Đề thi khảo sát đại học môn toán năm 2010-2011 THPT Chuyên Vĩnh Phúc potx

Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox.. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Trang 1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3

Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )

PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH (7,0 điểm )

Câu I :(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x3

– 3x2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : − − =

−

2

1

m

x

Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 2 2 os 5 sin 1

12

c  π x x

2) Giải hệ phương trình: 2 8





Câu III: (1,0 điểm ) Tính tích phân:

3

2 0

4 ln 4

 − 

+

x

Câu IV :( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác

SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 0

60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: S=2 x2+ +1 3 y2+16+ z2+36

PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)

PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )

Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của

cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:x − y 2 − = 0 và C 3; 3( − ).Biết đỉnh A thuộc đường thẳng

d : 3x + y 2 − = 0,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D

2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ( )P : x+y+ − =z 1 0và hai điểm A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2 ( − ) ( − − ) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA−MB đạt giá trị lớn nhất

Câu VII.a (1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :

+

PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )

Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD

có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và

0 6 :

2 x+y− =

d Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ

các đỉnh của hình chữ nhật

2 (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

d 1 : − −

−

, d 2:

2 2 3

y

z t

= −





=



 =

 Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: S =12C20111 +22C20112 +32C20113 + 2010+ 2C20112010+20112C20112011

……….…….Hết

Trang 2

http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

Trường thpt Chuyờn Vĩnh Phỳc kỳ thi khẢo SÁT đại học năm 2011

Mụn Toỏn 12 -Khối A-Lần thứ 3

Cõ u í Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 y=x − x + . 1,00 T + ập xỏc định: Hàm số cú tập xỏc định D= . +Sự biến thiờn: 2 3 6 y'= x − x. Ta cú 0 0 2 x y' x =  = ⇔  =   , y > 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2 ⇔h/s đồng biến trờn cỏc khoảng (−∞; 0 & 2;) ( +∞)  , y < 0 ⇔ 0 < x < 2 ⇔ h/s nghịch biến trờn khoảng (0; 2) 0,25  y CD = y( )0 =2; y CT = y( )2 = −2.  Giới hạn 3 3 x x 3 2 lim y lim x 1 x x →±∞ →±∞   =  − +  = ±∞   0,25  Bảng biến thiờn: x −∞ 0 2 +∞

y' + 0 − 0 +

y

2 +∞

−∞ − 2

0,25

+Đồ thị:

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2

-5

5

x y

0,25

Trang 3

Biện luận số nghiệm của phương trình x 2x 2

x 1

− − =

− theo tham số m

1

−

m

phương trình bằng số giao điểm của ( 2 ) ( )

y= x − x− x− , C' và đường thẳng 1

y m, x

0,25

( )

1

f x khi x

>



 nờn (C') bao gồm:

+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x= 1. + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x =1 qua Ox

Đồ thị hàm số y = (x2−2x−2) x−1 , với x ≠ 1 có dạng như hình vẽ sau

0,25

 hình

f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)

-5

5

x y

0,25

Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox

Dựa vào đồ thị ta có:

+ m< − 2: Phương trình vô nghiệm;

+ m= − 2: Phương trình có 2 nghiệm kép

+ − < 2 m< 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;

+ m≥ 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0,25

1

Giải phương trình: 2 2 os 5 sin 1

12

c  π x x

1, 0

∑

Trang 4

5

12

c  π x x

⇔   − +  =

0.25

2 cos sin sin

5

π

π π



= +



0,50

2

Giải hệ phương trình: 2 8





1, 0

∑

Điều kiện: x+y>0, x-y≥0

⇔

Đặt: u x y

v x y

= +





= −

⇔

0,25đ

2

3 (2) 2

uv





Thế (1) vào (2) ta có:

2

uv+ uv+ − uv = ⇔uv+ uv+ = + uv ⇔uv= 0,25đ

Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0

4

uv

u v

=



 + =

 (vì u>v) Từ đó ta có: x =2; y

=2.(T/m)

KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2)

0,25đ

III

Tính tích phân:

3

2 0

4 ln 4

 − 

+

x

1, 0

∑

Đặt

2

4 2

4 3

16x

4 x

x 16 v

dv x dx

4



 =  −   =

−

=

0,50

2 4

2

0 0

Gọi H là trung điểm của AB⇒SH⊥AB⇒SH⊥(ABC)

Trang 5

( ) ( ) ( ) 0 SAC ; SBC KA; KB 60

⇒   = = ⇒ ∠ AKB = 600∨ ∠ AKB 120 = 0

AKB 60

⇒ ∠ = thì dễ thấy ∆ KABđều ⇒ KA = KB = AB = AC (vô lí)

AKB 120

AKH 60

0

KH

tan 60 2 3

Trong ∆ SHC vuông tại H,đường cao

KH có 1 2 12 12

KH = HC +HS thay KH a

2 3

=

và HC a 3

2

= vào ta được SH a 6

8

=

0,25

V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: S=2 x2+ +1 3 y2+16+ z2+36

1, 0

∑

Ta có: S= ( )2x2+22+ ( )3y2+122+ z2+62Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc

tơ

a = 2x; 2 , b= 3y; 4 , c= z;6

,a+b+c=(2x+3y+z; 2 12 6+ + ) (= 40; 20)

a = 2x +2 , b = 3y +12 , c = z +6

, a b c+ + =20 5

Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :

S=a + b + c ≥ a+b+c

S 20 5

⇒ ≥ .Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ a, b, c cùng hướng

xét hệ điều kiện :2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40 2

x 2, y 8, z 12

Với : x=2, y=8, z=12 thì S=20 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi :

x=2, y=8, z=12

0,25

1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D 1, 00 Gọi A(t; 3t− +2).Ta có khoảng cách:

−

hay A 3; 7( − )∨A(−1;5).Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM

nên chỉ có A(−1;5)thoả mãn

Gọi D(m; m−2)∈DMthì AD=(m 1; m+ −7 , CD) =(m 3; m 1− + )

Do ABCD là hình vuông

0,25

Trang 6

DA.DC 0

= ∨ = −



=

Hay D(5;3) AB=DC= − −( 2; 6)⇒B(− −3; 1)

Kết luận A(−1;5),B(− −3; 1), D(5;3 )

0,25

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng ( )P : x+y+ − =z 1 0…… 1,00 Đặt vt của (P) là:f x; y; z( )=x+y+ − ta có z 1 f x ; y ; z( A A A) (f x ; y ; zB B B)< 0

⇒ A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi '

B đối xứng với B qua (P)

'

B 1; 3; 4

MA−MB = MA−MB ≤AB Đẳng thức xẩy ra khi M, A, B thẳng hàng '

M= P ∩AB.Mặt khác phương trình '

x 1 t

AB : y 3

z 2t

= +





= −



 = −



⇒ toạ độ M là

M 2; 3;6

0,25

0,25 0,25

0,25

VII

A Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :

+

1,00

Xét khai triển:

0 0

+

n 1

+

−

0,25

0,25 0,25

1 ….cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12… 1,00

Ta có: d1∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:







=

⇔







=

− +

=

−

2 / 3 y

2 / 9 x 0 6 y x

0 3 y x

Vậy 









 2

3

; 2

9 I

Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD ⇒M =d1∩Ox

Suy ra M( 3; 0)

0,25đ

Trang 7

Ta có: 3 2

2 2

3 2 IM 2





 +







 −

=

2 3

12 AB

S AD 12

AD AB

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d 1 ⇒d1 ⊥AD

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d 1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có

PT: 1 ( x − 3 ) + 1 ( y − 0 ) = 0 ⇔ x + y − 3 = 0 Lại có: MA =MD = 2

0,25đ

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:









= +

−

=

− +

2 y

3 x

0 3 y x

2



±

=

−

=

⇔







=

− +

−

+

−

=

⇔







= +

−

+

−

=

⇔

1 3 x

x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x

3 x y 2 y 3 x

3 x y

2 2







=

⇔

1 y

2 x hoặc







−

=

= 1 y

4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)

0,25đ









 2

3

; 2

9

I là trung điểm của AC suy ra:







=

−

=

−

=

−

=

−

=

2 1 3 y y 2 y

7 2 9 x x 2 x

A I C

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

0,25đ

2 phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 1,00 Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1

( 1; - 1; 2)

và u2

( - 2; 0; 1)

Có M( 2; 1; 0) ∈ d1; N( 2; 3; 0) ∈ d2

Xét u u1; 2 MN

Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ d1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ d2

1

2

AB u





=



1 3 ' 0

t t



= −





 =



⇒ A 5 4; ; 2

3 3 3

−

 ; B (2; 3; 0) Đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2

Ta có ∆ :

2

3 5 2





= +





0,25đ

PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có

dạng:

0,25đ

VII B

1 x+ =C +C x+C x +C x ++C x (1)

Lấy đạo hàm hai vế( )1 ta được:

2011 1 x+ =C +2xC +3x C ++2011x C

nhân hai vế với x ta được:

0,25

Trang 8

2011x 1 x+ =xC +2x C +3x C ++2011x C (2)

Lấy đạo hàm hai vế( )2 ta được

2011 1 x 2010x 1 x

(3)

Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:

( 2010 2009) 2 1 2 2 2 3 2 2011

2011 2 +2010.2 =1 C +2 C +3 C +2011 C

Vậy S=2011.2012.22009

0,25

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	158,44 KB