Phép biến hình nâng cao

CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 1 - CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác đònh được một điểm duy nhất M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé    f p biến hình đó . ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M= f(M) hay f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoII   12 2 1 ª ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l    à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .  2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c   ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . 3 Tính chất : ( của phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng  thành ba điểm không thẳng hàng . HQ: Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 4. Tam giác thành t    am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 6. Góc thành góc II I bằng nó . B . BÀI TẬP            x = 2x 1 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I              f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 1 2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2 I        ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ?     11 22 11 1 1 22 22 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 2 -      22 22 21 21 21 21 12 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .         yx xy 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình II     12 ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I   b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( I   12 vì y y thì M N MN )    6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I                                x x = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2 yy1 yy1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2: Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M I            ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I                        Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ ( ):x 6y 2 0 61 VTCP : M N (6; 1)     22 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I  22 2) + (y 3) = 4    8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I    22 22 11 22 11 1 1 + 1) + (y 2) = 2 . xy d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 32 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N I     22 2 2 22 21 21 (x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 3 -                           b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = yy1 yy1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I  ) : x2y40             Cách 2: Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I                        Qua M (2;1) x2 y1 ( ) (M N ): PTCtắc ( ) : PTTQ( ):x 2y 4 0 21 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng                 ( ) // ( ) . Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ): x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I                22 22 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = yy1 yy1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y I             22 f 22 )(C) : (x4) (y3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f[I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2              d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y1 yy1 I       22 2 2 2 2 x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 32 3 2 3 2    9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I     22 2 22 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)  10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? I  A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0  ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .    11 2 2 12 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghóa là tì II   12 21 ff m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .II    x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I      ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)   ĐS : Chọn D . Vì M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9) http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 4 - Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN     1 ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.        Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM u uu Phép tònh tiến hoàn toàn được xác đònh khi biết vectơ tònh tiến của no ù . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nha á t . oo 2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tònh tiến T u              x= x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y= y + b I   3 Tính chất : ĐL: Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .  Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )II   8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM         x= x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y= y + b I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .      Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M (H) M (H ) 2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương I           Tâm I Tâm I (H)(C) (H)(C) (cần tìm I) . + bk : R + bk : R = R Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 II    : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B, BÀI TẬP                   1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x32 x5 Theo đònh nghóa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1) u y21 y 1      M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tònh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1)     A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2)       B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 5 -         3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A= T(A) (5;4) , B= T(B) uu                   12 12 (4;2) , AB = |AB| 5 , AB = |AB | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) . 12 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M 1u 1 1 2u 1 12            u . 2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u 2v 2 2 11212 12      5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2; 1) .                          Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) . uu qua A (1; 1) x1t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y12t VTCP : A B = (1;2)         6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) , u                             BT(B)(1;1) . u qua A (0; 2) xt Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts : u y23t VTCP : A B = ( 1;3) 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)            : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm ảnh c               22 ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y= y 3 y = y+ 3 Vì : M(x;y) (              22 22 22 C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 22 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4    9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I     22 2 22 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x   1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x;y) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I  Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f[M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t rục tung C sai .              22 9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tònh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x= x 2 x = x+ 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tònh tiến T là : u y= y 4 y = y 4             22 22 22 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 22 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 6 -          22 22 BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 22 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )    22 : x y 2x 2y 7 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải                        Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x13 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4) AI y22 y4 Vì I là trung điểm của AC nên : D =                  x12 x 3 DD T(I) IDBI D(3;4) BI y22 y4 DD Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một        phép tònh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tònh tiến như thế ? Giải : Chọn 2 điểm cố đònh A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB AB         MA MB MB//MA M d d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tònh tiến biến (I,R)                    thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II II IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d     ễ thấy J cố đònh và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tònh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là JB ảnh của đường tròn (C) trong phép tònh tiến theo vectơ JB   2 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tònh tiến đó . Hãy viết phương trình của                            u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 22 Mà : M(x;y) (P):y ax y n = a(x m) y = I                  22 a(x m) n M(x;y) (P) : y = a(x m) n 222 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tònh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n . u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi        ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3) u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi    ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v uv để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 7 - T u+v    uv TT A( 5;2) B C( 1;0) II . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)                   uv 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tònh tiến T rồi T . uv TT HD :Gỉa sử : A(x;y) BII                                    C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x11 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . uv y25 y7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trụ            uu c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tònh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) . u Giải TT A(3;0) G( 1;3) G (x ;yII                              ) x1 4 x 5 Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y33 y6 22 22 19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ):x y 10x 4y 25 0. Có hay không phe        ùp tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tònh tiến theo vectơ u      = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC là hình bình hành nên : BC                                      u AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1) u T xx2 xx2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u yy 1 yy1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) :2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C 111 I lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I 123 123 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C , 11 BC A 1             111 AB AB AB 222 , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I . 111 123123 HD : Xét phép tònh tiến : T biến A C,C B,B A . 1111 AB 2 TTT AB C C BA ;O O ;I I . 11 1 1 1 21 2 III III             OO II OO II . 12 12 12 12 Lý luận tương tự : Xét các phép tònh tiến T ,T suy ra : 11 BC CA 22 OO II và OO II OO II,OO II OOO III ( 2 3 23 3 1 31 2 3 23 3 1 31 1 2 3 123  c.c.c).               BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3I    0 (vì B 150 ) http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 8 -                  o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Đònh lý hàm cos trong MCD : 3 222 22 MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2             đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .      63 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN   1 ĐN1: Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM . Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứn  g trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha      aooo úng a . Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Khi đó :   a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )   a M a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM aa Đ(M) M thì Đ(M) M   aa Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .     d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có the å có một hay nhiều trục đối xứng .            d 2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y I  3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứ HQ :  ng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn I    g tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I I a PP : Tìm ảnh M = Đ (M) 1. (d) M , d a 2. H = d a 3. H là trung điểm của MM M ?       http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 9 -            a a ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( ) TH1:( )// (a) 1. Lấy A,B ( ) : A B 2. Tìm ảnh A = Đ (A) 3. A , // (a)        a TH2 : // a 1. Tìm K = a 2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P) 3. (KQ)  ª PP :  min Tìm M ( ) : (MA + MB) .           min min Tìm M ( ) : (MA+ MB) Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) : 1) gọi A là đối xứng của A qua ( ) 2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )      min Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) : M ( ), thì MA + MB AB Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )  B . BÀI TẬP   Đ Đ Oy Ox 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy . HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1) 2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ II         Đ Đ Oy Ox ĐĐ ab ĐĐ ab ng qua Ox . HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b) 3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M . HD : M( 1;2) M (5;2) II II II                   ĐĐ ab ĐĐ ab tđ(m;y) tđ( M (5; 4) [ vẽ hình ] . 4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0). Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ). x2mx HD : M(x;y) M yy II                 2m x; n) x2mx M y2ny 5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 . HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H là trung điểm của MM M ( 3; 2) 6 Cho điểm M( 4;          a a 1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4) 7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) . HD : 41 Vì 1                 a cắt aK aK(2;1) 1 M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7/ 2):tđiểm của MM M Đ (M) (2;2) KM : x 4y + 6 = 0          a a a 8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 . HD : a Ox = K( 3;0) . 39 M O(0;0) Ox : M = Đ (M) = ( ; ) . 55 b KM : 3x + 4y 9 = 0 . 9 Tìm b = Đ (Ox) với đườ ng thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 . http://ebooktoan.com/forum CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 10 -                HD : a Ox = K(3;0) . P O(0;0) Ox . + Qua O(0;0) :3x y 0 + a 39 39 E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) . 10 10 5 5 b KQ : 3x + 4y 9 = 0 . 1       Ox Ox 0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách 2 : K= a Ox K(3;0) P(0;1) a Q = Đ (P) = (0; 1)  b KQ : x 3y 3 = 0 .                        a 11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) . PP : / /a Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B Cách 2 : Tìm A A / / , A                      a 22 a 22 Giải: A(0;1) A Đ (A) (2; 3) A , / / : x 2y 8 0 12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)] HD : (C ) : (x 3) y 1 .     Ox 13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng đònh nào sau đây sai ? A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng C. ABC Đ ( ABC) Oy D. Trọng tâm : G = Đ (G) HD : Chọn D     22 14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4. Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 . Giải : Gọi M ,                 ( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a . Qua M( 3;2) a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) : a + (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y4 = 0                                     HMM HMM M M M M 1 x(xx) 2 + H = (d) (a) H( 2;0) H là trung điểm của M,M H 1 y(yy) 2 1 2(3x) x1 2 M ( 1; 2) 1y2 0(2y) 2 b) Tìm ảnh ( ) : 13 Vì ( ) cắt (a 12        )K= ()(a) x + 3y 8 = 0 Toạ độ của K là nghiệm của hệ : K (2; 2) x2y + 2 = 0            a Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) ) Qua P( 1;3) Gọi đường thẳng (b) : a http://ebooktoan.com/forum [...]... Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có 4 trục đối xứng BC 30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn D Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng - 13 - D Hình thang cân D Hình thang cân CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH 31 Trong các hình sau , hình nào... : I1I2I3I 4 là một hình vuông Vấn đề 6 : HAI HÌNH BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐL : Nếu ABC và ABC là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ABC thành ABC 2 Tính chất : 1 Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình 2 Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia B BÀI TẬP 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự là... 33 - CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH http://ebooktoan.com/forum 2 Cho ABC có đường cao AH H ở trên đoạn BC Biết AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F được hợp thành bởi hai phép biến hình nào dưới đây ? 1 A) Phép đối xứng tâm H và phép vò tự tâm H tỉ số k = 2  B) Phép tònh tiến theo BA và phép vò tự tâm H tỉ số k = 2 C) Phép vò tự tâm H tỉ số k = 2 và phép quay tâm H... 4) Phép biến hình f biến A thành A(;3) , B thành B(2;6),C thành C(4;7) Khẳng đònh nào sau đây đúng ? A) f là phép quay Q  3 B) f là phép đối xứng tâm I(  1; ) 2 D) f là phép đối xứng trục (O;90 )  C) f là phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề 7 : PHÉP VỊ TỰ 1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k  0 Phép vò tự tâm I tỉ số k    k Kí hiệu : VI , là phép biến hình biến. .. đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì :  đều có 3 trục đối xứng http://ebooktoan.com/forum C  đều D  vuông cân 32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ? A Hình vuông B Hình thoi C Hình tròn ĐS : Chọn C Vì : Hình tròn có vô số trục đối xứng D Hình thang cân 33 Trong các hình sau , hình nào không có trục đối xứng ? A Hình bình hành B  đều C  cân D Hình thoi ... AC và BC= CA= AB= Vấn đề 8 : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ĐN : Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M , N và ảnh M, N là ảnh của chúng , ta có MN= k.MN 2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) đều là hợp thành của một phép vò tự tỉ số k và một phép dời hình D 3 Hệ quả : (Tính chất ) Phép đồng dạng : 1 Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm... tự ) 2 Biến đường thẳng thành đường thẳng 3 Biến tia thành tia 4 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k ( k là tỉ số đồng dạng ) 5 Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k) 6 Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R= k.R 7 Biến góc thành góc bằng nó 4 Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng biến hình này... Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh rằng : Hai hình thang AJOE và GJFC bằng nhau HD :  Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình. .. (HB;HA) D) Phép vò tự tâm H tỉ số k = 2 và phép đối xứng trục HD : 2 Phép VH và Q(H;) với  = (HB;HA) : B I A, A I C   Vậy : F là phép đồng dạng hợp thành bởi V và Q biến HBA thành HAC     3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA  2IB  0 và gọi G là trọng tâm của ABD F là phép đồng dạng biến AGI thành COD F được hợp thành bởi hai phép biến hình nào... nào sau đây ?  A) Phép tònh tiến theo GO và phép vò tự V(B;  1) 1 B) Phép đối xứng tâm G và phép vò tự V(B; ) 2 3 C) Phép vò tự V(A; ) và phép đối xứng tâm O 2 2 D) Phép vò tự V(A; ) và phép đối xứng tâm G 3 HD :  3  Vì G là trọng tâm ABD nên AO  AG 2  3   Theo giả thiết , ta có : AB  AJ 2 Phép đối xứng tâm O , biến A thành C và B thành D ( O là bất biến ) 2/3 ĐO VA  A I . CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH - 1 - CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một. ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l    à một hình nào đó. = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .  2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng