Ảnh hưởng của các khuyết tật bề mặt đến sự lan truyền sóng rayleigh P GS. TS. lê bá sơn B ộ môn Vật lý K hoa Khoa học cơ bản - Trường Đại học GTVT Tóm tắt: Trong bài này chúng tôi trình bày sự lan truyền của sóng mặt Rayleigh khi gặp các khuyết tật mặt và phương pháp giảm ảnh hưởng của sự lan truyền sóng này. Summary: In the article, we present the spreading of Rayleigh waves when encountering deformities on the surface and suggest measures to decrease impacts of this spreading i. mở đầu Các phương tiện giao thông vận tải, các máy móc thiết bị khi làm việc gây ra các dao động cơ học. Các dao động này lan truyền trong không khí, trong nước, trong đất tạo nên các sóng cơ. Trong nhiều trường hợp các sóng cơ gây ảnh hưởng xấu đến các công trình xây dựng, đến sinh hoạt của cộng đồng. Nghiên cứu làm giảm sự lan truyền sóng cơ truyền trong đất là mục đích của bài này. Chú ý đến sự lan truyền của sóng cơ trong đất ta thấy: nguồn sóng (các thiết bị gây ra các dao động) tạo ra các loại sóng khối dọc, sóng khối ngang và sóng mặt. Nhưng các loại sóng khối khó có thể truyền xa vì năng lượng loại sóng này giảm nhanh theo khoảng cách. Chỉ có loại sóng truyền trên lớp mỏng bề mặt - sóng mặt - mới có thể lan truyền xa được. Loại sóng truyền trên mặt đất nói riêng và trên bề mặt chất rắn nói chung, được Rayleigh nghiên cứu đầu tiên và nó được mang tên ông. Như vậy việc làm giảm sự lan truyền sóng cơ trong đất tức là làm giảm sự lan truyền của sóng Rayleigh. Sóng Rayleigh truyền trong đất gặp các khuyết tật bề mặt một phần bị phản xạ, phần bị biến đổi thành sóng khối dọc và sóng khối ngang phần còn lại sẽ tiếp tục truyền đi. Với chúng ta phần này càng ít càng tốt. Cũng nên lưu ý rằng nguồn sóng sinh ra sóng không thể đơn sắc. Sóng lan truyền là tập hợp vô số các sóng với tần số khác nhau. Tuy nhiên môi trường đất bao gồm các hạt rất nhỏ, không phải là lý tưởng. Đất hấp thụ các sóng có tần số cao và tán xạ các sóng có tần số thấp. Thực nghiệm chứng tỏ chỉ có các loại sóng có tần số cỡ vài trăm Hz mới lan truyền xa trong đất được. Tập hợp các sóng này tạo nên bó sóng. Biên độ của các cũng phụ thuộc vào tần số và được mô tả ở hình 1. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu đặt véc tơ dịch chuyển của các phần tử trong môi trường rotgradu với thế vô hướng và thế véc tơ. Các thế này được biểu diễn dưới dạng tổng các thế đơn sắc: = n 1j j ; j n 1j . j , j là các thế đơn sắc ứng với một tần số xác định. Các thế vô hướng và véc tơ thoả mãn phương trình sóng: + k 2 1 = 0 ; k 1 = [/(+ 2)] 1/2 (1) + k 2 2 = 0; k 2 = [/] 1/2 (1’) Để nghiên cứu quá trình truyền sóng, ban đầu chúng ta khảo sát sóng mặt Rayleigh với tần số xác định. Sau đó dùng nguyên lý chồng chất sóng chúng ta khảo sát sự lan truyền của bó sóng mặt Rayleigh. Cũng tương tự như trong [1], [2] chúng ta sẽ dùng pháp nhiễu loạn bờ, các phương pháp hàm giải tích xác định các đặc trưng nhiễu xạ. Từ đó tìm cách giảm thiểu các hệ số truyền. Hình 1. Sự phụ thuộc biên độ vào tần số A 0 Sãng tíi Rayleigh z x 0 a l -a -h Hình 2. Mô hình bài toán truyền sóng Rayleigh và khuyết tật mặt ii. mô hình bài toán Khuyết tật mặt tiết diện không đổi có dạng như hình 2. Sóng tới Rayleigh truyền dọc theo trục x từ trái qua phải, trong nửa không gian vô hạn z 0. Hàm sóng tới phẳng đơn sắc có dạng: i = (A 0 /2ik r p) pZ xik e e r ; i = (A 0 /(2k r 2 - k 2 2 ) sZ xik e e r Các số sóng p = (k r 2 - k 1 2 ) 1/2 ; s = (k r 2 - k 2 2 ) 1/2 , , : các hệ số Lamé và khối lượng riêng của môi trường còn các đại lượng A 0 : biên độ của sóng tới; số sóng Rayleigh k r thoả mãn phương trình: F(k r ) = (2k r 2 - k 2 2 ) 2 - 4k r 2 ps = 0 (3) Khuyết tật chạy theo trục Oy. Mặt cắt của khuyết tật trong mặt phẳng oxz được mô tả bởi phương trình: S(x,z) = Z - r (x) = 0 (4) Hàm hình dạng (x) tuỳ thuộc vào khuyết tật cụ thể và (0) = -1; còn = r h là một tham số nhỏ (khoảng 0,1); r = r k 2 bước sóng Rayleigh. Khuyết tật có mặt tự do nên trên mặt S(x,z) = 0, ứng suất pháp và ứng suất tiếp phải triệt tiêu: T nt = 0; T nn = 0 (5) III. trường sóng nhiễu xạ Khi sóng Rayleigh tới khuyết tật, một phần của sóng bị phản xạ, phần bị tán xạ và một phần truyền qua. Sóng trong môi trường đất được biểu diễn dưới dạng: = i + 1m m m ; = i + 1m m m (6) Biểu thức trong phương trình (6) là chuỗi luỹ thừa của tham số với i và i là các thế của sóng tới Rayleigh. Rõ ràng rằng , phải thoả mãn phương trình truyền sóng (1). Và vì chỉ là tham số nên m và m cũng phải thoả mãn phương trình truyền sóng (1) với mỗi giá trị của m: Thay vào điều kiện bờ ta được: T nt = 2. 2 2 2 22 nt nt = 0 T nn = tn 2 n 2 t 2 2 2 2 2 = 0 (7) trong đó: n,t lần lượt là phương pháp tuyến và tiếp tuyến của mặt S. Vì là rất nhỏ, ứng suất trên S có thể ở gần đúng bậc nhất chuỗi Taylor T nn S = T nn Z=0 + z T nn Z=0 r (x) và tương tự cho T nt và biểu diễn n , t qua z , x và r d/dx theo: (2 xdx df zdx df 1 n r 2/1 2 r xzdx df dx df 1 t r 2/1 2 r Như vậy điều kiện biên ở phương trình (7) có thể phát triển thành chuỗi luỹ thừa nhưng với điều kiện r d/dx < 1 để [1 + ( r d/dx)] -1/2 phù hợp với bài toán: Sự giới hạn này sẽ được nói ở phần sau. Điều kiện biên khi Z = 0 buộc chúng ta giải m và m với mọi m trước hết giải (7) với m = 1 ta có: 1 22 2 1 2 zx zx 20,xP i 2 i 2 2 i 2 2 r zx 2 zx dx df 2 i 2 3 i 3 3 i 2 3 r zxzzx 2xf (8) i 2 3 i 3 3 r i 3 3 i 2 3 r 1 2 1 2 2 2 2 zxz xf2 zzx xf xz 2 z 2 x 0,xQ (9) Phương trình (8) và (9) thể hiện ứng suất tiếp và ứng suất pháp trên mặt Z = 0 được kết hợp với 1 và 1 . 1 , 1 đã được xác định. Với m 2, m m và m m giải được bằng cách tương tự nhưng không cần thiết bởi nhỏ nên với m 2, m m và m m có m là bé hơn rất nhiều lần. Dùng khai triển Fourier ta có thể biểu diễn: 1 (x,z) = kF 1 2 [2k 2 P(k) + + (2k 2 - k 2 2 )Q(k)]e ikx xik e 1 dk, z 0 (10) 1 (x,e) = kF 1 2 [2k 1 Q(k) + + (k 2 2 - 2k 2 )P(k)]e ikx xik 2 e dk, Z 0 (11) trong đó: F(k) = 4k 2 1 2 + (k 2 2 - 2k 2 ) 2 (12) 1 2/1 2 1 2 1 2/1 22 1 1 kknÕukki kknÕukk 2 2/1 2 2 2 2 2/1 22 2 2 kknÕukki kknÕukk P(k) = 0,xP e -ikx dx Q(k) = 0,xQ e-ikx dx Hình 3. Các cực điểm và những lát cắt của đường lấy tích phân trên mặt phẳng phức k iv. Sóng phản xạ Rayleigh Tích phân trong phương trình (10) và (11) có thể phân tích thành những tích phân theo các lát cắt và phần giá trị thặng dư của hàm tại những cực điểm trong mặt phẳng phức k. Thặng dư tại những cực k = -k r cho chúng ta biểu thức sóng Rayleigh phản xạ: (1 3) 1 (x, z) = r k dk/dF 1i . [- 2ik r sP(-k r ) + + (2k r 2 - k 2 2 ) Q(-k r )] xik r e e pz (14a) 1 (x,z) = r k dk/dF 1i [- 2ik r pQ(-k r ) + + (k 2 2 - 2k r 2 ) P(-k r )] xik r e e sz (14b) (dF/dk) - r k = 8k r s(p - s) + 4k r 3 (p - s) 2 /ps (15) Gọi là hệ số phản xạ biên độ, được định nghĩa như sau: = 0,0 0,0 0,0 0,0 i 1 i 1 (16) chúng ta sẽ nhận được biểu thức: = -i(h/ r )[k r H(-k r )] (17) với là đại lượng không có thứ nguyên: 1 kr r )dk/dF(kp4 . . r 4 2 r 2 1 2 2r k2 k )ps(sk2)kk( p s k4 (18) v. Sóng khối tán xạ Tích phân theo các lát cắt cho biểu thức thế sóng khối .)ikexp(.)k)((.),(. r 2/1 r1 B 1 k r 1 .)ikexp(.)k)((.),(. r 2/1 r1 B 1 k r 1 Với: 2/1 1 )2( )4/3iexp( )( . . ) )k(Q )kk2( )k(P k2( )k(F sink 2 1 2 1 2 (19) 2/1 1 )2( )4/3iexp( )( . . ) )k(P )k2k( )k(Q k2( )k(F sink 2 2 21 2 (20) Véc tơ Poyting âm học lấy giá trị trung bình chỉ phụ thuộc vào góc: S B = i [S P ),( + S SV ),( ] (21) S P ),( = .2( k2 k. 4 r 2 1 2 )S P )( ; S SV ),( = 4 r 2 2 2 k2 k. S SV )( (22) Còn: 2 2 1 2 rP k.),(kS ; S SV )( = 2 2 1 2 r k.),(k (23) Công suất của chùm sóng khối bức xạ: U B = )WW( k2 k. SV P 4 r 2 2 2 (24) Với: W P = 0 P d).(S ; W SV = 0 SV d).(S Năng lượng của sóng tới và sóng phản (25) xạ E 0i = 2 2 i k2 W A 0i 2 E 0r = 2 2 i k2 W A 0r 2 Với: W i = 22 2 2 2 2 23 r 3 2 2 2 r )ks2(s2 )ks4(k p8 )kp4(k )ks2)(ps(p2 )kp2(sk )ks2(p k 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 3 r )ps(2 k r (27) Để xác định công suất chùm sóng truyền qua chúng ta nên sử dụng định luật bảo toàn năng lượng: E t = E i0 - E r - U B (28) vi. Tính toán kết quả Chúng ta sẽ khảo sát trong trường hợp ban đầu hàm sóng Rayleigh đơn sắc tần số cỡ trăm Hz và vận tốc 2120 m/s. Chúng ta khảo sát một trường hợp khuyết tật có dạng hình thang. Hàm hình dạng của tiết diện: f(x) = 0 khi x a + l = 1 khi x a - l = -(1/2l)[x + (a + l)], -(a + l) x -(a - l) = (1/2l)[x - (a + l)], (a - l) x ( a + l ) Thực hiện quá trình tính toán từ (9) đến (17) chúng ta nhận được các kết quả về sự nhiễu xạ của sóng mặt Rayleigh. Trước hết chúng ta xác định năng lượng của sóng phản xạ. Hình 4. Tiết diện của khuyết tật có dạng hình thang cân Hàm l)kksin(a)kksin( l)kk( 2 )k(H rr 2 r (29) = -i(h/r)[krH(- kr)] = = i(h/r)(1/2 lk r ) )lk2sin()ak2sin( rr (30) Giá trị của cực đại khi 2a = )k2/( r . Năng lượng của sóng Reyleigh phản xạ: E 0r = 2 2 i k2 W 2 A 0r 2 (31) Khi l đủ nhỏ thì = i(h/r). Hệ số phản xạ tỉ lệ với độ sâu của khuyết tật và cũng không phụ thuộc vào độ dốc của thành khuyết tật. Như vậy kết quả này cũng có thể mở rộng cho trường hợp khuyết tật dạng chữ nhật. Hình 5. Sự phụ thuộc của hệ số truyền qua, hệ số phản xạ, hệ số biến đổi năng lượng sóng mặt thành sóng khối vào độ sâu khuyết tật Tính toán tương đối phức tạp với sóng khối dọc và sóng khối ngang sẽ nhận được biểu thức U B . Từ đó xác định được năng (26) lượng của sóng truyền qua và hệ số truyền qua: T = 1 - R - Rb (32) Sự phụ thuộc của các hệ số này vào độ sâu h được mô tả ở hình vẽ 4. Chú ý trục tung của đồ thị không chia theo tỉ lệ. Còn độ rộng của hình thang thoả mãn điều kiện: 2a = )k2/( r (*) Quan hệ giữa các hệ số với độ rộng của khuyết tận cũng dễ tìm được. Bảng bên mô tả độ rộng của hố tương ứng với tần số cho hệ số phản xạ lớn nhất và hệ số truyền qua nhỏ nhất. f (Hz) k 2 k 1 k r 2a(m) 350 1.036792 0.606311 1.127719 1.392191 360 1.066415 0.623635 1.15994 1.353519 370 1.096038 0.640958 1.19216 1.316937 380 1.12566 0.658281 1.224381 1.282281 390 1.155283 0.675604 1.256601 1.249402 400 1.184906 0.692927 1.288822 1.218167 410 1.214528 0.71025 1.321042 1.188455 420 1.244151 0.727574 1.353263 1.160159 430 1.273774 0.744897 1.385484 1.133178 440 1.303396 0.76222 1.417704 1.107424 Kết quả cho thấy với sóng truyền trong đất với tần số xấp xỉ 400 Hz thì độ rộng của hố: 1.1 2a 1,35 (m). Với giá trị này hệ số phản xạ là lớn nhất, hệ số biến đổi sóng mặt thành các sóng khối cũng khá lớn còn hệ số truyền qua là nhỏ nhất. Tài liệu tham khảo [1]. H.S.Tuan, R.C.Li. Rayleigh wave reflection from groove , J.A.S.A vol55/ 1974 pp12122. [2]. Lê bá Sơn. Sự nhiễu xạ của sóng mặt Bleustein - Gulyaev ở khoảng không gian hình nêm. Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải số 1/2002 tr 99. [3]. Victorow. Rayleigh and Lambs wave, Plenum. New York, 1966 . giảm sự lan truyền sóng cơ trong đất tức là làm giảm sự lan truyền của sóng Rayleigh. Sóng Rayleigh truyền trong đất gặp các khuyết tật bề mặt một phần bị phản xạ, phần bị biến đổi thành sóng. các sóng cơ gây ảnh hưởng xấu đến các công trình xây dựng, đến sinh hoạt của cộng đồng. Nghiên cứu làm giảm sự lan truyền sóng cơ truyền trong đất là mục đích của bài này. Chú ý đến sự lan. tắt: Trong bài này chúng tôi trình bày sự lan truyền của sóng mặt Rayleigh khi gặp các khuyết tật mặt và phương pháp giảm ảnh hưởng của sự lan truyền sóng này. Summary: In the article, we