BÀI 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PP1. Lũy thừa hai vế Bài 1 Giải phương trình a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Bài 2 Giải phương trình a. b. Bài 3 Giải phương trình a. b. c. = 0 Bài 4 Giải phương trình a. nghiệm x = 0 b. nghiệm x = 0 c. PP2. Đặt ẩn phụ Dạng 1: Đặt t = Bài 1 Giải phương trình a. b. c. d. Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm a. ĐS: –1 ≤ m ≤ 11 b. ĐS: Bài 3 Giải phương trình a. b. Dạng 2: Đặt t = Bài 4 Giải phương trình a. Nghiệm b. c. d. Bài 5 (B 2011) Giải phương trình: (nghiệm x = 65) Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm a. b. c. PP3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài 7 Giải phương trình a. (đặt ) b. c. Nghiệm d. e. f. g. h. i. PP4. Chia để làm xuất hiện ẩn phụ Bài 8 Giải phương trình a. (bình phương, chia x² rồi đặt ) b. (chia ) c. (chia cho và đặt ) Bài 9 Giải phương trình a. (bình phương, chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử) b. Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được PP5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp. Bài 10 Giải phương trình a. (Đặt ) b. (Đặt a = x² và ) Bài 11. Giải phương trình: Đặt ĐK, bình phương 2 vế ta có Đặt: khi đó ta có: uv = u² – v². Do u, v cùng không âm nên . (vô nghiệm) Bài 12. Giải phương trình: Đặt ta có: a – b = a² – b² Bài 13 Giải phương trình: Đặt được phương trình: x³ – 3x² + 2y³ – 6x = 0 x³ + 2y³ – 3x(x + 2) = 0 x³ – 3xy² + 2y³ Bài tập tự luyện a. b. PP6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình Đặt Thay vào phương trình: 3u – 6v + uv + 7 = 0 (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v – u)(u + v – 3) = 0 x = 0 Bài 15 Giải phương trình a. (A 2009) Nghiệm x = –2 b. c. d. e. Nghiệm f. Nghiệm g. PP7. Đặt ẩn phụ đặc biệt Bài 16 Giải phương trình a. b. (đặt ) c. (đặt ) d. (đặt ) PP8. Phân tích thành nhân tử Bài 1 Giải phương trình a. b. c. Bài 2 Giải phương trình a. b. c. d. PP9. Thêm bớt, nhân liên hợp Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm xo hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – xo)P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị xo để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Bài 1 Giải phương trình a. (B 2010) PT . Nghiệm duy nhất x = 5 b. Nghiệm duy nhất c. Đặt điều kiện: x ≤ 5. Phương trình đã cho tương đương Ngoài nghiệm x = –3 thì phần còn lại là Vế trái ≤ . Đẳng thức xảy ra khi x = 5. Vậy phương trình có 2 nghiệm là và 5 Bài 2 Giải phương trình a. b. c. Nghiệm duy nhất x = 2 d. e. Bài 3 Giải phương trình a. b. Bài 4. Giải phương trình: Điều kiện: x ≥ Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, ta biến đổi Ta chứng minh: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trình a. b. c. d. e. f. Bài 8 Giải phương trình a. b. c. d. PP10. So sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải phương trình a. (nghiệm x = 3) b. c. (nghiệm x = 1) d. (nghiệm x = –1) e. Bài 2 Giải phương trình a. VT = ≤ VP (Côsi) b. c. Bài 4. Giải phương trình: (1) (1) Mà: và . Do đó ta có: (x – 3)² = 0 Bài 5 Giải phương trình Bình phương 2 vế ta được: . Áp dụng bđt: VT ≤ 40x² (16 – 10x²) ≤ 40(16 – 10x²) = VP. Nghiệm PP11. Sử dụng công cụ khảo sát và tính chất hàm số Cơ sở phương pháp: Để giải phương trình: f(x) = m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến. Xét hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà suy ra f(a) = f(b) a = b. Bài 1 Giải các phương trình. a. (nghiệm x = 9) b. (Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1) c. Bài 2 (CĐ 2012) Giải phương trình Nhân 2 vế với 2 và biến đổi thành Xét hàm số f(t) = t³ + t, tính đạo hàm nhận xét dấu suy ra hàm số luôn đồng biến. Từ phương trình có Bài tập tự luyện a. b. Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm: Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm: Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm: Bài 6 (A 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm: Gợi ý: cô lập tham số Bài 7 (B 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm Đặt ẩn phụ: Bài 8 (B 2007) Chứng minh rằng với mọi phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba. BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản: Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Bài 1 Giải bất phương trình a. ĐS: 5; 6 b. ĐS: 3; 5 c. d. Bài 2 Giải bất phương trình a. b. (A 2005) c. d. (CĐ 2009) e. Bài 3 Giải bất phương trình a. b. c. Bài 4 Giải bất phương trình: Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1 Giải bất phương trình a. b. c. Bài 2 Giải bất phương trình a. b. Bài 3 (B 2012) Giải bất phương trình Chia 2 vế cho và đặt Bài 4 (Thi thử 2013) Giải BPT: Điều kiện: x ≥ 2 Bình phương 2 vế và rút gọn ta được: Chia 2 vế cho (x + 1) và đặt Bài 5 Giải bất phương trình a. Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được Chia cho (x + 4) rồi đặt ẩn phụ b. Chuyển vế, bình phương ta được: Bài 6 Giải bất phương trình ĐK x ≥ –1. Đặt Bpt x³ + (3x² – 4y²)y ≤ 0 Xét hai trường hợp y = 0 và y > 0 (chia cho y³ khi y > 0) Cách 2: Có thể biến đổi BPT về dạng tích Bài tập tự luyện: Phương pháp nhân liên hợp. Bài 1 Giải bất phương trình a. b. Bài 2 Giải bất phương trình a. . Nhẩm nghiệm vế trái x = 5 BPT b. BPT Phương pháp so sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải bất phương trình a. b. c. d. e. Bài 2 Giải bất phương trình a. b. Bài 5 (A 2010) Giải bất phương trình: ≥ 1 Ta có nên (1) Mặt khác ta lại có: (2) Từ (1) và (2) . Dấu bằng khi (nhận) Bài 6. (D 2014) Giải bất phương trình ≥ x² + 7x + 12
BÀI 1: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PP1. Lũy thừa hai vế Bài 1 Giải phương trình a. 2 x 3x 2 x 1− + = + b. 2 3x 9x 1 x 2− + = − c. 2 x 2x 3x 4− = − d. 2 2 (x 3) x 4 x 9− − = − e. x 3 7 x 2x 8+ − − = − f. x 2 3 x 5 2x+ − − = − g. 2 2 (x 3) x 3x 2 x 8x 15− − + = − + h. 2 2 (x 4) 10 x x 2x 8+ − = + − i. 2 x 3x 2 1 x 3x 2 − − = − − j. 2 x 4x 3 1 x 4x 3 − − = − − Bài 2 Giải phương trình a. 2 2 2 x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + = + + b. 2 2 2 x 3x 2 x 4x 3 x 5x 4− + + − + = − + Bài 3 Giải phương trình a. 3 3 3 x 5 x 6 2x 11+ + + = + b. 3 3 3 x 1 x 1 5x+ + − = c. 3 3 3 2x 1 x 1 3x 1− + − − + = 0 Bài 4 Giải phương trình a. x x 1 x 4 x 9 0− + − + + + = nghiệm x = 0 b. x 1 x 16 x 4 x 9+ + + = + + + nghiệm x = 0 c. x 3 3x 1 2 x 2x 2+ + + = + + PP2. Đặt ẩn phụ Dạng 1: Đặt t = f (x) Bài 1 Giải phương trình a. 2 (x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + = + + b. 2 2 5x 10x 1 7 2x x+ + = − − c. 2 (4 x)(6 x) x 2x 12− + = − − d. 3 2 x(x 5) 2 x 5x 2 2+ = + − − Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm a. 2 x 2x 4 (3 x)(1 x) m 2− + + − + = − ĐS: –1 ≤ m ≤ 11 b. 2 2x 5x 4 (3 x)(1 2x) m 2− + + − + = − ĐS: 41 56 2 m [ 1; ] 8 + ∈ − Bài 3 Giải phương trình a. 5 1 5 x 2x 4 2x 2 x + = + + b. 3 1 3 x 2x 7 2x 2 x + = + − Dạng 2: Đặt t = A B+ Bài 4 Giải phương trình a. 2 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 2+ + + = + + + − Nghiệm 25 6 17− b. 2 7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + − + + − = − c. 2 x 4 x 4 2x 12 2 x 16+ + − = − + − d. 2 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − + Bài 5 (B 2011) Giải phương trình: 2 3 2 x 6 2 x 4 4 x 10 3x+ − − + − = − (nghiệm x = 6/5) Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm a. 2 1 x 8 x x 7x 8 m+ + − = − + + + 6 2 9 m [ ;3] 2 − ∈ b. 3 x 6 x (3 x)(6 x) m+ + − − + − = c. 2 3( 1 2x 1 x) m x 2 1 x 2x+ + − = + + + − PP3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Bài 7 Giải phương trình a. 2 2 2 x 3x x x 2 1 2 x 2+ − + = + + (đặt 2 t x 2= + ) b. 2 2 (x 1) x 2x 3 x 1+ − + = + c. 2 2 x 1 2x. x 2x− = − Nghiệm x 1 2= ± d. 2 2 3x x 48 (3x 10) x 15− + = − + e. 2 2 2(x 1). x 2x 1 x 2x 1− + − = − − f. 2 2 x 4x (x 2). x 2x 15 39+ = + − − + g. 2 2 (1 4x) 4x 1 8x 2x 1− + = + + h. 3 3 (4x 1) x 1 2x 2x 1− + = + + i. 3 3 x 3x 2 (x 2) x 2x 1+ + = + + + PP4. Chia để làm xuất hiện ẩn phụ Bài 8 Giải phương trình a. 2 (x 2) x x 4 2x− − + = (bình phương, chia x² rồi đặt 4 t x x = + ) b. 2 2 x 3x 2 2 x x 2 2 x+ − + − − = (chia x ) c. 2 x 1 x 4x 1 3 x+ + − + = (chia cho x và đặt 1 t x x = + ) Bài 9 Giải phương trình a. 2 3 2(x 2) 5 x 1+ = + (bình phương, chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử) b. 2 2 5x 14x 9 x x 20 5 x 1+ + − − − = + Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 2 2x 5x 2 5 (x x 20)(x 1)− + = − − + 2 2 2 2 2(x 4x 5) 3(x 4) 5 (x 4)(x 4x 5) x 4x 5 x 4x 5 2 3 5 x 4 x 4 ⇔ − − + + = + − − − − − − ⇔ + = + + PP5. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp. Bài 10 Giải phương trình a. 2 3 2x 5x 1 7 x 1+ − = − (Đặt 2 u x 1;v x x 1= − = + + ) b. 2 2 4 2 x 3 x 1 x x 1+ − = − + (Đặt a = x² và 2 b x 1= − ) Bài 11. Giải phương trình: 2 2 x 2x 2x 1 3x 4x 1+ + − = + + Đặt ĐK, bình phương 2 vế ta có 2 2 2 2 (x 2x)(2x 1) x 1 (x 2x)(2 x 1) (x 2x) (2x 1)+ − = + ⇔ + − = + − − Đặt: 2 u x 2x v 2x 1 = + = − khi đó ta có: uv = u² – v². Do u, v cùng không âm nên 2 1 5 1 5 u v x 2x (2x 1) 2 2 + + = ⇔ + = − 2 2x 2(1 5)x ( 5 1) 0⇔ + − + + = . (vô nghiệm) Bài 12. Giải phương trình: 2 2 4x 5x 1 2 x x 1 9x 3+ + − − + = − Đặt 2 2 4x 5x 1 a 0 2 x x 1 b 0 + + = > − + = > ta có: a – b = a² – b² Bài 13 Giải phương trình: 3 2 3 x 3x 2 (x 2) 6x 0− + + − = Đặt y x 2= + được phương trình: x³ – 3x² + 2y³ – 6x = 0 <=> x³ + 2y³ – 3x(x + 2) = 0 <=> x³ – 3xy² + 2y³ x y x 2y = ⇔ = − Bài tập tự luyện a. 3 2 3 x 3x 2 (x 1) 3x 0− + + − = b. 3 2 x (3x 4x 4) x 1 0+ − − + = PP6. Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Bài 14 Giải phương trình 3 2x 1 6 x 4 (2x 1)(x 4) 7 0+ − + + + + + = Đặt 2 2 u 2x 1 2v u 7 (1) v x 4 = + ⇔ − = = + Thay vào phương trình: 3u – 6v + uv + 7 = 0 (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v – u)(u + v – 3) = 0 <=> x = 0 Bài 15 Giải phương trình a. 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0− + − − = (A 2009) Nghiệm x = –2 b. 3 2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + = c. 2 2 x 17 x x 17 x 9+ − + − = d. 3 3 3 3 x. 35 x .(x 35 x ) 30− + − = e. 2 1 1 2 x 2 x + = − Nghiệm 1 3 x 1; 2 − ± = f. 3 3 x 1 2 2x 1+ = − Nghiệm 1 5 x 1; 2 − ± = g. 3 3 x 2 3 3x 2+ = − PP7. Đặt ẩn phụ đặc biệt Bài 16 Giải phương trình a. 2 x 1 x 4x 5+ = + + b. 2 4x 9 7x 7x 28 + = + (đặt 4x 9 1 y 28 2 + = + ) c. 2 x 2 x 6x 10+ = + + (đặt x 2 y 3+ = + ) d. 2 2x 1 4x 12x 5+ = − + (đặt 2x 1 2y 3+ = − ) PP8. Phân tích thành nhân tử Bài 1 Giải phương trình a. 2 x 3 2x x 1 2x x 4x 3+ + + = + + + b. 4x x 3 4 x x 3 + + = + c. 2 2 x 3 9x x 4+ = − − Bài 2 Giải phương trình a. 2 x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6+ + = + + + − b. 2 x 8x 15 3 x 3 2 x 5 6+ + = + + + − c. 2 x 2 x 1 (x 1) x x x 0− − − − + − = d. 2 x 7x 4 4 x 0 x 2 + + − = + PP9. Thêm bớt, nhân liên hợp Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x o hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – x o )P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị x o để trong căn là bình phương hoặc lập phương. Bài 1 Giải phương trình a. (B 2010) 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − = PT 3 1 (x 5)( 3x 1) 0 3x 1 4 6 x 1 ⇔ − + + + = + + − + . Nghiệm duy nhất x = 5 b. 3 2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + = Nghiệm duy nhất x 2= − c. 2 3 10 2x 9x 27)4(2 4x 15x 33− − − = − − Đặt điều kiện: x ≤ 5. Phương trình đã cho tương đương 2 3 (4 9x 37) 8(4 10 2x) 4x 15x 81 0+ − + − − + − − = <=> 2 3 3 4(27 9x) 8(6 2x) (x 3)(4x 27) 0 4 10 2x 16 4 9x 37 ( 9x 37) + + + + + − = + − − − + − Ngoài nghiệm x = –3 thì phần còn lại là 2 3 3 36 16 4x 27 0 4 10 2x 16 4 9x 37 ( 9x 37) + + − = + − − − + − <=> 2 3 36 16 4x 27 0 4 10 2x 12 ( 9x 37 2) + + − = + − + − − Vế trái ≤ 36 16 4.5 27 0 12 4 + + − = . Đẳng thức xảy ra khi x = 5. Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 − và 5 Bài 2 Giải phương trình a. 2 x 1 4x 1 3x+ + = + b. 2 x 1 9x 1 4x+ + = + c. 2 2 x 12 5 3x x 5+ + = + + Nghiệm duy nhất x = 2 d. 2 2 x 15 3x 2 x 8+ = − + + e. 2 2 2 2 3x 5x 1 x 2 3x 3x 3 x 3x 4− + − − = − − − − + Bài 3 Giải phương trình a. 2 2 2x x 9 2x x 1 x 4+ + + − + = + 2 2 VT 0 (x 4) 0 2x x 9 2x x 1> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − + 2 2 2 2 2 2x x 9 2x x 1 2 8 PT 2 2x x 9 x 6 x 0; 7 2x x 9 2x x 1 x 4 + + − − + = ⇔ ⇔ + + = + ⇔ = + + + − + = + b. 2 2 2x x 1 x x 1 3x+ + + − + = Bài 4. Giải phương trình: 3 2 3 x 1 x x 2− + = − Điều kiện: x ≥ 3 2 Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình, ta biến đổi 3 2 3 x 1 2 x 3 x 2 5− − + − = − − <=> 2 3 2 2 2 3 3 x 3 (x 3)(x 3x 9) (x 3)[1 ] (x 1) 2 x 1 4 x 2 5 + − + + − + = − + − + − + Ta chứng minh: 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 x 3 x 3 x 3x 9 1 1 2 (x 1) 2 x 1 4 ( x 1 1) 3 x 2 5 + + + + + = + < < − + − + − + + − + Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Bài 7 Giải phương trình a. 2 2 x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + + b. 4 3 10 3x x 2− − = − c. 2 (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x)− − = + − − d. 2 2 2x 16x 18 x 1 2x 4+ + + − = + e. 2 2 2 2 2x 1 x 3x 2 2x 2x 3 x x 2− + − + = + + + − + f. 2 2 2 2 3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4− + − − = − − − − + Bài 8 Giải phương trình a. 3 2 x 4 x 1 2x 3+ = − + − b. 3 2 3 x 1 3x 2 3x 2− + − = − c. 2 3 2x 11x 21 3 4x 4 0− + − − = d. 3 2 3 x 1 x x 1− + = − PP10. So sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải phương trình a. 2 x 2 4 x x 6x 11− + − = − + (nghiệm x = 3) b. 2 x 2 10 x x 12x 52− + − = − + c. 2 x 2x 5 x 1 2− + + − = (nghiệm x = 1) d. 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − − (nghiệm x = –1) e. 2 6 2x 1 19 2x x 10x 24 − + − = − + − Bài 2 Giải phương trình a. 3 2 2 2 7x 11x 25x 12 x 6x 1− + − = + − VT = 2 2 (7x 4)(x x 3)− − + ≤ VP (Côsi) b. 3 2 2 2 5x 3x 3x 2 x 6x 1+ + − = + − c. 2 2 1 1 2 x 2 4 (x ) x x − + − = − + 2 2 1 1 PT ( 2 x x) ( 2 ) 4 x x ⇔ − + + − + ≤ Bài 4. Giải phương trình: 2 2 2 x 6x 15 x 6x 18 x 6x 11 − + = − + − + (1) (1) <=> 2 2 4 1 (x 3) 9 (x 3) 2 + = − + − + Mà: 2 4 4 1 1 3 2 (x 3) 2 + ≤ + = − + và 2 (x 3) 9 3− + ≥ . Do đó ta có: (x – 3)² = 0 Bài 5 Giải phương trình 2 4 2 4 13 x x 9 x x 16− + + = Bình phương 2 vế ta được: 2 2 2 2 x (13 1 x 9 1 x ) 256− + + = . Áp dụng bđt: 2 2 2 2 2 2 2 (13 1 x 9 1 x ) ( 13. 13 13x 3 3. 3 3x ) 40(16 10x )− + + = − + + ≤ − VT ≤ 40x² (16 – 10x²) ≤ 40(16 – 10x²) = VP. Nghiệm 2 x 5 = ± PP11. Sử dụng công cụ khảo sát và tính chất hàm số Cơ sở phương pháp: Để giải phương trình: f(x) = m ta có thể chứng minh VT luôn đồng biến hoặc nghịch biến. Xét hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến mà suy ra f(a) = f(b) <=> a = b. Bài 1 Giải các phương trình. a. x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + = (nghiệm x = 9) b. 3 x 1 x 4x 5− = − − + (Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1) c. 2 2x 1 x 3 4 x− + + = − Bài 2 (CĐ 2012) Giải phương trình 3 4x x (x 1) 2x 1 0+ − + + = Nhân 2 vế với 2 và biến đổi thành 3 (2x) 2x (2x 1) 2x 1 2x 1+ = + + + + Xét hàm số f(t) = t³ + t, tính đạo hàm nhận xét dấu suy ra hàm số luôn đồng biến. Từ phương trình có 1 5 f (2x) f( 2x 1) 2x 2x 1 x 4 + = + ⇔ = + ⇔ = Bài tập tự luyện a. 2 2 2 2x(4x 1) (x 3x 1) x 3x+ = + + + b. 3 4x x (x 2) 2x 3 0+ − + + = Bài 3 Tìm m để phương trình có nghiệm: 2 2 m x 2x 4 x 2x 4= + + + − + Bài 4 Tìm m để phương trình có nghiệm: 2 4 x mx m 2− = − + Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm: x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + − − − − − = + Bài 6 (A 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm: 4 2 3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = − Gợi ý: cô lập tham số 4 x 1 x 1 m 2 3 x 1 x 1 − − = − + + Bài 7 (B 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm 2 2 4 2 2 m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − Đặt ẩn phụ: 2 2 t 1 x 1 x= + − − Bài 8 (B 2007) Chứng minh rằng với mọi m 0 > phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2 x 2x 8 m(x 2)+ − = − Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba. BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản: Dạng 1: 2 f (x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) [g(x)] ≥ < ⇔ ≥ < Dạng 2: 2 f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) [g(x)] ≥ < > ⇔ ≥ > Dạng 3: A B C+ < Bài 1 Giải bất phương trình a. 2 x 2x 15 x 3− − ≤ − ĐS: [5; 6] b. 2 x 6x 5 8 2x− + − ≥ − ĐS: [3; 5] c. 2 x 2x 8 x 3− − < − d. 2 x 3x 10 x 2− − ≥ − Bài 2 Giải bất phương trình a. 2 2 (x 3) x 4 x 9− + ≤ − b. 5x 1 x 1 2x 4− − − > − (A 2005) c. 7x 13 3x 9 5x 27− − − ≤ − d. x 1 2 x 2 5x 1+ + − ≤ + (CĐ 2009) e. 2 2(x 16) 7 x x 3 x 3 x 3 − − + − > − − Bài 3 Giải bất phương trình a. 2 51 2x x 1 1 x − − < − b. 2 8 2x x 1 6 3x + − ≥ − c. 2 1 1 2x 1 2x 3x 5 > − + − Bài 4 Giải bất phương trình: 2 2 x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ − Phương pháp đặt ẩn phụ. Bài 1 Giải bất phương trình a. 2 2 5x 10x 1 7 2x x+ + > − − b. 2 2 2x x 5x 6 10x 15+ − − > + c. 2 (x 3)(8 x) x 11x 0− − + − < Bài 2 Giải bất phương trình a. 5 1 10 x 4x 8 x x + < + + b. x x 1 2 3 0 x 1 x + − − > + Bài 3 (B 2012) Giải bất phương trình 2 x 1 x 4x 1 3 x+ + − + ≥ Chia 2 vế cho x và đặt 1 t x x = + Bài 4 (Thi thử 2013) Giải BPT: 2 2 x x 2 3 x 5x 4x 6− − + ≤ − − Điều kiện: x ≥ 2 Bình phương 2 vế và rút gọn ta được: 3 x(x 2)(x 1) 2x(x 2) 2(x 1)− + ≤ − − + Chia 2 vế cho (x + 1) và đặt x(x 2) t x 1 − = + Bài 5 Giải bất phương trình a. 2 2 5x 14x 9 x x 20 5 x 1+ + − − − ≤ + Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 2 2x 5x 2 5 (x x 20)(x 1)− + ≤ − − + 2 2 2(x 4x 5) 3(x 4) 5 (x 4)(x 4x 5)⇔ − − + + ≤ + − − Chia cho (x + 4) rồi đặt ẩn phụ b. 2 2 7x 25x 19 x 2x 35 7 x 2+ + − − − < + Chuyển vế, bình phương ta được: 2 2 3(x 5x 14) 4(x 5) 7 (x 5x 14)(x 5)− − + + < − − + Bài 6 Giải bất phương trình 3 2 x (3x 4x 4) x 1 0+ − − + ≤ ĐK x ≥ –1. Đặt 2 y 0 y x 1 y x 1 ≥ = + ⇔ = + Bpt <=> x³ + (3x² – 4y²)y ≤ 0 Xét hai trường hợp y = 0 và y > 0 (chia cho y³ khi y > 0) Cách 2: Có thể biến đổi BPT về dạng tích Bài tập tự luyện: 3 2 3 x 3x 2 (x 2) 6x 0− + + − ≤ Phương pháp nhân liên hợp. Bài 1 Giải bất phương trình a. 1 x 1 x x 0+ − − − ≥ b. 2 1 1 8x 1 2x − − < Bài 2 Giải bất phương trình a. 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0+ − − + − − < . Nhẩm nghiệm vế trái x = 5 BPT 3 1 (x 5)( 3x 1) 0 3x 1 4 6 x 1 ⇔ − + + + < + + − + b. 3 2 3x 2 3 6 5x 16 0− − − + ≥ BPT 2 3 3 6 15 (x 2)[ + ] 0 6 5x 4 ( 3x 2) 2 3x 2 4 ⇔ + ≥ − + − − − + Phương pháp so sánh, đánh giá, bất đẳng thức Bài 1 Giải bất phương trình a. 2 x 2 4 x x 6x 11≥− + − − + b. 2 x 2 10 x x 12x 52≥− + − − + c. 2 2 x 2x 5 x 1 1 2x x− + + − ≤ + − d. 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x≤+ + + + + − − e. 2 6 2x 1 19 2x x 10x 24 ≥− + − − + − Bài 2 Giải bất phương trình a. 3 2 2 2 7x 11x 25x 12 x 6x 1≥− + − + − b. 2 3 2 x 6x 1 5x 3x 3x 2 2 ≥ + − + + − Bài 5 (A 2010) Giải bất phương trình: 2 x x 1 2(x x 1) − − − + ≥ 1 Ta có 2 1 2(x x 1) 0− − + < nên 2 BPT 2(x x 1) 1 x x⇔ − + ≤ − + (1) Mặt khác ta lại có: 2 2 2 2(x x 1) 2(1 x) 2( x) 1 x x− + = − + ≥ − + (2) Từ (1) và (2) 2 2(x x 1) 1 x x⇒ − + = − + . Dấu bằng khi 3 5 1 x x x 2 − − = ⇔ = (nhận) Bài 6. (D 2014) Giải bất phương trình (x 1) x 2 (x 6) x 7+ + + + + ≥ x² + 7x + 12 . biệt 2 x 2x 8 m(x 2)+ − = − Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba. BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản: Dạng 1: 2 f (x) 0 f. hợp Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x o hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – x o )P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được. Cách. 3 Giải bất phương trình a. 2 51 2x x 1 1 x − − < − b. 2 8 2x x 1 6 3x + − ≥ − c. 2 1 1 2x 1 2x 3x 5 > − + − Bài 4 Giải bất phương trình: 2 2 x 4x 3 2x 3x 1 x 1− + − − + ≥ − Phương pháp