DIỄN TẢ QUY LUẬT TỪ BIẾN CỦA ĐÁ BẰNG CƠ HỆ PHỨC TẠP Nguyễn Xuân Mãn Viện Cơ học Ứng dụng Tóm tắt : Trong kỹ thuật xây dựng công trình ngầm và khai thác mỏ cần đề cập đến các bài toán về biến dạng của đá theo thời gian. Bài viết đề cập đến biến dạng từ biến của đá thông qua mô hình lưu biến phức tạp gồm phần tử cơ hệ Hook mắc nối tiếp với mô hình Kelvin, được mắc nối tiếp với mô hình Kennedi và phần tử Saint-Vennant. Đã rút ra các quy luật từ biến của đá ứng với các giá trị ứng suất thay đổi. I. Đặt vấn đề: Trong xây dựng công trình mà đá làm nền như xây dựng công trình ngầm, trong khai thác khoáng sản ở độ sâu trong lòng đất,…Chúng ta luôn gặp phải bài toán liên quan đến tính chất lưu biến của đất đá. Tính chất biến dạng của đất đá theo thời gian khi chịu tải là bài toán khá phức tạp trong cơ học đá. Đá có tính chất là phát triển biến dạng theo thời gian khi tải trọng tác động không đổi tính chất đó gọi là từ biến. Hiện tượng ứng suất giảm theo thời gian xảy ra trong đất đá khi biến dạng giữ nguyên không đổi được gọi là chùng ứng suất. Sau đây đề cập đến khả năng diễn tả tính từ biến của đá qua mô hình phức tạp, được hình thành từ các mô hình cơ bản liên kết theo sơ đồ sau: 212121 VSVSNNHHL tt −−−= (1) Trong công thức (1): L : - mô hình lưu biến phức tạp diễn tả tính chất biến dạng của đất đá. 21 ,HH :-Thành phần cơ bản Hook trong cơ hệ ứng với môđun đàn hồi và 1 E 2 E 21 , NN : - Thành phần cơ bản Newton trong cơ hệ tương ứng với độ nhớt 1 η và 2 η 21 , VSVS tt - thành phần cơ bản Saint-vennant tương ứng với ứng suất giới hạn lâu dài ∞ σ và ứng suất giới hạn phá hủy f σ σ ứng suất nền tác động lên mô hình. Công thức này minh họa bằng hình vẽ 1. σ 11 ;EH 11 ; ε σ 22 ;EH 22 ; ε σ 11 ; η N 33 ; ε σ 22 ; η N 44 ; ε σ 1 VS t ∞ σ 2 VS t f σ σ Hook Kelvin Kennedi Saint-Vennant Hình 1: Mô hình lưu biến phức tạp Qua hình 1 có thể thấy cơ hệ được lắp ghép nối tiếp bởi các mô hình sau: mô hình Hook mắc nối tiếp với mô hình Kelvin, sau đó mắc nối tiếp với mô hình Kennedi và nối tiếp với mô hình Saint-Vennant. Trên hình vẽ 1: 4321 ,,, σ σ σ σ ứng suất trong các thành phần và 121 ,, NHH 2 N 4321 ,,, ε ε ε ε biến dạng trong các thành phần và 121 ,, NHH 2 N Phân tích cơ hệ trên đây cho thấy: - Khi ∞ < σ σ trong cơ hệ chỉ có thành phần Hook và Kelvin hoạt động - Khi f σ σ σ <≤ ∞ trong cơ hệ có các thành phần Hook, Kelvin và Kennedi hoạt động - Khi f σ σ = các thành phần của cơ hệ đều hoạt động và cơ hệ dần dần bị phá hủy Như vậy quy luật từ biến của cơ hệ sẽ khác nhau tùy thuộc vào giá trị của σ II. Xác lập quy luật từ biến của cơ hệ: II.1. Trước hết xác định quy luật từ biến ứng với ∞ < σ σ Khi ∞ < σ σ cơ hệ có hai thành phần tham gia: Hook và Kelvin Khi đó 321 σ σ σ σ + = = (2) Và 3121 ε ε ε ε ε + = + = (3) 32 ε ε = (4) Do dt d dt d E 2 1 3 13222 ; ε η ε ησεσ === Thay vào (2), ta có: dt d E 2 1222 ε ηεσ += (5) Từ (3), ta có : 1 12 E σ εεεε −=−= , do đó thay vào (5) nhận được: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= dt d Edt d E E σε η σ εσ 1 1 1 2 1 (6) Biến đổi (6) và chú ý đến đặt: )( ; )( 21 21 21 1 EE EE E EE n g + = + = η Ta có: dt d nEE dt d n g ε ε σ σ 1 +=+ (7) Phương trình (7), diễn tả quy luật từ biến của cơ hệ khi ∞ < σ σ . Giải (7) với const== 0 σ σ , tức 0= dt d σ , khi nãy (7) có dạng: dt d nEE g ε εσ 1 += (8) Đặt 1 0 1 ; nE q nE E p g σ == , thì (8) có dạng: qp dt d =+ ε ε (9) Nghiệm tổng quát (9), có dạng: g g EnE E C 0 1 exp σ ε + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅= (10) Hằng số tích phân C xác định từ điều kiện sau: Khi thì 0=A 0 σ σ = và 1 0 0 E σ εε == Thay vào (10), ta có : 0 1 1 )( σ EE EE C g g − = Như vậy: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− += 12 00 1 0 1 1 0 exp exp )( nE tE EE nE tE EE EE E g g g g g g σσ ε σ σ ε (11) Đây chính là quy luật từ biến của cơ hệ khi ∞ < σ σ . Biểu đồ theo quy luật (11) được cho trong hình vẽ 2 g E 0 σ ε = ∞ 100 / E σ ε = ε t Hình 2: Quy luật từ biến của cơ hệ khi ∞ < σ σ Giả sử tại thời điểm với biến dạng 1 tt = 1 ε ta dỡ tải, tức 0 0 = = σ σ khi đó biến dạng của cơ hệ có bước nhảy đột ngột với giá trị 0 ε , kết hợp với (10), ta có: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅=− 1 1 01 exp nE tE C g εε (12) Từ đây: () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= nE tE C g 1 1 01 exp εε Đưa kết quả này vào (10) chú ý 0 0 = = σ σ , ta có: () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −= nE ttE g 2 1 01 )( exp εεε (13) Đường biểu diễn của quy luật này như trong hình vẽ 3 ∞ ε 0 ε ε t Hình 3: Quy luật từ biến khi dỡ tải và ∞ < σ σ II.2. Quy luật từ biến khi f σ σ σ < ≤ ∞ Khi ∞ ≥ σ σ cơ hệ có các thành phần Hook, Kelvin và Kennedi cùng hoạt động. Gọi các biến dạng trong các hệ thành phần là KH ε ε , và Ken ε Ta có : KenKH ε ε ε ε + + = (14) Hay dt d dt d dt d dt d Ken KH ε εε ε ++= (15) Do 1432 ;; ε ε ε ε ε ε ε = = = = HKenK và 2 2 1 2 3 1 32 1 1 1 ; E dt d E dt d E KH ε ησ ε ησ εεε σ εε − = − ===== ; 4 ε ε = Ken 22 44 2 2 2 2 1 1 ;; η σσ η σε ε ε η σ εσε ∞ − === − == dt d dt d E dt d dt d dt d dt d dt d Ken KH vì σ σ σ =+ ∞4 Đưa các kết quả trên đây vào (15) nhận được: 2 2 2 1 11 )( 11 η σσε η σσε ∞ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= dt d dt d Edt d Edt d (16) Mặt khác: KenH ε ε ε ε −−= 2 ; do đó đạo hàm 2 vế theo t, ta có: 21 2 )( 1 η σσ σε ε ε ε ε ∞ − −−=−−= dt d Edt d dt d dt d dt d dt d Ken H Từ đây: dt d dt d E dt d dt d σ η σε ε 2 2 2 1 2 2 2 2 2 11 −−= (17) Đưa (17) vào (16) và biến đổi, ta có: )( 111 21 2 11 2 21 2 2 11 2 2 2 2 ∞ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++=+ σσ ηη σ ηηη σε η ε E dt d E E dt d Edt d E dt d (18) Đây chính là phương trình trạng thái của cơ hệ khi f σ σ σ < ≤ ∞ Giải phương trình (18) cho trường hợp const = = 0 σ σ (trường hợp từ biến), ta đi đến giải phương trình )( 0 21 2 1 2 2 2 2 ∞ −=+ σσ ηη ε η ε E dt d E dt d (19) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất (19), có dạng: Rth εεε += trong đó: - là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất th ε 0 1 2 2 2 2 =+ dt d E dt d ε η ε và - nghiệm riêng của phương trình (19) R ε GiảI ra ta có: tt E EEE 2 0 1 2 0 22 1 0 22 1 1 0 )( exp)()( η σσ η σσ η η σσ η η σ ε ∞ ∞∞ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −+−−= (20) Đặt: )(; )( ;; )( 0 22 1 1 0 2 0 1 2 1 22 0 ∞ ∞∞ −−= − == − = σσ η η σ η σσ η η η σσ EE KJ E N E M và đưa vào (20), ta có: KJtNtM + + − = )exp( ε (21) khi 1 0 0 E KMt σ ε =+=⇒= Biểu đồ thể hiện quy luật (21) cho trong hình vẽ 4 ε t Hình 4: Quy luật từ biến của cơ hệ khi f σ σ σ < ≤ ∞ K α Jtg = α KJtNtMt + + − = )exp()( ε 1 0 0 E σ ε = KJtt + = )( ε III. Nhận xét và kết luận: Mô hình lưu biến phức tạp (L) có cấu tạo như (1) có thể diễn tả được quy luật từ biến của đá trong các trường hợp ứng suất có độ lớn thay đổi. - Khi ∞ < σ σ : Quy luật từ biến của cơ hệ rất gần với quy luật từ biến của đá trong tự nhiên (… ) cơ hệ không bị phá hủy …. Là đá ổn định lâu dài khi nằm trong lòng đất ở một độ sâu nào đó sao cho ứng suất nhỏ hơn độ bền lâu dài của đá ∞ σ . Quy luật từ biến khi dỡ tảI cũng phù hợp với kết quả thực nghiệm thu được [2] - Khi f σ σ σ <≤ ∞ : Quy luật từ biến là hàm tăng theo thời gian và tiệm cận với đường KJtt +=)( ε THE DESCRIPTIVE CREEP LAW OF ROCK BY THE COMPLEX MECHANIC SYSTEMS Nguyen Xuan Man Institute of Applied Mechanics Abstract: In the underground construction and the exploiting mine usually mention the strain problems of rock which depended on time. This paper mentioned the creep strain of rock by the complex rheology model. This model consist of a Hook model connected with a Kelvin model, a Kennedi model and the Saint-Vennant element. Since then, we took out the creep law of rock when the strain value is variable TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] - Nghiêm Hữu Hạnh. Cơ học đá. Nhà NXB Xây dựng, Hà Nội –2004 [2] - I.L.Chernhiav. Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về ổn định của đường lò cơ bản. Luận án tiến sỹ, M 1968. (Bản tiếng Nga) [3] - Lương Lãng. Nghiên cứu tính chất lưu biến của đá trong trường ứng suất biến đổi khi chịu uốn.Luận án tiến sỹ. M 1971. (Bản tiếng Nga) . chính là quy luật từ biến của cơ hệ khi ∞ < σ σ . Biểu đồ theo quy luật (11) được cho trong hình vẽ 2 g E 0 σ ε = ∞ 100 / E σ ε = ε t Hình 2: Quy luật từ biến của cơ hệ khi ∞ < σ σ . hình lưu biến phức tạp (L) có cấu tạo như (1) có thể diễn tả được quy luật từ biến của đá trong các trường hợp ứng suất có độ lớn thay đổi. - Khi ∞ < σ σ : Quy luật từ biến của cơ hệ rất. khác nhau tùy thuộc vào giá trị của σ II. Xác lập quy luật từ biến của cơ hệ: II.1. Trước hết xác định quy luật từ biến ứng với ∞ < σ σ Khi ∞ < σ σ cơ hệ có hai thành phần tham gia: