Báo cáo khoa học: "Các mô hình cơ học của vật liệu đàn hồi - nhớt - dẻo và giải pháp tính toán kết cấu áo đ-ờng có xét đến đặc tính của vật liệu bê tông asphalt" pot

Các mô hình cơ học của vật liệu đμn hồi - nhớt - dẻovμ giải pháp tính toán kết cấu áo đường có xét đến đặc tính của vật liệu bê tông asphalt ThS.. Bằng việc phân tích các mô hình cơ học

Các mô hình cơ học của vật liệu đμn hồi - nhớt - dẻo

vμ giải pháp tính toán kết cấu áo đường có xét đến

đặc tính của vật liệu bê tông asphalt

ThS trần thị kim đăng

Bộ môn Đường bộ Khoa Công trình - Trường Đại học GTVT

Tóm tắt: Bμi báo đề cập đến vấn đề thông số mô đun đμn hồi tính toán của vật liệu bê

tông asphalt để đưa vμo tính toán kết cấu áo đường với giả thiết hệ kết cấu nền mặt đường lμ

hệ nhiều lớp đμn hồi Bằng việc phân tích các mô hình cơ học mô phỏng đặc tính cơ bản của

vật liệu bê tông asphalt, tác giả muốn đưa ra hướng cho giải pháp tính toán kết cấu áo đường

mềm có xét đến đặc tính đμn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu

Summary: The issue mentioned herein is parameter of resilient modulus of asphalt

concrete to calculate flexible pavement in assumption of elastic multi - layers system There are

some mechanical models to simulate basic characteristics such as visco, elastic and plastic of

asphalt concrete The solution of considering basic characteristics of asphalt concrete in

calculating flexible pavement is shown by analyzing these models

i Các mô hình cơ học thể hiện đặc tính

biến dạng của vật liệu đμn hồi - nhớt - dẻo

Đặc tính biến dạng của bitum và của bê

tông asphalt sử dụng chất dính kết là bitum

thể hiện tính chất phức tạp của vật liệu: đàn

hồi - nhớt - dẻo Với loại vật liệu này, người ta

có thể sử dụng nhiều mô hình cơ học khác

nhau phù hợp với điều kiện chịu tải trọng thực

tế khác nhau

Hình 1 Các mô hình cơ học của vật liệu

đμn hồi, nhớt, chảy dẻo

ở điều kiện nhiệt độ thấp có thể dùng mô hình Maxvel thể hiện đặc điểm vật liệu

đàn hồi - nhớt Mô hình gồm một lò xo đàn hồi

lý tưởng ghép nối tiếp với piston chất lỏng nhớt lý tưởng Biến dạng đàn hồi phát sinh phát sinh ở lò xo ngay khi có lực tác dụng vào

hệ mô hình và biến dạng nhớt phát sinh tại piston và biến dạng này phát triển liên tục trong suốt thời gian tác dụng của lực Như vậy, tại mỗi thời điểm, biến dạng tổng là tổng biến dạng đàn hồi của lò xo và biến dạng không hồi phục của piston chất lỏng nhớt

Mô hình

đàn hồi

Mô hình

dẻo

Mô hình Maxwell

Mô hình

Kelvin Mô hình Burgers Mô hình tổng hợp

) T

t 1 ( E

t

λ

σ + σ

= ε với T0 =λ0/E0 là thời gian nghỉ

Để mô phỏng cả đặc tính đàn hồi chậm của bitum, Kelvin đưa ra mô hình gồm một lò

xo đàn hồi lý tưởng ghép song song với một piston chất lỏng nhớt lý tưởng Với mô hình này trị số biến dạng tương đối của hai yếu tố

đều bằng nhau và ứng suất tổng bằng tổng hai ứng suất như sau:

∂

ε

∂ λ + ε

= σ nếu ứng suất tác dụng là không đổi, ta có:

∫

ε

λ

=

ε

ư

σ

ε

0

t

0 1

1

dt

E

d

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ư

ư σ

= ε

1

1 exp 1 E với T1=λ1/E1 là thời gian trễ

Để thể hiện tính chất thực của bitum cũng

như của bê tông asphalt sử dụng làm mặt

đường, Buger đề nghị mô hình bao gồm mô

hình Maxvel ghép nối tiếp với mô hình Kelvin

Biến dạng tổng theo mô hình này là tổng biến

dạng của mô hình Maxvel với biến dạng theo

mô hình Kelvin:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

ư

ư σ +

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+

σ

=

ε

1 1

0

1 exp 1 E T

t 1

E

Trong công thức, biến dạng tổng gồm 3

thành phần: biến dạng đàn hồi tức thời, biến

dạng dẻo, và biến dạng đàn hồi chậm Các

thành phần biến dạng thể hiện trong đường

cong biến dạng theo thời gian như sau:

Hình 2 Các thμnh phần biến dạng

theo mô hình Buger

ii Mô đun phức của vật liệu bê tông

asphalt với đặc tính vật liệu

Mô đun phức được định nghĩa là tổng

cường độ chống lại biến dạng của vật liệu có

tính đàn hồi - nhớt - dẻo khi chịu ứng suất tác

dụng xung lặp Mô đun phức gồm hai thành phần: thành phần đàn hồi và thành phần chảy Các thông số đại diện là mô đun tổng

và góc pha Hai thông số này thể hiện rất rõ tính chất của vật liệu ở các điều kiện nhiệt độ

và gia tải khác nhau Các giá trị khác nhau của mô đun tổng hợp và của góc pha cho thấy tính chất của bitum sẽ thiên về đàn hồi hay chảy dẻo theo tương quan giữa thành phần

đàn hồi và thành phần dẻo

E"

E*

φ

T/p đàn hồi E'

E"

E*

φ T/p đàn hồi E'

Hình 3 Các thμnh phần của mô đun tổng hợp

của hai vật liệu có cùng giá trị mô đun phức, nhưng có tính chất khác nhau

Mô đun đàn hồi phức được thể hiện như sau:

Thành phần biến dạng tức thời

Thành phần biến dạng theo thời gian

Thành phần biến dạng phát triển chậm

E*= E' + i E"

E*= ⎢E* ⎢cos Φ + i ⎢E* ⎢sin Φ với E*: mô đun phức

⎢E* ⎢: mô đun động, được tính theo ứng suất và biến dạng cực đại

0 0

* E ε

σ

Φ = trễ pha giữa biến dạng và ứng suất 360

x t

t

p i

= φ

ti = thời gian trễ giữa chu kỳ biến dạng và ứng suất

tp ; thời gian của chu kỳ ứng suất i: hệ số thành phần chảy

với vật liệu đàn hồi thuần tuý, Φ = 0; với vật liệu chảy thuần tuý (chất lỏng), Φ = 900

Hình 4 Thí nghiệm môđun đμn hồi động

iii Giải pháp tính toán kết cấu mặt

đường mềm có xét đến tính chất

đμn hồi - nhớt, dẻo của vật liệu

Vật liệu có tính chất đàn hồi - nhớt - dẻo

có cả đặc tính đàn hồi của một vật rắn và biểu

hiện chảy - dẻo của chất lỏng Do thành phần

chảy - dẻo, vật liệu có biến dạng phụ thuộc

thời gian Thời gian càng dài thì biến dạng

càng lớn Về mặt nguyên tắc, có thể áp dụng

chuyển đổi Laplace với biến chuyển đổi p để

loại bỏ biến số thời gian, như vậy đưa bài toán

về bài toán đàn hồi với những thông số phụ

thuộc thời gian thể hiện tính chất chảy - dẻo

Sau khi giải ra kết quả, lại sử dụng phép

nghịch đảo Laplace cho bài toán đàn hồi để

đưa biến số chuyển đổi p về biến phụ thuộc

thời gian cho các lời giải của bài toán đàn hồi -

dẻo

Để dễ dàng áp dụng chuyển đổi Laplace,

các mô hình cơ học đề cập ở phần trên có thể

được thể hiện bằng các toán tử Đặt

t

D= ∂∂

Đối với lò xo đàn hồi: σ E= εhay

ε

σ

= E

Đối với pitton:

t δ

δε λ

=

ε σ

Trong mô hình Maxwell với lò xo và pitton

nối tiếp, biến dạng tổng bằng tổng biến dạng

D

σ + σ

= ε

1 D T

D T E ) D /(

1 E / 1

1

0

0 0 0

= ε

σ

σ,ε

0 0

0 /E

T =λ

ε0

Trong mô hình Kelvin với một lò xo nối song song với một pitton, ứng suất tổng bằng tổng hai ứng suất:

ε0sin(ωt-Φ)

t

ε λ + ε

=

1 1 1

= ε σ

Đối với mô hình tổng hợp với một mô hình Maxwell mắc nối tiếp với n mô hình Kelvin, chúng ta có:

∑ +

+ +

= ε

σ

n

1 1 1 0

0

0

) 1 D T ( E

1 D

T E

1 D T

1

Như vậy, ứng với một mô hình nhất định

đều có thể biểu diễn mô đun đàn hồi - dẻo của vật liệu được mô phỏng bằng mô hình đó bằng các thông số tương ứng của vật liệu đàn hồi lý tưởng và chất lỏng lý tưởng

Chuyển đổi Laplace được định nghĩa như sau:

[ ] ∫=∞ ư 0

pt

dt e ) t ( F ) t ( F L

trong đó F(t) là hàm số theo thời gian và p là biến chuyển đổi Sau khi tích phân và đưa vào các giới hạn của t, F sẽ thành hàm số của biến chuyển đổi p

Nếu tác dụng tải trọng phân bố q là hằng

số không phụ thuộc vào thời gian, chuyển đổi Laplace của q là:

p

q I e p

q dt qe ) q ( L

0

pt

=

với p là biến chuyển đổi và dấu gạch trên

ký hiệu là chuyển đổi Laplace Chuyển đổi Laplace của e-t/T cũng được xác định bằng:

[ ]dt

e dt e e

)

e

(

L

t T / ) 1 Tp ( pt

T / T

/

+

ư

ư

ư

1 Tp

T I

e 1 Tp

T

0 t T / 1 Tp

+

= +

ư

Phương trình biểu diễn các mô hình của

vật liệu đàn chảy thể hiện quan hệ giữa ứng

suất - chuyển vị của vật liệu đàn dẻo dưới

dạng phương trình vi phân (∂/∂t) với cấp càng

cao nếu mô hình càng phức tạp

Để loại bỏ biến t, các chuyển đổi Laplace

được áp dụng cho ứng suất hay chuyển vị ở

mỗi vế của phương trình Ví dụ như ta lấy đạo

hàm bậc nhất dσ/dt, ví dụ:

σ =∞∫ σeư dt=∞∫eư dσ=

dt

d )

dt

d

(

L

pt pt

=σ ư ∞ư∞∫σ ư

0

pt 0

pt

) e ( d I

e

nếu ta có σ = 0 tại t = 0 thì số hạng thứ nhất

= 0 hay ta có:

∫

∞

σ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ σ

0

pt

p dt e p dt

d

L

Như vậy có thể thấy chuyển đổi Laplace

của ∂σ/∂t hay của Dσ là việc thay thế D bằng

p và σ bằng σ

Với đạo hàm bậc 2, ta có

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ σ

= σ

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ σ

∫

∫ ư ∞ ư

∞

0

pt pt

0 2

2 2

2

dt

d d e dt e dt

d dt

d

L

) e ( d dt

d e

dt

0 o

ư

∫ σ

ư σ

=

Nếu dσdt = 0 tại t = 0, số hạng đầu tiên

= 0 hay:

σ

= σ

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

∫ pt 2 0

2

2

p dt e dt

d p dt

d

L

Như vậy, chuyển đổi Laplace của đạo

hàm bậc 2 thay D2 bằng p2 Có thể làm tương

tự với các đạo hàm bậc cao hơn bằng cách thay Dn bằng pn Bằng cách này ta có thể xác

định được chuyển đổi Laplace của mô đun Young của vật liệu đàn chảy sẽ là:

) p ( f

ε

σ

=

Khi tính toán bằng máy tính thì có thể áp dụng tính trực tiếp theo phương trình:

( )

∑

+ +

=

n 1

i i i 0

0

0

1 p T E

1 p

T E

1 p T

1 E

Riêng đối với chuyển vị và độ võng, có thể xác định chuyển đổi Laplace của chúng, sau đó chuyển đổi biến p trong phương trình xác định chuyển vị hay độ võng về biến thời gian như một ví dụ đơn giản sau:

Bán không gian đồng nhất, đàn hồi - chảy có mô đun đàn - chảy được mô phỏng bằng mô hình Kelvin và hệ số Poisson xem như không thay đổi theo thời gian là μ Để tính

độ võng trên bề mặt bán không gian tại tâm của tải trọng phân bố q trên đường tròn bán kính a, ta có công thức theo lời giải bài toán Boussinesq là:

( )

E

qa 1

2 w

2 0

μ

ư

=

Chuyển đổi Laplace của độ võng có thể

được tính tương ứng với chuyển đổi Laplace của tải trọng và mô đun Young như sau:

E

a q 1 2 w

2 0

μ

ư

= với mô hình Kelvin, ta có:

) 1 D T ( E

E= 1 1 + do đó E=E1(T1p+1) như vậy, sẽ có:

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+

ư μ

ư

= + μ

ư

=

1 p T

T p

1 E a 1 2 ) 1 p T ( p E

a 1 2 w

1 1 1

2 1

1

2 0

Chuyển biến chuyển p thành biến t bằng

cách thay 1p= và 1 /T1

1

1 p T

=

quả độ võng là:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ư

ư μ

ư

=

1 1

0

T

t exp 1 E

a

1

2

w

2

Bằng cách tương tự cũng có thể giải được

độ võng với các mô hình khác nhau của vật

liệu đàn - chảy

Cách giải được trình bày như trên đây là

hoàn toàn về nguyên tắc Để có thể thực hiện

theo cách này thì vấn đề cơ bản là phải xác

định được thông số đàn hồi (E) và thông số

nhớt (T) của các thành phần của vật liệu Các

thông số này của vật liệu như bitum hay bê

tông asphalt thì đương nhiên lại phụ thuộc

điều kiện làm việc của vật liệu, mà trong điều

kiện đó, vật liệu sẽ cơ bản thể hiện thiên về

tính chất nào (hình 3)

iv Kết luận

Khi giải bài toán kết cấu áo đường có sử

dụng vật liệu bê tông asphalt, sử dụng mô

hình hệ nhiều lớp đàn hồi, có thể xem xét đến

đặc tính của vật liệu bằng cách đơn giản là xét

các yếu tố ảnh hưởng đến thông số mô đun

đàn hồi tính toán, là nhiệt độ và thời gian tác

dụng của tải trọng Thông số mô đun đàn hồi

tính toán của vật liệu bê tông asphalt để đưa

vào bài toán giải hệ nhiều lớp đàn hồi, theo

hướng này, được xác định bằng một mô hình

thí nghiệm hợp lý trong điều kiện nhiệt độ hay

tải trọng nhất định, đại diện cho điều kiện làm

việc thực tế của vật liệu

Tài liệu tham khảo

[1] Yang H.Huang University of Kentucky

Pavement Analysis and Design - Pentice - Hall

Inc, 1993

[2] Freddy L.Roberts, Prithvi S.Kandhal, E.Ray

Brown National Center for Asphalt

Technology, Dah Yinn Lee - Iowa State

University and Thomas W.Kenedy - University

of Texas - Hot mix Asphalt Materials, Mixture

Design, and Construction - NAPA Education

Foundation Lanham, Maryland, 1996♦