CÁC KIẾN THỨC VÀ CÔNG THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC 12 doc

Hình tứ diện đều: a Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b Chân đường cao trùng với tâm của đáy hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy c Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng n

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 sin = AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cos =

AC

BC (KỀ chia HUYỀN)

3 tan = AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cot =

AC

AB (KỀ chia ĐỐI)

II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)

2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC

4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6

AH  AB  AC

III ĐỊNH LÍ CÔSIN

1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC

IV ĐỊNH LÍ SIN

2R sin A  sin B  sin C 

V ĐỊNH LÍ TALET

MN // BC

AB  AC  BC ; b)

MB  NC

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông:

a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2

(2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)



B

A

N M

C B

A

C B

A

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

3BN

2 Đường cao:

Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực:

Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác:

Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều:

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều:

a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp():

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là:

d a; d b

a, b











d ()

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

  





   



   



d ()

c) Đt d vuông góc với mp() thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp()

4 Góc  giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad

Nếu AH ( )

H ( )

 





 



thì góc giữa d và () là  hay AOH ˆ = 

5 Góc giữa 2 mp() và mp():

Nếu

( ) ( ) AB

EM ( ), FM ( )

   









thì góc giữa () và () là  hay EMF ˆ = 

6 Khoảng cách từ điểm A đến mp():

(hình ở mục 4)

G P

N M

C B

A







F

E

M B

A

 O

H

A

d' d



www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

Nếu AH () thì d(A, ()) = AH

(với H ())

B KHỐI ĐA DIỆN I/ CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1

Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Thể tích của khối hộp chữ nhật: VKHCN= a b.c

II/BÀI TẬP:

1 Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a

2 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a

3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông

góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc

600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

5 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a Tính thể tích của lăng trụ

6 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C = 600, đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300

a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ

7 Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy

một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó

8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC tạo

với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp

9 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy

Biết SA = BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

10 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C

11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD), cạnh bên SB =

3

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC

Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a Các cạnh bên hình chóp đều bằng

nhau và bằng a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

14 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 900 Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC

15 Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi Tính thể tích khối tứ diện

OABC và diện tích tam giác ABC

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a Tam giác SAC là tam giác đều Tính thể tích khối

chóp S.ABCD

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học

17 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vuơng gĩc với (ABC)

, hai mặt bên cịn lại cùng tạo với (ABC) gĩc 450 Chứng minh chân đường cao H của hình chĩp là trung điểm BC và tính thể tích khối chĩp S.ABC

18 Cho khối chĩp S.ABC cĩ đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuơng cân cĩ AB = BC = a Gọi B’ là

trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC Chứng minh SC vuơng gĩc với

mp(AB’C’) và tính thể tích khối chĩp S.AB’C’

19 Cho hình chĩp tam giác SABC cĩ ABC là tam giác vuơng tại B cĩAB = a , BC = b và SA = c, SA

vuơng gĩc với (ABC).Gọi A’và B’ là trung điểm của SA và SB Mặt phẳng ( CA’B’) chia khối chĩp thành 2 khối đa diện

a) Tính thể tích hai khối đa diện đĩ b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABC

20 Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc SAC bằng 450 Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD

C MẶT CẦU, MẶT NĨN, MẶT TRỤ PHẦN 1: MẶT CẦU, KHỐI CẦU

1/ Tĩm tắt lý thuyết: ( SGK)

2/ Các công thức:

Diện tích mặt cầu: 2

4

3

V   R

3/ Các dạng tốn thường gặp:

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu bằng định nghĩa

- Tập hợp những điểm M cách đều một điểm O cố định là một mặt cầu tâm O, bán kính OM

- Các điểm cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu tâm là trung điểm O của

AB, bán kính

2

AB

- Tập hợp những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm A, B cố định bằng hằng số k2 là mặt cầu, tâm là trung điểm O của AB, bán kính 1 2 2

2 2

R k AB

Dạng 2:

Bài tốn 1:

Hình chĩp S.ABCD… cĩ các cạnh bên bằng nhau ( SA = SB = SC….)

 Vẽ SO  đáy (ABC…) , SO là trục của đường trịn ngoại tiếp ABC…

 Trong mp ( SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I

 I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC…

 Bán kính của mặt cầu nĩi trên là R = ÍS=IA=…

và ta cĩ SM.SA = SI.SO ( vì tam giác SMI và SOA đồng dạng),

do đĩ :

SO

SA SO

SA SM SI

R

2







Bài tốn 2:

Hình chĩp S.ABC… cĩ :Cạnh bên SA  đáy (ABC…)

và đáy ABC… nội tiếp đường trịn (O)

 Vẽ trục dường trịn ngoại tiếp ABC… đĩ là

đường thẳng d qua O và vuơng gĩc với mp (ABC…),

ta cĩ d // SA

 Trong mp(d,SA), đường trung trực của SA

cắt d tại I  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC…

 Bán kính của mặt cầu nĩi trên là :

) 2

SA OI Vi ( 4

2 2 2

2











R

Bài tốn 3:

Hình chĩp cĩ các đỉnh nhìn hai đỉnh cịn lại dưới những gĩc A

O

S

A

O

I

B

C

S

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học

vuơng, chẳng hạn tứ diện ABCD cĩ  ABD =  ACD = 900

Lúc đĩ, mặt cầu ngoại tiếp ABCD tâm O là trung điểm

của AD và bán kính R =

2

AD

























OD OA

AD OC

OD OA

AD OB

2

4/ Bài tập:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và vuơng gĩc với mp(ABC), ABC vuơng tại B và

AB = 3a, BC = 4a

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 2: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 3: Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hính vuơng cạnh bằng a SA = 2a và vuơng gĩc với

mp(ABCD)

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,

SB, SC đơi một vuơng gĩc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ

Bài 5: Chứng minh tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại B, DA vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a) Xác định mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D

b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Tính bán kính mặt cầu trong a)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác đều có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD

SA = AB = a

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua năm điểm S, A, B, C b) Tính diện tích mặt cầu

Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = b và OC = c Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ điện OABC

Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt đáy là Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 10: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi B’, C’, D’ là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cụt B’C’D’.BCD

PHẦN 2: MẶT TRỤ, MẶT NÓN

I/ LÝ THUYẾT

A MẶT TRỤ

1 Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng  song song với

l

- Đường thẳng  là trục

- Khoảng cách giữa  và l là bán kính

2 Hình trụ là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một hình chữ nhật quanh một đường trung bình

của nó

3 Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó

4 Các công thức Công thức tính diện tích S =2 Rh xq  ;

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học

S = S + STP xq 2đáy= 2 R.(h +R) 

Công thức tính thể tích 2

V= R h 

B MẶT NÓN

1 Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng  cắt l nhưng

không vuông góc với l

- Đường thẳng  là trục

- Giao điểm O của l và  gọi là đỉnh

- Hai lần góc hợp bởi l và  gọi là góc ở đỉnh

2 Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi khi quay một tam giác cân quanh trục của nó

3 Khối nón là hình nòn cùng với phần bên trong của nó

4 Các công thức Công thức tính diện tích S = Rl xq  ;

S = S + STP xq đáy= R.(l +R) 

Công thức tính thể tích 1 2

V= R h

3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1: Một hình nĩn cĩ chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuơng

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

Bài 2: Trong khơng gian cho tam giác vuơng OAB tại O cĩ OA = 4, OB = 3 Khi quay tam giác vuơng OAB

quanh cạnh gĩc vuơng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nĩn trịn xoay

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

Bài 3: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a

a)Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S

b)Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 4: Cho hình chĩp S.ABC cĩ 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA,

SB, SC đơi một vuơng gĩc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ

Bài 5: Một hình nĩn cĩ độ dài đường sinh bằng l và gĩc giữa đường sinh và mặt đáy bằng 

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

Tính: SO = lsin (SOA tại O)

Bài 6: Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nĩn bằng 2a2

Tính thể tích của hình nĩn

Bài 7: Một hình nĩn cĩ gĩc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 Tính thể tích của hình nĩn

Bài 8: Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cĩ cạnh gĩc vuơng bằng a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩ

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một gĩc 600 Tính diện tích của thiết diện này

Bài 9: Cho hình nĩn trịn xoay cĩ đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn

b) Tính thể tích của khối nĩn

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích của thiết diện đĩ

www.VIETMATHS.com Kinh Toán học

Bài 10: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng

2

a

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Tính diện tích tam giác SBC

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN:

1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:

1 AB(x B x A;y B y A;z Bz A) 2 AB AB= (x Bx A)2(y By A)2(z Bz A)2

3 ab a1b1;a2 b2;a3b3





4 k a ka1;ka2;ka3



5

























3 3

2 2

1 1

b a

b a

b a

b

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

) , cos(

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a b a





























7 a.b a1.b1a2.b2a3.b3





8 a  a12a22a32



9

3 3

2 2

1

1 //

b

a b

a b

a b k a

b









10   0 1 1 2 2 3 30









b a b a b a b

a b a



















 

2 1

2 1

1 3

1 3

3 2

3 2

;

; ,

b b

a a b b

a a b b

a a

b

a

12 a, b,c   đồng phẳng ab c 0 13 a, b,c   khơng đồng phẳng ab c 0

14 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 15 M là trung điểm AB























k

kz z k

ky y k

kx

x

1 1

,







2

, 2

, 2

B A B A B

A x y y z z x

M

16 G là trọng tâm tam giác ABC 17 Véctơ đơn vị:











, 3

, 3

,

3

C B A C B A C

B

A x x y y y z z z

x

18 M(x,0,0)Ox;N(0,y,0)Oy;K(0,0,z)Oz 19 M(x,y,0)Oxy;N(0,y,z)Oyz;K(x,0,z)Oxz

 

21 ABCD 1

V (AB AC).AD

6

  

22 / / / /  ,  '

. AB AD AA

V

D C

B

ABCD 

2/ Mặt cầu :

2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R

S(I, R) : x a2 y b2 z c2 R 2











Ptrình x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0(2) (với A2B C D2 2 0) là phương trình mặt cầu

Tâm I(-A ; -B ; -C) và R  A B C D2 2 2

2.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

R c z b y a x : (S)  2  2  2 và mp() : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp() :

 d > R : (S)   = 

 d = R :  tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt      



























0 D Cz By Ax :

R c z b y a x :

www.VIETMATHS.com Kinh Tốn học

2.3 Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu























t a z z

t a y y

t a x x

d

3 o

2 o

1 o : (1) và (S): xa 2 yb 2 zc2R2 (2)

+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,

+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm

CÁC DẠNG TỐN

a/ Các dạng tốn về toạ độ điểm, véctơ

Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác

A,B,C là ba đỉnh tam giác  [  

AC ,

AB ] ≠ 0

Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành

 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

 ABCD là hbh  AB  DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:

+ Cách 1: Chứng minh [  

AC ,

AB ].AD ≠ 0

+ Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C

Thế tọa độ D vào ptmp để chứng minh D(P)

Dạng 4: Hình chiếu của một điểm M trên các trục tọa độ và trên các mp tọa độ:

Cho điểm M ( x , y , z ) Khi đĩ:

+ M1 là hình chiếu của điểm M trên trục Ox thì M1 ( x , 0 , 0 )

+ M2 là hình chiếu của điểm M trên trục Oy thì M2 ( 0 , y , 0 )

+ M3 là hình chiếu của điểm M trên trục Oz thì M3 ( 0 , 0 , z )

+ M4 là hình chiếu của điểm M trên mpOxy thì M4 ( x , y , 0 )

+ M5 là hình chiếu của điểm M trên mpOxz thì M5 ( x , 0 , z )

+ M6 là hình chiếu của điểm M trên mpOyz thì M6 ( 0 , y , z )

Dạng 5:/ Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Ta đi chứng minh 2 véctơ AB, AC  cùng phương

b/ Các dạng toán về mặt cầu :

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

+ S(I, R) : x a2 y b2 z c2 R 2











Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

2

AB

R 

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp 

ta âm I

A xI

R d (I, )

Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cách 1 : Ptr mc có dạng x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0

A,B,C,D  mc(S) hệ pt, giải tìm A, B, C, D

Cách 2: I là tâm mặt cầu



















2 2

2 2

2 2

ID IA

IC IA

IB IA

Giải hệ pt tìm I, bán kính R= IA

Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

www.VIETMATHS.com Kinh Toỏn học

Mc(S) coự ptr: x2y2z + 2Ax + 2By + 2Cz2 D0(2)

A,B,C  mc(S): theỏ toùa ủoọ caực ủieồm A,B,C vaứo (2) Theỏ toaù ủoọ taõm m/c I(-A, -B, -C) vaứo pt (α)

Giaỷi heọ phửụng trỡnh treõn tỡm A, B, C, D

Daùng 6: Maởt phaỳng tieỏp xuực maởt caàu taùi A( mặt tiếp diện)

Tieỏp dieọn (  ) cuỷa mc(S) taùi A :  qua A,vtpt n IA

Daùng 7: Tỡm tieỏp ủieồm H của mặt phẳng vaứ mặt caàu : (laứ hchieỏu cuỷa taõm I treõn mp  )

+ Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự a d n 

+ Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : (d) vaứ ()

Daùng 8: Tỡm baựn kớnh r vaứ taõm H cuỷa ủửụứng troứn giao tuyeỏn giửừa m/c S(I ;R) vaứ mp():

+ baựn kớnh 2 2( , )

 I

d R

r 

+ Tỡm taõm H ( laứ h chieỏu cuỷa taõm I treõn mp())

*Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) qua I vaứ vuoõng goực mp : ta coự a d n 

*Toùa ủoọ H laứ nghieọm cuỷa hpt : ptr(d)

ptr( )









BÀI TẬP ÁP DỤNG

A BAỉI TAÄP VEÀ TOAẽ ẹOÄ ẹIEÅM TOAẽ ẹOÄ VEÙCTễ:

1: Cho ba vectơ



a= ( 2;1 ; 0 ),



b= ( 1; -1; 2) ,



c= (2 ; 2; -1 )

a) Tìm tọa độ của vectơ :



u= 4



a- 2



b+ 3



c b) Chứng minh rằng 3 vtơ



a,



b,



ckhông đồng phẳng

2: Cho 3 vectơ



a= (1; m; 2),



b= (m+1; 2;1 ) ,



c= (0 ; m-2 ; 2 ) Định m để 3 vectơ đó đồng phẳng

3: Tìm tọa độ của vectơ x

 , biết rằng: a) a x 0

  

  và a 1; 2;1



  b) a x 4a

  

  và a 0; 2;1



 

c) a 2x b

  

  và a 5; 4; 1



  , b  2; 5;3 



4: Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:

a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz

5: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy

6: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ của các đỉnh còn

lại

7: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M

a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M

8 Cho ba vectơ a 1; 1;1 , b 4;0; 1 ,

    c 3; 2; 1 



           

         

9 Tính góc giữa hai vectơ a



và b

 : a) a 4;3;1 , b  1; 2;3

   b a) 2;5; 4 , b 6; 0; 3 

10 a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1)

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1)

11 Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1)

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác b) Tính chu vi và diện tích ABC

c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành d/ Tìm toạ độ trọng, trực tâm của ABC

e) Tính độ dài đường cao của ABC hạ từ đỉnh A f) Tính các góc của ABC

g/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

12. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)