Một số bài toán tính tổng của chuỗi ppt

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: 1.1. Các khái niệm cơ bản: 1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số { } n u . Tổng vô hạn 1 2 1 n n n u u u u ∞ = + + + + = ∑ (1) được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số n u được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1). Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. Tổng của n số hạng đầu tiên của (1) 1 2 n n S u u u= + + + được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1). Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số { } n S , và gọi là dãy tổng riêng. Định nghĩa: Nếu tồn tại lim n n S S →∞ = (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S, ký hiệu 1 n n S u ∞ = = ∑ . Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ. 1.1.2 Định nghĩa 2: Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là số thực = − n n r S S . Ta có lim lim( ) 0 n n n n r S S S S →∞ →∞ = − = − = . 1.1.3 Định nghĩa 3: - Chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ (suy ra chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ cũng hội tụ). - Chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ nhưng chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ phân kỳ. 1.1.4 Định nghĩa 4: Trang 1 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ được gọi là chuỗi số dương nếu 0,≥ ∀ n u n . 1.1.5 Định nghĩa 5: Chuỗi số có dạng ( ) 1 1 1 , 0, n n n n u u n ∞ − = − > ∀ ∑ (3) được gọi là chuỗi đan dấu. 1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số: Về hình thức, kí hiệu 1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + + ∑ giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là một tổng vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số { } n u . Mặt khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên hệ như thế nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và dãy số. Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau 1 S , 2 S , , n S , (2) trong đó 1 2 1 n n k n k S u u u u = = = + + + ∑ . Ngược lại, cho trước dãy số { } n S . Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng: 1 2 1 n n n u u u u ∞ = + + + + = ∑ ở đó 1 1 u S= , 2 2 1 u S S= − , 1n n n u S S − = − , Trang 2 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số nhận dãy { } n S làm dãy tổng riêng. Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng { } n S . Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2). Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ là lim 0 n n u →∞ = và nếu n u không dần tới số không khi n → ∞ thì chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ phân kì, khi đó ta nói chuỗi phân kỳ do vi phạm điều kiện cần. 1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu: 1.3.1 Chuỗi số dương: 1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh: Cho hai chuỗi dương 1 n n u ∞ = ∑ (1) và 1 n n v ∞ = ∑ (2). Giả sử , n n u v n≤ ∀ . Khi đó + Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ. + Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì. Đặc biệt, nếu lim 0, n n n u k k v →∞ = ≠ ≠ ∞ thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. 1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert: Cho chuỗi dương 1 n n u ∞ = ∑ (1) . Khi đó + Nếu 1 lim 1 n n n u u + →∞ < thì chuỗi (1) hội tụ. Trang 3 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số + Nếu 1 lim 1 n n n u u + →∞ > thì chuỗi (1) phân kì. Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn 1 lim n n n u u u + →∞ = , khi đó nếu 1u < thì chuỗi (1) hội tụ, nếu 1u > thì chuỗi (1) phân kì. 1.3.2 Chuỗi đan dấu: Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu 1 1 ( 1) , 0, n n n n u u n ∞ − = − > ∀ ∑ . Nếu dãy số { } n u đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ. 2. Các tính chất của chuỗi số: Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu hạn. 2.1 Tính chất kết hợp: Cho chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ và { } k m là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt 1 1 1 2 m v u u u= + + + , 1 1 2 2 1 2 m m m v u u u + + = + + + , Khi đó nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ thì chuỗi 1 n n v ∞ = ∑ cũng hội tụ và hai chuỗi có tổng bằng nhau. Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì không đúng. Ví dụ: Chuỗi (1-1)+(1-1)+ +(1-1)+ là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi 1-1+1-1+ +1-1+ Trang 4 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số là chuỗi phân kì. 2.2 Tính chất giao hoán: 2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet) Nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi 1 n n v ∞ = ∑ thành lập bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng n u của chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S. 2.2.2 Định lí 2:(Riemann) Nếu chuỗi số 1 n n u ∞ = ∑ bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước. Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ. 3. Các phép toán về chuỗi: 3.1 Cộng các chuỗi: 3.1.1 Định lí 3: Nếu các chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ và 1 n n v ∞ = ∑ hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng số thì các chuỗi 1 ( ) n n n u v ∞ = ± ∑ , 1 n n ku ∞ = ∑ cũng hội tụ và 1. 1 ( ) n n n u v ∞ = ± ∑ = 1 n n u ∞ = ∑ ± 1 n n v ∞ = ∑ =U ± V; 2. 1 n n ku ∞ = ∑ =k 1 n n u ∞ = ∑ =kU. Chú ý: 1. Nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ phân kì và chuỗi 1 n n v ∞ = ∑ hội tụ thì chuỗi 1 ( ) n n n u v ∞ = ± ∑ phân kì. Trang 5 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 2. Nếu chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi 1 n n ku ∞ = ∑ phân kì. 3. Nếu cả hai chuỗi 1 n n u ∞ = ∑ và 1 n n v ∞ = ∑ phân kì thì chuỗi 1 ( ) n n n u v ∞ = ± ∑ có thể hội tụ hoặc phân kì. 3.2 Nhân các chuỗi: Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ từng số hạng. Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng số hạng của hai chuỗi hội tụ hay không? Cho hai chuỗi 0 n n u ∞ = ∑ và 0 n n v ∞ = ∑ , tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi 0 w n n ∞ = ∑ , trong đó 0 1 1 0 w , n n n n u v u v u v n − = + + + ∀ . 3.2.1 Định lí 4:(Mertens) Giả sử các chuỗi 0 n n u ∞ = ∑ và 0 n n v ∞ = ∑ hội tụ và có tổng lần lượt là U và V. Khi đó, nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy 0 w n n ∞ = ∑ của chúng hội tụ và 0 w n n ∞ = ∑ UV= . Chứng minh: Giả sử chuỗi 0 w n n ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu , ,W n n n U V lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi 0 n n u ∞ = ∑ , 0 n n v ∞ = ∑ , 0 w n n ∞ = ∑ . Khi đó 0 1 1 0 W n n n n u V uV u V − = + + + Trang 6 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Vì 0 n n v V ∞ = = ∑ nên n n V V r= − với lim 0 n n r →∞ = . Vậy 0 1 1 0 W ( ) n n n n n VU u r u r u r − = + + + + . Bây giờ ta chứng minh 0 1 1 0 lim( ) 0 n n n n u r u r u r − →∞ + + + = . Thật vậy, lấy ε 0> bé tùy ý và m, M như sau: n r m≤ với 0n ≥ , 0 n n M u ∞ = = ∑ . Khi đó, ,k l∃ ∈¥ sao cho với n k≥ thì 2 n r M ε ≤ và với 1n l≥ + thì 1 2 l n u u m ε + + + < . Như vậy, với n l k≥ + thì ta có 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ( ) ( ) n n n n n l n l l n l n u r u r u r u r u r u r u r u r − − − + − + + + + ≤ + + + + + + 0 1 1 ( ) ( ). 2 l l n u u u u u m M ε + ≤ + + + + + + . . 2 2 M m M m ε ε ε < + = . Do đó 0 1 1 0 lim( ) 0 n n n n u r u r u r − →∞ + + + = . Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh. W Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối. Đây là kết quả của định lí Cauchy. 3.2.2 Định lí 5:(Cauchy) Nếu hai chuỗi 0 n n u ∞ = ∑ và 0 n n v ∞ = ∑ hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng ( , 1,2, ) i k u v i k = sắp xếp theo một thứ tự tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV. Chú ý: Trang 7 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1. Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì. Ví dụ: Xét chuỗi 1 1 1 ( 1) n n n ∞ − = − ∑ là chuỗi bán hội tụ. Gọi 1 w n n ∞ = ∑ là tích Cauchy của 1 1 1 ( 1) n n n ∞ − = − ∑ với chính nó. Khi đó 1 1 1 1 w ( 1) 1. . 1 .1 n n n k n k n −   = − + + + +  ÷ − +   Ta có 1 1 1 1 1 1 w . 1 n n n n n n k n k n   = + + + + > + + +  ÷ − +   1 44 2 4 43 . Suy ra w 1 n > tức là 1 w n n ∞ = ∑ phân kì (do vi phạm điều kiện cần). Vậy chuỗi 1 w n n ∞ = ∑ phân kì. W 2. Tích Cauchy của một chuỗi dương hội tụ và chuỗi dương phân kì thì phân kì. Chứng minh: Giả sử 0 n n u ∞ = ∑ và 0 n n v ∞ = ∑ lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi 0 w n n ∞ = ∑ là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên. Khi đó 0 1 1 0 0 w n n n n n u v u v u v u v − = + + + > . Vì chuỗi 0 n n v ∞ = ∑ phân kì nên chuỗi tích Cauchy 0 w n n ∞ = ∑ cũng phân kì. Vậy ta có điều phải chứng minh. W 3. Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì. Trang 8 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau 1 3 1 2 n n ∞ =   −  ÷   ∑ và 1 1 1 3 1 1 2 2 2 n n n n − ∞ + =     + +  ÷  ÷     ∑ Giả sử 0 w n n ∞ = ∑ là tích Cauchy của hai chuỗi trên. Khi đó 0 1 1 0 w n n n n u v u v u v − = + + + 1 0 0 1 n n n k n k k u v v u u v − − = = + + ∑ trong đó 1 0 0 1 3 3 1 1, , (2 ) 2 2 2 n n n n n n u v u v − +     = = = − = +  ÷  ÷     . Do đó 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 w (2 ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n k n n n k k − − − − + − + =         = + − − +  ÷  ÷  ÷  ÷         ∑ 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 2 3 3.2 3 2 n n n n k n n k k + − − − + =       = + − − +  ÷  ÷         ∑ 3 1 . 2 2 n n   =  ÷   3 4 n   =  ÷   mà chuỗi 1 3 4 n n ∞ =    ÷   ∑ là chuỗi hội tụ. 3.2.3 Định lí 6:(Abel) Nếu hai chuỗi 0 n n u ∞ = ∑ và 0 n n v ∞ = ∑ hội tụ và có tổng lần lượt là U,V và nếu tích Cauchy của hai chuỗi trên hội tụ về W thì W UV= . 4. Một số kiến thức cần lưu ý: 4.1 Kiến thức 1: Nếu n n n z x iy= + là dãy số phức và lim n n x x →∞ = , lim n n n y y →∞ = thì lim n n z x iy →∞ = + . 4.2 Kiến thức 2: Trang 9 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số arctan arctan arctan 1 a b a b ab − − = + , với ,a b∈¡ Chứng minh: Ta đặt arctan , arctanx a y b= = . Từ công thức ( ) tan tan tan 1 tan tan x y x y x y − − = + 1 a b ab − = + . Suy ra điều phải chứng minh. W 4.3 Kiến thức 3: cot 2cot(2 ) tan , , 2 x x x x k k π = + ≠ ∈¢ . Chứng minh: Từ công thức 2 2tan tan 2 1 tan x x x = − , , , 4 2 2 x k x k k Z π π π π ≠ + ≠ + ∈ ta suy ra 2 tan 2 tan 2 tan 2tanx x x x− = . Chia hai vế của đẳng thức cho tan 2 tanx x với , 2 x k k Z π ≠ ∈ ta được cot 2cot(2 ) tanx x x= + . Đó là điều cần chứng minh. W Trên đây là một số kiến thức cơ sở về chuỗi số bao gồm các định nghĩa, các tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ năng biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau. Trang 10 [...].. .Một số bài toán tính tổng của chuỗi số CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI BẰNG ĐỊNH NGHĨA Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng của chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy Bài toán tính tổng của chuỗi có thể chia ra các dạng như sau: 2.1 Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng riêng của chúng: * Để xác định số. .. quát thành các số hạng có tính chất truy hồi Từ bài toán xuất phát sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi Trang 12 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1 ∞ 2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi ∑ n(n + 1) n =1 Giải: Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau un = 1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1 Tổng riêng thứ n của chuỗi Sn = u1... 3    Như vậy, tổng của chuỗi là: S = lim S n = n →∞ 53 144 Việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi cần có kỹ năng phân tích để sau khi lập tổng riêng thứ n ta được biểu thức thu gọn Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi ∞ ∑ arctan n n =1 2 1 + n +1 Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là Trang 16 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 1 = arctan 1 un... n Và đặt bn = a1a2 an Tính ∞ ∑b n =1 n Trang 31 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA CHUỖI Ta biết rằng chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp một chiều” tức là các số hạng có thể nhóm lại với nhau tùy ý, khi ấy tổng của chuỗi không thay đổi Còn tính chất giao hoán đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức là các số hạng của chuỗi có thể đổi chỗ cho... + ab π Tổng của chuỗi là S = lim Sn = lim arctan n 2011 = n →∞ n →∞ 2 Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng quát của chúng Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy Đó chính là dạng toán sau 2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi: * Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích số hạng tổng quát... + nd  Tổng riêng thứ n của chuỗi Trang 13 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Sn = u1 + u2 + + un = 1 1 1   − ÷ d  a1 a1 + nd  1 1 1  1 Tổng của chuỗi cần tìm là S = lim Sn = lim  − ÷= n →∞ n →∞ d  a1 a1 + nd  a1d Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết quả ∞ Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi 1 ∑ n( n + m) , m ∈ N n =1 Giải: Số hạng thứ n của chuỗi. .. 1) − ln(n + 1) 2n + 1 = ln n +1 Khi đó, tổng của chuỗi là S = lim S n = lim ln n →∞ n →∞ 2n + 1 = ln 2 n +1 Trang 17 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số cos3 3n x Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi ∑ (−1) n =1 3n ∞ n Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là un = (−1) n 3 Sử dụng đồng nhất thức cos x = 4cos cos3 3n x 3n x x − 3cos ta phân tích được số hạng tổng 3 3 n +1 cos3n x x n cos3 + (−1) quát... vậy, tổng của chuỗi là 1 1 1 1 − )= S = lim S n = lim ( n →∞ n →∞ k 1.2 k (n + 1) (n + k ) k k ! n2 Bài toán 2.2.5.2: Tính tổng của chuỗi ∑ (Cô ơi, xem n =1 ( n + 1)( n + 2)( n + 3)( n + 4) ∞ giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em xem kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!) Giải: Trang 15 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Số hạng tổng quát của chuỗi. .. tới không Suy ra limSnk = lim S k hay chuỗi (1) hội tụ k →∞ Trang 33 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Bài toán 3.3: Chứng minh rằng tổng của chuỗi hội tụ không thay đổi nếu ta đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho mỗi một số hạng đó không đi xa vị trí ban đầu của nó lớn hơn m chỗ, trong đó m là số đã cho trước Chứng minh: Giả sử chuỗi ∞ ∑u n =1 n hội tụ có tổng là S Khi đó, ∀ε > 0, ∃N (ε ) sao... để tính tổng của hai chuỗi có dạng ∞ ∑f n =1 ∞ n (sinx) và ∑ f n (cos x) trong bài toán tính tổng sau: n =1 Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler eiα = cosα + isin α tính tổng của hai chuỗi ∞ ∑ q cosnα n =1 n (a) và ∞ ∑q n =1 n sin nα (b) ( q < 1 ) Giải: Giả sử { U n } ,{ Vn } lần lượt là dãy tổng riêng tương ứng của hai chuỗi (a) và (b) và U,V lần lượt là tổng của chúng Trang 21 Một số bài toán . xét các bài toán liên quan sau Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi 2 1 1 arctan 1n n n ∞ = + + ∑ . Giải: Số hạng tổng quát của chuỗi là Trang 16 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số 2 1 arctan 1 n u n. các tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ năng biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau. Trang 10 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số . − + + = + Khi đó, tổng của chuỗi là S 2 1 lim limln ln 2 1 n n n n S n →∞ →∞ + = = = + . Trang 17 Một số bài toán tính tổng của chuỗi số Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi 3 1 os 3 ( 1) 3 n n n n c