Giới hạn hàm doc

MụC LụC 2 Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 3 2.1 Hàmsốsơcấp 3 2.1.1 Hàm thực một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Các hàm sơ cấp cơ bản và hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . 5 2.2 Giớihạnhàmsố 9 2.2.1 Các khái niệm về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số . . . . . . 15 2.2.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hàmliêntục 22 2.3.1 Khái niệm về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3 Các phép toán trên các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 giải tích I Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật 2 Ch-ơng 2 Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 2.1 Hàm số sơ cấp 2.1.1 Hàm thực một biến số Định nghĩa 2.1.1 ánh xạ f : X R,X R,X = đ-ợc gọi là hàm số thực một biến số thực và gọi tắt là hàm một biến số. X đ-ợc gọi là tập xác định của hàm số f, kí hiệu D f = X. Tập ảnh f(X) R đ-ợc gọi là tập giá trị của hàm số f, kí hiệu R f = f(X). x D f đ-ợc gọi là biến độc lập hay đối số của hàm f, ảnh f(x) R f đ-ợc gọi là biến phụ thuộc hay hàm số. Để minh họa hàm f ứng mỗi x D f với phần tử xác định f(x) R f , ta th-ờng viết y = f (x) hay f : X R,x y = f (x). Ví dụ 2.1.1 1. ánh xạ đồng nhất f : R R,x x hoặc kí hiệu f(x)=x x R. f còn đ-ợc gọi là hàm đồng nhất trên R. 2. sign(x)= 1 nếu x>0 0 nếu x =0 1 nếu x<0 sign(x) đ-ợc gọi là hàm dấu . Hiển nhiên |x| = x sign(x). 3 4 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 3. Hàm E(x)=[x], x R, trong đó [x] kí hiệu phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không v-ợt quá x. Trong mặt phẳng dựng hai trục số thực x Ox, y Oy vuông góc nhau tại O, i, j là các véc tơ đơn vị của các trục x Ox, y Oy. Nếu quay véc tơ i theo chiều d-ơng (chiều ng-ợc với chiều kim đồng hồ) góc 90 0 mà chiều của i trùng với chiều của j , ta nói x Ox, y Oy lập thành hệ trục tọa độ Đề các thuận. Trong giáo trình này ta chỉ xét hệ trục tọa độ Đề các thuận và th-ờng gọi ngắn gọn xOy là hệ trục tọa độ Đề các. Đồ thị của hàm số f : X R trong hệ trục tọa độ Đề các là tập các điểm M(x, f (x)) R 2 với mọi x X. Ta th-ờng minh họa đồ thị hàm f là một đ-ờng cong vẽ trong hệ trục tọa độ Đề các. Cho ba tập hợp X R,Y R,Z R và các hàm số f : X Y, g : Y Z. Khi đó ánh xạ X Z x g(f(x)) đ-ợc gọi là hàm số hợp của g và f , kí hiệu hàm hợp đó là g f. (Chú ý đến thứ tự của các hàm f và g). Ví dụ 2.1.2 Cho hai hàm số f(x)=x 3 + x +1và g(x)=3x +2. Khi đó g f (x)=g f(x) =3f(x)+2=3(x 3 + x +1)+2=3x 3 +3x +5 f g (x)=f g(x) = g 3 (x)+g(x)+1=(3x +2) 3 +3x +2+1 Cho hai tập hợp X R,Y R và một song ánh f : X Y . Khi đó tồn tại ánh xạ ng-ợc của f , ta th-ờng gọi là hàm ng-ợc của hàm số f và kí hiệu f 1 : Y X 2.1 Hàm số sơ cấp 5 Nh- đã biết từ học phần tr-ớc, hàm ng-ợc của hàm số f cũng là một song ánh từ Y lên X, hệ thức cơ bản của hàm ng-ợc f 1 f (x)=x x X, f f 1 (y)=y y Y. Từ đây ta suy ra nếu điểm M(x, y) thuộc đồ thị hàm số f thì điểm M (y, x) thuộc đồ thị hàm ng-ợc f 1 . Trong hệ tọa độ Đề các, điểm M (x, y) và điểm M (y, x) đối xứng nhau qua đ-ờng phân giác y = x, suy ra đồ thị hàm số f và đồ thị hàm ng-ợc f 1 đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y = x. 2.1.2 Các hàm sơ cấp cơ bản và hàm sơ cấp Chúng ta đã làm quen với một số hàm sơ cấp cơ bản trong ch-ơng trình toán bậc phổ thông Hàm không đổi: f(x)=C x R. Hàm lũy thừa f : R + R + ,f(x)=x ( R là số thực cố định). Hàm lũy thừa f (x)=x là một song ánh từ R + lên R + , do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc f 1 : R + R + ,f 1 (x)=x 1 , hàm ng-ợc f 1 cũng là hàm lũy thừa. Chú ý rằng ng-ời ta th-ờng quy -ớc Nếu N là số tự nhiên, miền xác định của hàm là toàn bộ R, chẳng hạn f(x)=x 3 xác định trên R. Nếu Z \N là số tự nhiên âm, miền xác định của hàm là tập R \{0}, ví dụ hàm f(x)=x 2 = 1 x 2 xác định với mọi x =0. Nếu R là số vô tỉ, miền xác định của hàm là tập R + . Ng-ời ta cũng quy -ớc, khi hàm lũy thừa đ-ợc viết d-ới dạng f (x)= n x m (m, n là các số nguyên), miền xác định của hàm tùy thuộc vào tính chẵn, lẻ của m, n. Chẳng hạn khi m 0 và n là số tự nhiên chẵn khi đó miền xác định của hàm là R + , tuy nhiên nếu n là số tự nhiên lẻ, miền xác định của hàm là toàn bộ R. Hàm số mũ f : R R + ,f(x)=a x (a>0,a =1). Hàm số mũ là một song ánh từ R lên R + , do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc f 1 : R + R, kí hiệu 6 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục Hình 2.1: Hàm lũy thừa f 1 (x)=log a x. Ng-ời ta gọi hàm ng-ợc của hàm số mũ là hàm logarit. Nó thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc f 1 f (x)=x x R hay log a a x = x x R f f 1 (x)=x x R + hay a log a x = x x R + . Hình 2.2: Hàm mũ, hàm logarit Các hàm l-ợng giác sin x, cos x, tg x, cotg x chúng ta đã biết trong ch-ơng trình phổ thông. Bây giờ chúng ta sẽ lầ l-ợt làm quen với các hàm l-ợng giác ng-ợc Xét hạn chế của hàm sin x lên đoạn [ 2 , 2 ] sin : [ 2 , 2 ] [1, 1] là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arcsin arcsin :[1, 1] [ 2 , 2 ] 2.1 Hàm số sơ cấp 7 Hàm arcsin thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arcsin(sin x)=x x [ 2 , 2 ] và sin(arcsinx)=x x [1, 1]. Xét hạn chế của hàm cos x lên đoạn [0,] cos : [0,] [1, 1] là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arccos arccos :[1, 1] [0,] Hàm arccos thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arccos(cos x)=x x [0,] và cos(arccos x)=x x [1, 1]. Hình 2.3: Đồ thị hàm ng-ợc y = arcsin x và y = arccos x Xét hạn chế của hàm tg x lên khoảng ( 2 , 2 ) tg : 2 , 2 R là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arctg arctg : R 2 , 2 Hàm arctg thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arctg(arctg x)=x x R và arctg(tg x)=x x ( 2 , 2 ). 8 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục Xét hạn chế của hàm cotg x lên khoảng (0,) cotg :(0,) R là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arccotg arccotg : R (0,) Hàm arccotg thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc cotg(arccotg x)=x x R và arccotg(cotg x)=x x (0,). Hình 2.4: Đồ thị hàm ng-ợc y = arctg x và y = arccotg x Các hàm nhận đ-ợc từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp các hàm đ-ợc gọi là hàm số sơ cấp. Ví dụ 2.1.3 (Về các hàm số sơ cấp) f(x)=a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ããã+ a n x n n N,a k R k N. f(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ããã+ a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ããã+ b m x m m, n N,a k ,b i R i, k N f(x)=a x 2 x+1 (a>0),f(x)=log 2 x 2 +3x +1 x +1 Các hàm hyperbolic là các hàm số sơ cấp đ-ợc sử dụng khá rộng rãi trong giải tích. Chúng đ-ợc định nghĩa nh- sau Hàm cosin hyperbol ch x = e x + e x 2 2.2 Giới hạn hàm số 9 Hàm sin hyperbol sh x = e x e x 2 Hàm tang hyperbol th x = sh x ch x = e x e x e x + e x Hàm cotang hyperbol th x = ch x sh x = e x + e x e x e x Các hàm hyperbolic có tính chất gần giống nh- các hàm l-ợng giác (bạn đọc tự chứng minh) sh(x + y)=sh x ch y + chx shy ch(x + y)=ch x ch y + sh x sh y sh(x y)=sh x ch y ch x sh y ch(x y)=ch x ch y sh x sh y ch 2 x sh 2 x =1, sh2x =2sh x ch x, ch2x = ch 2 x + sh 2 x Bài tập Chứng tỏ rằng hàm ng-ợc của hàm f(x)=sh x bằng f 1 (x) = ln(x + x 2 +1) x R, và hàm ng-ợc của hàm h(x)=ch x h 1 :[1, +) [0, +),h 1 (x) = ln(x + x 2 1). 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Các khái niệm về giới hạn hàm số Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm số từ tập D R vào R: f : D R, x 0 là một điểm tụ của D. Ta nói L R là giới hạn của hàm f khi x x 0 và kí hiệu lim xx 0 f(x)=L, 10 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục nếu cho tr-ớc một lân cận U (L) tuỳ ý của L, tồn tại một lân cận U(x 0 ) của x 0 sao cho với mọi x U (x 0 ) D và x = x 0 f(x) U(L). Định nghĩa trên cũng có thể diễn đạt (d-ới dạng "ngôn ngữ ") nh- sau: Tr-ờng hợp L hữu hạn: lim xx 0 f(x)=L, nếu cho tr-ớc một số >0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có |f(x) L| <. Tr-ờng hợp L =+: lim xx 0 f(x)=+, nếu cho tr-ớc một số K>0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có f(x) >K. Tr-ờng hợp L = : lim xx 0 f(x)=, nếu cho tr-ớc một số K>0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có f(x) < K. Chú ý rằng trong định nghĩa giới hạn, ta không quan tâm tới giá trị hàm số tại x 0 , chỉ xét các giá trị hàm f (x) tại các điểm x = x 0 . Do vậy hàm f(x) có thể không xác định tại chính điểm x 0 đó. [...]... về giới hạn lim (f (x) ã g(x)) xx0 T-ơng tự nếu hoặc lim f (x) = , lim g(x) = xx0 xx0 lim f (x) = lim g(x) = 0 xx0 xx0 ta cũng không có kết luận gì về giới hạn lim xx0 f (x) g(x) Cũng từ nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy và định lí ??, ?? ta có hai định lí sau T-ơng tự nh- giới hạn dãy số, chúng cũng mang tên tiêu chuẩn kẹp và tiêu chuẩn hàm đơn điệu về giới hạn hàm số 2.2 Giới hạn hàm. .. cầu trong định nghĩa giới hạn hàm số đều thỏa mãn (Trong ví dụ này, giá trị hàm số tại x = 0 không ảnh h-ởng gì tới giới hạn hàm số) 2 Cho hàm f (x) = Ng-ời ta còn đ-a vào khái niệm giới hạn một phía của hàm f : D R và kí hiệu lim f (x) = f (x0 +) hoặc lim f (x) = f (x0 ) xx0 + xx0 Định nghĩa 2.2.2 Cho hàm số f : D R, x0 R là một điểm tụ của D Ta nói L R là giới hạn phải của hàm f lim f (x) = L,... II Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 14 Định lí 2.2.3 (Nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm và dãy) Cho hàm số f : D R, x0 là điểm tụ của D (x0 có thể là + hoặc ) Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn lim f (x) = L xx0 là với mọi dãy số {xn } , 1 (xn D, xn = x0) mà lim xn = x0 , dãy t-ơng ứng n {f (xn )} cũng tồn tại giới hạn 1 L-u ý rằng định lí chỉ yêu cầu các dãy {f (xn )} tồn tại giới. .. ở mục giới hạn hàm số cũng nh- trong phần hàm liên tục, ta đã biết các hàm sơ cấp cơ bản: hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm l-ợng giác, hàm hyperbolic và các hàm ng-ợc là các hàm liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định áp dụng các định lí 2.3.5, 2.3.6, 2.3.7 vừa nêu trong mục này ta có định lí sau Định lí 2.3.8 Các hàm sơ cấp liên tục tại tất cả các điểm thuộc miền xác định của nó 2.3.4 Hàm số... dãy hàm 1 t-ơng ứng {f (xn )} không có giới hạn hoặc tồn tại giới hạn = L Mặt khác do 1 1 0 < |xn x0| < n , dãy {xn } hội tụ tới x0, suy ra dãy hàm t-ơng ứng {f (xn )} 1 1 hội tụ Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Nhận xét rằng sử dụng định lí này, nhiều tính chất về giới hạn hàm số có thể suy ra ngay từ giới hạn dãy số Ngoài ra ng-ời ta còn sử dụng định lí 2.2.3 để chứng minh sự không tồn tại giới hạn. .. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (x) = L xx0 Ch-ơng II Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 16 thì f (x) bị chặn trong một lân cận nào đó của x0 Cho hai hàm f, g : D R thỏa mãn f (x) g(x) với mọi x D Giả sử x0 là điểm tụ của D và tồn tại các giới hạn lim f (x) = L1 , lim g(x) = L2 xx0 xx0 Khi đó L1 L2 Đặc biệt nếu hàm f bị chặn trên D (M |f (x)| M x D) và tồn tại giới hạn lim f (x) = L,... T-ơng tự L R là giới hạn trái của hàm f lim f (x) = L, xx0 nếu cho tr-ớc một lân cận U (L) tuỳ ý của L, tồn tại số = ( ) > 0 sao cho với mọi x thoả mãn x D và x0 < x < x0 ta có f (x) U (L) Ch-ơng II Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 12 Từ hai định nghĩa trên ta có ngay định lí sau Định lí 2.2.1 Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn lim f (x) = L, là tồn tại xx0 các giới hạn một phía lim... số hàm Chẳng hạn trong ví dụ thứ 4 của ví dụ 2.2.2, để chứng minh không tồn tại giới hạn lim sin x, xét hai dãy số cùng tiến tới + x+ xn = + 2n + 2 và xn = n + Hiển nhiên 2 dãy hàm t-ơng ứng f (xn ) = sin + 2n = 1 1 2 và f (xn ) = sin (n) = 0 0 tiến tới 2 giới hạn khác nhau 2.2.2 Tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số Các tính chất sau là hiển nhiên, bạn đọc tự chứng minh: Nếu tồn tại giới. .. về giới hạn hàm số Định lí 2.2.7 (Cauchy) Cho hàm f : D R, x0 R là điểm tụ của D Giới hạn lim f (x) tồn tại và hữu hạn trong quá trình x x0 khi và chỉ khi cho tr-ớc xx0 > 0 tuỳ ý, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi x, y D và 0 < |x x0 | < , 0 < |y x0 | < (x, y = x0 và thuộc lân cận U (x0 )) ta có |f (x) f (y)| < (Điều kiện đó còn đ-ợc gọi là điều kiện Cauchy) Ch-ơng II Hàm số, giới hạn hàm. .. x+1 = ã 1 = e Ch-ơng II Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 20 2.2.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn Định nghĩa 2.2.4 Cho hàm : D R, x0 là điểm tụ của D (x0 có thể là + hoặc ) Ta nói : D R là vô cùng bé (VCB) trong quá trình x x0 nếu lim (x) = 0 xx0 Hàm A : D R là vô cùng lớn (VCL) trong quá trình x x0 nếu lim |A(x)| = + xx0 Nhận xét rằng nếu hàm f (x) có giới hạn hữu hạn L trong quá trình x . các phép toán về giới hạn hàm số Các tính chất sau là hiển nhiên, bạn đọc tự chứng minh: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim xx 0 f(x)=L 16 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục thì. trong định nghĩa giới hạn hàm số đều thỏa mãn. (Trong ví dụ này, giá trị hàm số tại x =0không ảnh h-ởng gì tới giới hạn hàm số). Ng-ời ta còn đ-a vào khái niệm giới hạn một phía của hàm f : D R. hiệu 6 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục Hình 2.1: Hàm lũy thừa f 1 (x)=log a x. Ng-ời ta gọi hàm ng-ợc của hàm số mũ là hàm logarit. Nó thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc f 1