng là các đường sinh biên, các đường sinh này sẽ giao nhau tại các điểm thuộc giao tuyến; hơn nữa mp (β) song songP 2 nên hình chiếu đứng của các đường cong bậc hai giao tuyến suy biến thành các đoạn thẳng đi qua các giao điểm của các đường sinh biên nói trên. Vì mặt trụ chỉ giới hạn tới đường chuẩn (C) nên đường cong bậc hai giao tuyến thứ hai chỉ là cung elip123; (Hình 12.5) Hình 12.5 β 1 (C 2 ) (C 1 ) 2 1 1 1 3 1 1 2 ≡3 2 2 2 S 1 S 2 Định lý 2 Nếu hai mặt bậc hai tiếp xúc nhau tại hai điểm và hai mặt phẳng tiếp xúc chung tại hai điểm đó không trùng nhau thì chúng giao nhau theo hai đường cong bậc hai đ i qua hai điểm tiếp xúc đó ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ 2 1) Hướng thiết diện Mônjơ Hướng thiết diện Mônjơ là hướng mặt phẳng cắt mặt bậc hai cho giao tuyến là elip có một hình chiếu là đường tròn Ví dụ Cho mặt nón bậc hai có mặt phẳng đối xứng song song P 2 (Hình 12.6). Hãy vẽ hướng các mặt phẳng cắt mặt nón cho giao tuyến lá elip có hình chiếu bằng là đường tròn Giải - Vẽ mặt trụ tròn xoay chiếu bằng có hình chiếu bằng là đường tròn tiếp xúc với hai đường sinh bao của nón tại hai điểm T 1 và T’ 1 - Dễ thấy hai mặt nón và trụ tiếp xúc nhau tại hai điểm T,T’ nên theo định lý 2; hai mặt nón và trụ giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm T, T’. - Vì mặt phẳng β đối xứng chung của nón và trụ song song P 2 nên hình chiếu đứng của hai đường cong bậc GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 85 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 hai giao tuyn s suy bin thnh hai on thng1 2 2 2 v 3 2 4 2 i qua T 2 T 2 ; hỡnh chiu bng ca hai ng cong giao tuyn ny l ng trũn trựng vi ng trũn hỡnh chiu bng ca tr; (Hỡnh 12.6) - Cỏc mt phng chiu ng 1 2 2 2 v 3 2 4 2 l cỏc hng mt phng ct nún cho giao tuyn l elip cú hỡnh chiu bng l ng trũn Chuù yù Ngi ta ng dng hng thit din Monj xỏc nh ỏy ca mt nún, mt tr cú mt hỡnh chiu l ng trũn; khi nún, tr ú cú mt phng i xng song song mt mt phng hỡnh chiu GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 86 2) Hng thit din trũn Hng thit din trũn l hng mt phng, ct mt bc hai cho giao tuyn l ng trũn Vớ d Cho mt nún bc hai cú ng chun l elip c xỏc nh bng cp trc AB, CD; (Hỡnh 12.7). Hóy v hng cỏc mt phng ct mt nún cho giao tuyn l ng trũn Gii V mt cu tõm O thuc trc nún v tip xỳc vi nún ti hai im T, T cú hỡnh chiu ng l ng trũn bao tip xỳc vi hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún ti hai im T 2 v T 2 . Theo nh lý 2; hai mt nún v cu giao nhau theo hai ng cong bc hai i qua hai im T,T; hai ng cong bc hai ny thuc cu nờn nú l hai ng trũn. Vỡ mt phng i xng chung ca nún v cu song song song P 3 nờn hỡnh chiu cnh ca hai ng trũn giao tuyn ú s suy bin thnh hai on thng1 3 2 3 v 3 3 4 3 i qua T 3 T 3 ; (Hỡnh 12.7) Cỏc mt phng chiu cnh 1 3 2 3 v 3 3 4 3 chớnh l cỏc hng mt phng ct nún cho giao tuyn l ng trũn Hỡnh 12.7 y T 2 A 2 D 1 B 1 C 1 C 2 D 2 B 2 S 2 S 3 O 2 O 3 T 2 T 3 T 3 C 3 A 3 B 3 D 3 1 3 4 3 3 3 2 3 z y T 2 T 2 1 4 2 3 2 2 2 1 2 S 2 T 1 T 1 Hỡnh 12.6 S 1 S 1 A 1 x nh lý 3 Nu hai mt bc hai cựng ni tip hay ngoi tip vi mt mt bc hai khỏc thỡ chỳng s giao nhau theo hai ng cong bc hai i qua hai giao im ca hai ng tip xỳc Vớ d Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt tròn xoay nón và trụ cùng ngoại tiếp cầu, có mặt phẳng đối xứng chung song song P 2 ; (Hình 12.8) Giải _ Gọi (v), (ω) là lần lượt là hai đường tròn tiếp xúc của mặt cầu với mặt nón và mặt trụ _ Vẽ T, T’ = (v) ∩ (ω). Vì mp (β) đối xứng chung của nón, trụ, cầu song song P 2 nên (v 2 ), (ω 2 ) suy biến thành hai đoạn thẳng và T 2 ≡T 2 ’ = (v 2 ) ∩ (ω 2 ) _ Theo định lý 3 thì hai mặt nón, trụ giao nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai giao điểm T, T’ của hai đường tiếp xúc (v) và (ω) _ Vì mp (β) // P 2 nên hai đường cong bậc hai giao tuyến có hình chiếu đứng suy biến thành hai đoạn thẳng 1 2 2 2 và 3 2 4 2 đi qua T 2 ≡T 2 ’ _ 5 1 , 5’ 1 , 6 1 , 6’ 1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao tuyến với hai đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ và đồng thời cũng là các điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu bằng của giao _ Hình chiếu bằng của giao tuyến là hai Elip lần lượt nhận cặp 1 1 2 1 , 5 1 5’ 1 và 3 1 4 1 , 6 1 6’ 1 làm hai cặp trục, hai elip này đi qua T 1 và T 1 ’ _ Xét thấy khuất như (hình 12.8) Hình 12.8 a 2 ≡ b 2 a 1 b 1 β 1 6 2 ≡ 6’ 2 6 1 5 1 3 1 2 1 3 2 2 2 1 2 S 2 4 2 ( v 2 ) (ω 2 ) (C 2 ) (C 1 ) 1 1 4 1 S 1 T’ 1 T’ 1 5’ 1 6’ 1 5 2 ≡ 5’ 2 T 2 ≡T’ 2 III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN Ví dụ 1 Hãy vẽ giao tuyến của trụ tròn xoay chiếu bằng với lăng trụ xiên (abc); (Hình 12.9) Giải _ Vì trụ ⊥ P 1 nên ta biết được hình chiếu bằng của giao tuyến là cung tròn: 1 1 3 1 5 1 thuộc đường tròn hình chiếu bằng suy biến của trụ _ Giao tuyến là đường gấp khúc kín gồm tập hợp các điểm gãy và các cung elip thuộc các cạnh và các mặt của đa diện, được xác định như sau: + mp(a,b) ∩ trụ = Cung elip 12345, có hình chiếu đứng là cung elip 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 ; trong đó 2 2 , 4 2 là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh biên ở hình chiếu đứng của trụ, đồng thời cũng là hai điểm ranh giới thấy khuất ở hình chiếu đứng của giao tuyến + mp(a,c) ∩ trụ = hai cung elip 567 và 910 1, có hình chiếu đứng là hai cung 5 2 6 2 7 2 và 9 2 10 2 1 2 của một elip. Vì mp(a,c) khuất ở hình chiếu đứng nên hai cung 5 2 6 2 7 2 và 9 2 10 2 1 2 khuất; trong đó: 10 2 , 6 2 là các tiếp điểm của hình chiếu đứng của giao với hai đường sinh bao hình chiếu đứng của trụ + mp(b,c) ∩ trụ = Cung elip 789, có hình chiếu đứng là cung elip 7 2 8 2 9 2 thấy ở hình chiếu đứng _ Hình chiếu đứng của giao tuyến là đường kín 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 1 2 gồm các cung elip nối liền nhau bỡi các điểm gãy . Xét thấy khuất như (Hình 12.9) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 87 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 88 Hình 12.9 Hình 12.10 (C 2 ) (C 1 ) b 1 a 1 S 1 S 2 5 2 4 2 ≡ 4’ 2 3 1 5 1 4 1 4’ 1 2 1 1 1 2’ 1 1’ 1 3 2 2 2 ≡2’ 2 ≡ b 2 1 2 ≡1’ 2 ≡ a 2 3 1 ≡ 8 1 9 2 1 1 3 2 5 2 4 2 2 2 1 2 4 1 ≡ 6 1 5 1 7 1 2 1 ≡10 1 b 1 c 1 a 1 c 2 b 2 a 2 6 2 7 2 8 2 10 2 c 2 (β 1 ) c 1 Ví dụ 2 Hãy vẽ giao tuyến của nón tròn xoay với lăng trụ (abc) chiếu đứng ; (Hình 12.10) Giải _ Vì lăng trụ (abc) ⊥ P 2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là đường gấp khúc: 5 2 1 2 2 2 3 2 thuộc hình chiếu đứng suy biến của lăng trụ + mp(a,b) ∩ nón = hai đoạn đường sinh 12 và1’2’ thấy ở hình chiếu đứng và hình chiếu bằng + mp(b,c) ∩ nón = cung tròn 232’, có hình chiếu bằng là cung tròn 21312’1. Vì mp(b,c) khuất ở hình chiếu bằng nên cung tròn 21312’1 khuất + mp(a,c) ∩ nón = cung elip 1454’1’, có hình chiếu bằng là cung elip 1141514’11’1 nhận S1 làm một tiêu điểm _ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đường gấp khúc kín 1 1 2 1 3 1 2’ 1 1’ 1 4’ 1 5 1 4 1 1 1 _ Vì mp β đối xứng chung của nón và lăng trụ song song P 2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối xứng qua đường thẳng (β 1 ) _ Xét thấy khuất như (hình 12.10) Ví dụ 3 Hãy vẽ giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.11) Giải _ Mặt trụ và cầu giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 _ Vì trụ ⊥ P 2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 thuộc đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ _ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường tròn vĩ tuyến nằm ngang của cầu; ta nhận được hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 4’ 1 3’ 1 2’ 1 1 1 . Trong đó: 2 1 , 2’ 1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ _ Vì mp β đối xứng chung của cầu và trụ song song P 2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối xứng qua đường thẳng (β 1 ) Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Xét thấy khuất của hình như (hình 12.11) Ví dụ 4 Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12.12) Giải _ Mặt trụ và nón giao nhau theo đường cong ghềnh bậc 4 _ Vì trụ ⊥ P 2 nên ta biết được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 thuộc đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ Hình 12.11 Hình 12.12 (β 1 ) (β 1 ) 4 1 3 1 2 1 t 1 2’ 1 3’ 1 4’ 1 5 1 O 1 t 2 5 2 4 2 ≡ 4’ 2 O 2 3 2 ≡3’ 2 2 2 ≡ 2’ 2 1 2 (C 2 ) (C 1 ) t 2 t 1 7 2 6 2 ≡6’ 2 5 2 ≡5’ 2 4 2 1 2 2 2 ≡ 2’ 2 3 2 ≡3’ 2 S 2 S 1 5’ 1 6’ 1 7 1 3 1 2 1 6 1 5 1 4 1 3’ 1 2’ 1 1 1 _ Hình chiếu bằng của giao được vẽ bằng cách gắn vào đường sinh của nón; ta nhận được hình chiếu bằng của giao tuyến là đường cong phẳng bậc 4 kín: 1 1 2’ 1 3’ 1 4 1 5 1 6 1 7 1 6’ 1 5’ 1 4 1 3 1 2 1 1 1 . Trong đó: 2 1 , 2 1 ’, 6 1 , 6’ 1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh bao hình chiếu bằng của nón ; 5 1 , 5’ 1 là các tiếp điểm của hình chiếu bằng của giao với đường sinh bao hình chiếu bằng của trụ _ Vì mp β đối xứng chung của nón và trụ song song P 2 nên hình chiếu bằng của giao tuyến đối xứng qua đường thẳng (β 1 ). _ Xét thấy khuất của giao như (hình 12.12) Ví dụ 5 Hãy vẽ giao tuyến của nửa mặt xuyến có trục t ⊥ P 2 với lăng trụ (abc) chiếu bằng; (Hình 12.13) Giải _ Hình chiếu bằng của giao tuyến là đoạn 8 1 10 1 và đường gấp khúc 4 1 2 1 7 1 thuộc tam giác hình chiếu bằng suy biến của lăng trụ (abc) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 89 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Để vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến ta gắn các điểm thuộc các đường tròn của xuyến nằm trong mặt phẳng vuông góc trục t. Kết quả nhận được hình chiếu đứng của giao tuyến là hai đường hở 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 và 8 2 9 2 10 2 11 2 (hai đường hở vì ở đây chỉ xét nửa xuyến) _ Xét thấy khuất của hình như hình 12.13 với chú ý những điểm nằm nửa trước của xuyến được thấy trên hình chiếu đứng, cụ thể cung 3 2 4 2 5 2 và 9 2 10 2 11 2 thấy; các cung còn lại khuất trên hình chiếu đứng . a 2 b 2 c 2 9 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 9 2 10 2 11 2 8 2 1 1 8 1 10 1 11 1 7 1 2 1 ≡ 6 1 ≡ a 1 3 1 ≡ 5 1 4 1 c 1 b 1 Hình 12.13 ================= GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 90 . sinh 12 và1’2’ thấy ở hình chiếu đứng và hình chiếu bằng + mp(b,c) ∩ nón = cung tròn 232’, có hình chiếu bằng là cung tròn 21 312 1. Vì mp(b,c) khuất ở hình chiếu bằng nên cung tròn 21 312 1. Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Xét thấy khuất của hình như (hình 12. 11) Ví dụ 4 Hãy vẽ giao tuyến của mặt nón với mặt trụ chiếu đứng ; (Hình 12. 12) Giải _ Mặt trụ và nón giao nhau theo đường. được hình chiếu đứng của giao tuyến là cung tròn: 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 thuộc đường tròn hình chiếu đứng suy biến của trụ Hình 12. 11 Hình 12. 12