Chứng minh rằng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.. Số k gọi là số tốt nếu ta có thể điền lên mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trong 2006 điểm đã cho một số tự nhiên không vượt quá k sao
Trang 1Kỳ thi chọn đội tuyển Quốc gia dự thi Olympic Toán học Quốc tế năm 2006
Ngày thứ nhất
Bài 1 Cho tam giác nhọn ABC , H là trực tâm, đường phân giác ngoài góc ∠BHC cắt AB và AC lần
lượt tại D và E Phân giác góc ∠BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại K Chứng minh rằng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC
Bài 2 Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm ( )n, k , k là số nguyên lớn hơn một sao cho số sau có thể phân tích dưới dạng tích của k số nguyên dương liên tiếp:
n n
n
A=172006 +4.172 +7.195
Bài 3 Cho 2006 điểm phân biệt trong không gian, không có bốn điểm nào thẳng hàng Số k gọi là số tốt nếu ta có thể điền lên mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trong 2006 điểm đã cho một số tự nhiên không vượt quá k sao cho với mọi tam giác có ba đỉnh trong 2006 điểm đa cho thì có hai cạnh được điền hai
số bằng nhau và cạnh còn lại thì được điền số lớn hơn Tìm số tốt có giá trị nhỏ nhất
Bài làm:
Bài 3
Ta sẽ chứng minh số tốt nhỏ nhất là 10
Trước hết ta định nghĩa một số khái niệm như sau: Một cách điền các số tự nhiên không vượt quá k lên các đoạn thẳng nối n điểm trong không gian, không có bốn điểm nào đồng phẳng, là một cách điền tốt nếu với mọi tam giác có ba đỉnh trong n đỉnh đã cho thì có hai cạnh được điền hai số bằng nhau và cạnh còn lại được điền số lớn hơn, và khi đó ta gọi k là số n-tốt Ký hiệu số n-tốt có giá trị nhỏ nhất là f( )n
ta sẽ chứng minh f(2006)=10
Trước hết ta sẽ chứng minh với mọi n≥5 thì ( ) 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
= f n n
f (1) Nhận xét rằng với k≥l thì
( )k f( )l
f ≥ nên ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
≥
2
1
n f n
f , nên để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n
f không là
số n-tốt và 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
f là số n-tốt
Giả sử ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
2
1
n
f là số n-tốt, tức là tồn tại một cách điền các số tự nhiên không vượt quá ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n f
lên các cạnh nối n điểm là một cách điền tốt Nhận xét rằng không có tam giác nào có ba đỉnh trong các điểm đó có hai cạnh điền ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n
f , hay nói cách khác, hai cạnh mà được điền số ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n
f thì không có đầu mút chung Suy ra ta có thể ký hiệu n điểm đã cho như sau: A1, A2, …, A2k−1, A2k,
1
2k+
A , …, A , ở đây các cạnh được điền số n ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n
f là A1A2, …, A2k−1A2k và các điểm còn lại là
1
2k+
A , …, A n
Xét các điểm A1, A , …, 3 A2k−1, A2k+1, …, A (do n 2k ≤n nên có ít nhất ⎢⎣⎡ +2 ⎥⎦⎤
1
n
điểm được chọn, gọi số điểm đã chọn là m) và các đoạn thẳng nối các điểm đó Do không có đoạn thẳng nào điền số
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
2
1
n
f , và phần đã chọn là một phần của một cách điền tốt nên nó là một cách điền tốt với các số
Trang 2không vượt quá 1
21 −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
<
2
1
n f m
f , mâu thuẫn với
2
1 +
≥ n
m Vậy giả sử sai hay
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
>
2
1
n
f
n
Tiếp theo ta sẽ chứng minh 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
f là số n-tốt Xét n điểm A1, A2, …, A n
Ta điền số 0 lên các cạnh A i A j mà i≠ j(mod2)
Với các điểm A1, A , … ta có thể điền các số từ 3 0 đến ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ + 2
1
n
f lên các đoạn nối nó sao cho là một
cách điền tốt với các điểm đó nên cũng có thể diền các số từ 1 đến 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
f sao cho là một cách điền tốt đối với các điểm đó (2)
Lập luận tương tự ta cũng có thể điền các số từ 1 đến 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
f lên các cạnh nối các điểm A2, A4,
… sao cho là một cách điền tốt đối với các điểm đó (3)
Ta chứng minh cách điền như vậy là một cách điền tốt đối với các điểm A1, A2, …, A Thật vậy, xét n
tam giác A i A j A k
Nếu i≡ j≡k(mod2) thì từ (2) và (3) suy ra có hai cạnh được điền hai số bằng nhau và cạnh còn lại được điền số lớn hơn
Nếu trong ba số i , j , k có hai số cùng tính chẵn lẻ và khác tính chẵn lẻ với số còn lại, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử i ≡ j(mod2), i≠k(mod2) và j≠k(mod2) Theo cách điền ta có cạnh A i A k
và A j A k được điền số 0 và cạnh A i A j được điền một số lơn hơn hoặc bằng 1, thỏa mãn
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +n
f là số n-tốt (**)
Từ (*) và (**) suy ra ( ) 1
21 +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
= f n n
Ta có
(2006)= f(1003)+1
f
( )502 +2
= f
( )251 +3
= f
= f( )126 +4
( )63 +5
= f
( )32 +6
= f
Trang 3( )16 +7
= f
( )8 +8
= f
( )4 +9
= f
Tiếp theo ta sẽ tính f( )4 Trước hết ta thấy 0 không là số 4-tốt Thật vậy nếu 0 là số 4-tốt, xét cách điền các số 0 lên các đoạn nối bốn điểm, xét ba điểm bất kỳ tạo thành một tam giác thì ba cạnh của tam giác đó đều được điền ba số bằng nhau, mâu thuẫn Mặt khác 1 là số 4-tốt, vì ta có thể điền như sau:
Vậy f( )4 =1, suy ra f(2006)=10
Vậy số tốt có giá trị nhỏ nhất cần tìm là 10
Bài 1
Gọi chân các đường cao đỉnh B và C của tam giác ABC lần lượt là P và Q Gọi trung điểm của cạnh
BC là M Ta có:
B C
B
B CBP
B
B CQP
MCQ
MCQ MQP
MQH
sin
cos 90
90 sin
90 sin 90
sin
90 sin sin
sin sin
− +
−
−
=
∠ +
−
−
=
∠ +
∠
∠
=
∠
∠
(1)
A C
B C
C
BCQ C
MPB
BPQ MPB
MPH
MPQ
cos
sin 90
sin
90 90
sin 90
sin
90 sin sin
sin sin
sin
=
−
− +
−
=
−
∠ +
−
=
∠
∠ +
∠
=
∠
∠
(2)
Do ∠QHD=∠PHE nên ∠ADE =∠AED suy ra tam giác ADE cân tại A , nên AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Ta có KE // BP vì cùng vuông góc với AC nên ∠KHP=180−∠HKE suy ra sin∠KHP=sin∠HKE
(3)
CQ
KD // vì cùng vuông góc với AB nên ∠KHQ=180−∠DKH suy ra sin∠KHQ=sin∠DKH (4)
Trang 4Từ (3) và (4) suy ra =
∠
∠
=
∠
∠
=
∠
∠
DKH KD
KH
HKE KE
KH
DKH
HKE KHQ
KHP
sin 2 1
sin 2 1 sin
sin sin
sin
HAE HAD
AD AH
HAE AE
AH AHD
S
AHE S HD
HE DKH
S
HKE
S
∠
∠
=
∠
∠
=
=
=
=
sin
sin sin
2 1
sin 2 1
C B
C
cos
cos 90
sin
90
−
−
Từ (1), (2) và (5) suy ra:
1 sin
sin sin
sin
sin
∠
∠
∠
∠
∠
∠
KHQ
KHP MPH
MPQ MQP
MQH
Áp dụng Định lý Xê-va dạng sin cho tam giác HPQ ta có HK , PM và QM đồng quy hay HK đi qua trung điểm M của BC, điều phải chứng minh
Bài 2
Giả sử ( )n, k là một cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán Trước hết ta chứng minh k ≤3 Giả sử k≥4,
do A phân tích được thành tích của bốn số nguyên dương liên tiếp nên AM8
Mặt khác ta có:
(mod8)
1
172006n ≡
(mod8)
4
17
4 2n ≡
(mod8)
3
19
7 5n ≡− n
Nên 5 3n(mod8)
A≡ − Nếu n chẵn thì A≡4(mod8), nếu n lẻ thì A≡2(mod8), mâu thuẫn với 8AM Vậy giả sử sai hay n≤3
Do k >1, nên k =2 hoặc k =3
Nếu k =2, ta sẽ chứng minh ( ) ( )n,k = 0,2 là cặp số duy nhất thỏa mãn
Trang 5Kỳ thi chọn đội tuyển Quôc gia dự thi Olympic Toán học Quốc tế năm 2006
Ngày thứ hai
Bài 1 Cho x , y , z là các số thực trong đoạn [ ]1,2 , chứng minh bất đẳng thức sau:
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+ +
+ +
≥
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ + +
+
y x
z x z
y z y
x z
y x
z
y
Bài 2 Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Một đường thẳng l thay đổi luôn vuông góc với đường thẳng AO và cắt các tia AB , AC lần lượt tại M và N Giả sử rằng BN cắt
CM tại K và AK cắt BC tại P
1/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định khi l thay đổi
2/ Ký hiệu H là trực tâm của tam giác AMN, BC =a, d là khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng
HK Chứng minh rằng
2 2
Bài 3 Cho dãy ( )a n n=0 xác định như sau:
1
0 =
a và + = ⎜⎜⎝⎛ + ⎟⎟⎠⎞
n n n
a a a
3
1 2
1
1
Ký hiệu
1 3
3
2 −
=
n n
a
A , chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì A là số chính phương và có ít n
nhất n ước nguyên tố phân biệt
Bài làm:
Bài 2
1/
Ta ký hiệu (A,C,B,D) là tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng A , B , C và D được xác định như sau:
CD
CB AD
AB D
B
C
Hàng điểm A, B, C, D là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi (A,C,B,D)=−1
Bổ đề 1 Cho bốn điểm phân biệt A , B , C và D trên mặt phẳng Giả sử rằng AD cắt BC tại E , AB
cắt CD tại F , AC cắt BD tại I và EI cắt AB tại K thì (A,B,K,F)=−1, hay A , K , B , F là hàng
điểm điều hòa
Chứng minh
Trang 6Ta có các đường thẳng IA , IK , IB , IF lần lượt cắt đường thẳng CD tại C , L , D , F nên:
(A,B,K,F) (= C,D,L,F) (1)
Các đường thẳng AD , AL , AC , AF lần lượt cắt đường thẳng AB tại A , K , B , F nên
(C,D,L,F) (= B,A,K,F) (2)
Mặt khác ta có ( ) ( )
F K A B F K B A
, , ,
1 ,
,
Từ (1), (2) và (3) suy ra (A,B,K,F)2 =1, ta lại có (A,B,K,F)≠1 nên (A,B,K,F)=−1, Bổ đề 1 được chứng minh
Ký hiệu ( )a, b là góc có hướng giữa hai đường thẳng a và b, trong lời giải này các góc có hướng được lấy theo modπ
Bổ đề 2 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H thì các đường thẳng AO và AH đối xứng với nhau qua đường phân giác trong góc A của tam giác ABC, hay nói cách khác thì
(AB,AO) (= AH,AC)
Chứng minh
Đường thẳng AO lần nữa cắt đường tròn ( )O tại D Ta có:
2 ,
,
Bổ đề 2 được chứng minh
Trang 7Gọi giao điểm của MN và BC là R , trung điểm của BC là Q , T là trực tâm của tam giác ABC Ta có:
2 ,
, ,
+
= +
= MB AO AO MN AB AO
MN
2 ,
,
(5)
Áp dụng Bổ đề 2 cho tam giác ABC ta có (AB,AO) (= AT,AC) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra (MB,MN) (= CB,CN) nên bốn điểm M , N , B và C cùng thuộc một đường tròn, suy ra RM.RN = RB.RC (7)
Áp dụng Bổ đề 1 cho bốn điểm B , C , M , N ta có (B,C,P,R)=−1 hay:
0
−
=
÷ BP CR BR CP
CR
CP
BR
BP
⇒ RP RB CR BR RP RC
⇒ RP RB RC RB RP RC
⇒
RC RB
RQ
RP =
Từ (7) và (8) suy ra RP.RQ=RM.RN , nên bốn điểm M , N , P và Q cùng thuộc một đường tròn hay
đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua trung điểm Q của BC cố định, điều phải chứng minh
2/
Bổ đề 3 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) với H là trực tâm thì
2 2
Chứng minh
Trang 8Gọi M là trung điểm của đoạn BC, đường thẳng AO lần nữa cắt đường tròn tại D
Ta có AH // CD (vì cùng vuông góc với BC)
HC
AD // (vì cùng vuông góc với AB )
Vì AHCD là hình bình hành, nên AH =CD (9)
OM là đường trung bình của tam giác BCD nên CD=2OM (10)
Từ (9) và (10) suy ra AH =2OM =2 BO2 −BM2 = 4R2 −a2 , bổ đề được chứng minh
Áp dụng định lý Xê-va dạng sin cho tam giác BKC với các đường thẳng qua các đỉnh và đồng quy tại
T ta có:
1 sin
sin sin
sin
sin
sin
2
∠
∠
∠
∠
TBK
TBC TCB
TCK
K
K
Suy ra
TBC TCK
TBK TCB
K
K
∠
∠
∠
∠
=
sin sin
sin sin
sin
sin
2
Áp dụng định lý Xê-va dạng sin cho tam giác MNK với các đường thẳng qua các đỉnh và đồng quy tại
H ta có:
1 sin
sin sin
sin
sin
sin
4
∠
∠
∠
∠
HNK
HNM HMN
HMK
K
K
Suy ra
HNK HMK
HNK HMN
K
K
∠
∠
∠
∠
=
sin sin
sin sin
sin
sin
4
Mặt khác ta có:
HMN MNA
MBC
∠
2 2
π π
suy ra sin∠TCB=sin∠HMN
Trang 9TCK BMC
BNC
∠
2 2
π π
suy ra sin∠TBK =sin∠TCK
HNM NMA
BCN
∠
2 2
π π
suy ra sin∠TBC =sin∠HNM
HMK MCN
MBN
∠
2 2
π π
suy ra sin∠HNK =sin∠HMK
Từ các đẳng thức trên và (11), (12) ta có
4
3 2
1
sin
sin
sin
sin
K
K
K K = (13)
Đặt α =π −K1−K2 thì α =π −K3 −K4 Xét tam giác Δ1 có các góc là α , K1, K2 với các cạnh tương ứng là m, n , p ; tam giác Δ2 với các góc là α , K , 3 K4 với các cạnh tương ứng là x , y , z Từ
(13) ta có:
z
y p
n = suy ra hai tam giác Δ1 và Δ2 đồng dạng nên K1 =K3 và K2 =K4 nên H , K và T
thẳng hàng
Gọi hình chiếu của A trên đường thẳng HK là U và giao điểm của l với AO là V Ta có:
2 2
AT
AU
d = ≤ = − , điều phải chứng minh
Ta nhận thấy rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi HK // BC Nhận xét rằng với mỗi điểm V thì xác
định một điểm H , tức là với hai điểm V khác nhau thì xác định hai điểm H khác nhau Vậy để chứng
minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi V thuộc BC ta chỉ cần chứng minh khi V thuộc BC thì
BC
HK //
Gọi R là chân đường cao đỉnh A của tam giác ABC Trong phân 1/ ta đã chứng minh M , N , B , C
cùng thuộc một đường tròn nên AM.AB= AN.AC suy ra
AB
AC AN
AM = nên ΔAMN đồng dạng với
ACB
Δ suy ra
AR
AT AV
AH = nên HT // BC, điều phải chứng minh, vậy bài toán được chứng minh xong
Bài 3
Ta có
3
2 3
1 1 2
1 3
1 2
1
0 0
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
a a
a
Trang 102 2
1
1 9
4 3
3 1
3
−
=
−
=
a
A
12 7
3
2 3
1 3
2 2
1 3
1 2
1
1 1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
a a
a
2 2
2
1 144
49 3
3 1
3
−
=
−
=
a
A
Ta có
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− +
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
=
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
−
=
+ +
3
2 9 1
4 1
3
2 9
1 4
3
3
1 3
1 2
1 3
3 1
3
3
2
2 2
2 2
2 1 1
n n n
n n
n n
n
a
a a
a a
a a
A
( 2 )2
2
2
1 3 36
3
1
4
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
n n
n
n
a a
a
a
(1)
Mặt khác từ
1 3
3
2 −
=
n n
a
A suy ra
3
1
1 +
=
n n
A
a , thay vào (1) ta được:
3
3 4
3
12 36
1 3
1 1
3
3
1 1 36
2 2
1
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
n n
n
n n
A A
A
A
A
A
Từ (2) ta suy ra:
3
3 3
3 4
3
3 4
4 3
3
+
n n n
n n
n
n
A A A
A A
A
A
9 27
3 2 3
16
+
= + +
n n n
n
n
A A A
A
A
(3)
Trước hết bằng quy nạp ta sẽ chứng minh A là số nguyên dương và chia hết cho n 9 với mọi số nguyên dương n (*)
Với n=1 thì A1 =9, (*) đúng
Giả sử (*) đúng đến n=k Từ (2) suy ra:
3
3 4
1
+
=
k
A
A
A nên A k+1 cũng là số nguyên dương và chia hết cho 9 Theo nguyên lý quy nạp suy
ra (*) đúng với mọi n là số nguyên dương
Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp rằng A là số chính phương với mọi n n nguyên dương (**) Với n=1, 2
1 =3
A , (**) đúng
Với n=2, 2
2 =12
A , (**) đúng
Trang 11Giả sử (**) đúng đến n=k Từ (3) ta có:
1
k
A
Từ (*) suy ra A k+1 cũng là số chính phương Theo nguyên lý quy nạp thì (**) đúng với mọi n nguyên dương
Cuối cùng, ta chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi n nguyên dương thì A có ít nhất n n ước nguyên
tố phân biệt (***)
Với n=1, 2
1 =3
A có môt ước nguyên tố là 3
Với n=2, 2
2 =12
A có hai ước nguyên tố là 2 và 3
Giả sử (***) đúng đến n=k Ta có:
3
3 4
1
+
=
k
A
A
3
3
k
A
Do 9A kM nên
3
3 +
k A
là số nguyên không chia hết cho 3, và ta có với mọi m≥2 thì A là số chẵn nên m
3
3
+
k
A
là số lẻ (4)
⎠
⎞
⎜
⎝
=
3
3 ,
k
A A
d suy ra d |12, từ (4) suy ra d =1
Suy ra A k+1 có nhiều ước nguyên tố phân biệt hơn A , mà k A có ít nhất k k ước nguyên tố nên A k+1 có ít nhất k+1 ước nguyên tố Theo nguyên lý quy nạp thì (***) được chứng minh
Vậy bài toán được chứng minh xong
Bài 1
Do x,y,z∈[ ]1,2 , nên x+ y≥z, y+z ≥x, z+x≥ y nên tồn tại các số thực không âm a, b và c
không đồng thời bằng 0 thỏa mãn:
c
b
x= + , y=c+a, z=a+b
Thay vào bất đẳng thức ta được:
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ +
+ + + +
+ + + +
+
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+ +
+ + +
+
c b a
b a b a c
a c a c b
c b a
c c b b a
c
b
a
2 2
2 6
1 1
1
Đặt a+b+c=m, ab+bc+ca=n, abc= Ta có: p
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− + +
− + +
−
≥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
c m b m
b m a m
a m c
m b m a
m
1
(m a)(m b)(m c)
b m a m c m a m c m b m c m b m
a
m
c m b m a m
a m c m c m b m b m
a
m
m
+ + +
+ +
− + + +
− + + +
−
≥
≥
−
−
−
−
− +
−
− +
−
−
⇔
3
+ + + + +
−
⇔
c m b m a m
ca bc ab m c b a m
m3 2 2