Một số bài toán tính tổng của chuỗi ppt

...Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi 1 thì sự hội tụ đó tương đương với Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi 1 hoàn toàn có thể chuyển sang việc xét sự tồn

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:

1.1 Các khái niệm cơ bản:

1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { }u Tổng vô hạn n

Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó

Tổng của n số hạng đầu tiên của (1)

S n = + + +u1 u2 u n

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1)

Định nghĩa: Nếu tồn tại limn S n S

tổng là S, ký hiệu

1

n n

Chuỗi

1

n n

1.2 Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:

1 2 1

giống như là một “ tổng vô hạn” Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là một tổng

vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số { }u Mặt n

khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên hệ như thế

nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và dãy số.

Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau

1

S , S , , 2 S , (2) n

trong đó

1 2 1

.

Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với

Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn

có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2)

1 n

n u

∞

=

phân kỳ do vi phạm điều kiện cần.

1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu:

∞

=

+ Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ

n n

1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert:

Cho chuỗi dương

1 n

n u

u u

+

+ Nếu lim n 1 1

n n

u u

+

n n

u u

u

+

→∞

tụ, nếu u>1 thì chuỗi (1) phân kì

1.3.2 Chuỗi đan dấu:

Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu 1

1

n n n

=

thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước

Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ

2 Nếu chuỗi

1 n

n u

Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ từng

số hạng Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng số hạng của hai chuỗi hội tụ hay không?

Cho hai chuỗi

0 n

n u

∞

=

nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy

riêng thứ n của các chuỗi

0 n

n u

0 1 1 0

Wn =u V n +u V n− + + u V n

Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối.

Đây là kết quả của định lí Cauchy

3.2.2 Định lí 5:(Cauchy)

Nếu hai chuỗi

0 n

n u

∞

=

chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng u v i k i k( , =1,2, ) sắp xếp theo một thứ tự

tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV.

Chú ý:

1 Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì.

Ví dụ: Xét chuỗi 1

1

1( 1)n

3 Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì

Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau

1

31

2

n n

n n n n

n n

∞

=

arctan arctan arctan

1 tan

x x

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI

BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng của chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy Bài toán tính tổng của chuỗi có thể chia ra các dạng như sau:

2.1 Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng riêng của chúng:

* Để xác định số hạng tổng quát của chuỗi số khi biết trước dãy tổng riêng

ta lấy tổng riêng thứ n trừ đi tổng riêng thứ n-1.

Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi

1 n

n u

∞

=

n

+ −

=

của chúng Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy Đó chính là

dạng toán sau

2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:

* Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích

số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi Từ bài toán xuất phát sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số

hạng tổng quát của chuỗi

2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi

2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng { }a với các số hạng khác không và n

lại chuỗi như sau

Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết quả

Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi

Tổng riêng thứ n của chuỗi

giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em xem

kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!)

Giải:

Số hạng tổng quát của chuỗi là

Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau

Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi 2

1

1arctan

arctan 2 1

1

n u

=

+ +

1arctan

Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi

3

1

os 3( 1)

3

n n

n n

Sau đây là một dạng khác của bài toán tính tổng của chuỗi số

2.3 Các bài toán tính tổng của chuỗi có sử dụng các đồng nhất thức.

Trong phần này chúng ta có thể sử dụng một số đồng nhất thức quen thuộc

để phân tích số hạng tổng quát của chuỗi

Bài toán 2.3.1: Dùng đồng nhất thức cot 2cot(2 ) tan , ,

Từ đồng nhất thức cot 2cot(2 ) t anx, ,

Như vậy, tổng của chuỗi là

b b x

b +x

−+

Với 0< <b 1 thì limn→∞arctanb x n =0 Do đó tổng của chuỗi là

S limn S n lim(arctann x arctanb x n ) arctanx

→∞ →∞

Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác Trước hết, ta

xét bài toán tổng quát sau:

2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm f và

g thỏa mãn điều kiện ( ) a ( ) f x = f bx +cg x( ).

(a) Chứng minh rằng nếu limn→∞a f b x n ( n )=L x( ) tồn tại thì

0

n n n

n n n

2 ( 2 ) a 1 ( 1 ) 2 ( 2 )

a f b x− − = − f b x− +ca g b x− − ………

∞

=

Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler e iα =cosα +isinα tính tổng của hai chuỗi

1os

n n

n n

Giả sử { } { }U n , V lần lượt là dãy tổng riêng tương ứng của hai chuỗi (a) và n

(b) và U,V lần lượt là tổng của chúng

Dùng công thức Euler e iα =cosα +isinα ta viết

n

a u

=

Đây là điều cần chứng minh.

Áp dụng bài toán tổng quát 2.4.1 trên ta xét các bài toán cụ thể sau:

Bài toán 2.4.1.1: Tính tổng của chuỗi

n n

2

1 1

1 1 2

41

Theo (*) ta đánh giá 0 < u a n n+1

1 1

Kết hợp với (ii) được

Thật vậy, sử dụng đẳng thức a n+1 = +a n a n−1, biến đổi vế phải được

n n n n

=

trước dãy tổng riêng { }S : n

3 sin

3

n

n n

=

∑

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT

CỦA CHUỖI

Ta biết rằng chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” tức là các số hạng

có thể nhóm lại với nhau tùy ý, khi ấy tổng của chuỗi không thay đổi Còn tính chất giao hoán đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức là các số hạng của chuỗi có thể

đổi chỗ cho nhau theo thứ tự bất kì và tổng của chuỗi đó vẫn giữ nguyên Tuy

nhiên, tính chất giao hoán không còn đúng với chuỗi bán hội tụ.

Bài toán 3.1: Chứng minh rằng

1 n

n u

∞

=

thứ tự tự nhiên của nó hội tụ

∞

=

∑

Đây là điều cần chứng minh.

Bài toán 3.2: Chứng minh rằng chuỗi u1+ + +u2 u p2−1−u p2 − − u p3−1 +u p3 + (1)

1 1

1 2 1

n

p n

Giả sử chuỗi (1) hội tụ Khi đó, dãy con tùy ý của dãy tổng riêng của nó cũng

chuỗi (2) hội tụ Vậy chuỗi (2) hội tụ

i p u

Bài toán 3.3: Chứng minh rằng tổng của chuỗi hội tụ không thay đổi nếu ta đổi chỗ

các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí ban đầu của

nó lớn hơn m chỗ, trong đó m là số đã cho trước

Chứng minh:

Giả sử chuỗi

1 n

n u

S là dãy tổng riêng của chuỗi nhận được sau

khi đã đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí

Bài toán 3.4: Tính tổng của chuỗi

Vậy tổng của chuỗi là ln2.

Áp dụng kết quả bài toán 3.4 vào hai bài toán sau

Bài toán 3.4.1: Tính tổng của chuỗi 1

Vậy tổng của chuỗi là ln2.

Bây giờ, với chuỗi điều hòa đan dấu

Bài toán 3.6: Biết rằng

nhóm, tiếp đến q số hạng âm liên tiếp vào một nhóm thì chuỗi mới này có tổng

2

p q

Giả sử p q> , gọi S là dãy tổng riêng của chuỗi (2) và n S S lần lượt là tổng của 1, 2

Trong biểu thức của S ta thêm và bớt đi n 1 1 1 1

Ta xét hai trường hợp sau:

3 2 5 7 4

Trường hợp 2: p 1= , q=2

Ta thay đổi thứ tự của chuỗi

2 4 3 6 8

Dựa vào kết quả bài toán 3.6 ta xét các bài toán sau:

Bài toán 3.6.1: Chứng minh rằng

sau mỗi một phần tử dương

Theo chứng minh bài toán 3.7 ta có

Theo bài toán 3.7 đổi chỗ các số hạng của chuỗi

dương liên tiếp vào một nhóm, tiếp đến q số hạng âm liên tiếp vào một nhóm thì

Ta có

n u

Trên đây là các bài toán xoay quanh đến tính chất của chuỗi số Bên cạnh

đó ta cũng đã xem xét các tính chất của chuỗi đặc biệt là chuỗi điều hòa đan dấu.

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN CÁC PHÉP TOÁN

CỦA CHUỖI

Ta biết rằng tổng hiệu của hai chuỗi hội tụ là một chuỗi hội tụ và tổng của nó chính là tổng hiệu của các số hạng của chuỗi Hơn nữa, tích cauchy của hai chuỗi hội tụ là một chuỗi hội tụ và tổng của chúng chính là tích của hai tổng

Bài toán 4.1: Cho hai dãy dương { }u và n { }v đơn điệu giảm về 0 Chứng minh n

rằng tích cauchy của các chuỗi

0

( 1)n

n n

∑ hội tụ Do đó lim wn→∞ n =0 Vì hai dãy dương { }u và n { }v đơn n

điệu giảm về 0 nên

Bài toán: Cho hai chuỗi hội tụ

0 n

n u

Dựa vào bài toán trên ta cần chỉ ra rằng

Từ bài toán 4.1 ta biết được điều kiện cần và đủ để tích cauchy của hai chuỗi

bất kì hội tụ là hội tụ Sau đây là một số bài toán tính tổng cụ thể liên quan đến các phép toán của chuỗi

Bài toán 4.2: Tính tổng của chuỗi

1

2os3

2n n

n n n

n n n

n n n

k k n

e n

n n

1 !

n n

v n

1w

n k n

n k