TRƯỜNG ðAI HỌC VINH ®Ò thi thö ®¹i häc n¨m häc 2009-2010 Khối THPT Chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I. (2,0 ñiểm) Cho hàm số mxxmxy −++−= 9)1(3 2 3 , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho ứng với 1 = m . 2. Xác ñịnh m ñể hàm số ñã cho ñạt cực trị tại 2 1 , x x sao cho 2 2 1 ≤ − x x . Câu II. (2,0 ñiểm) 1. Giải phương trình: ) 2 sin( 2 cos sin 2 sin cot 2 1 π + = + + x x x x x . 2. Giải phương trình: )1 2( log 1 )1 3( log 2 3 5 5 + = + − x x . Câu III. (1,0 ñiểm) Tính tích phân ∫ + + = 5 1 2 1 3 1 dx x x x I . Câu IV. (1,0 ñiểm) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ' ' ' . C B A ABC có ). 0 ( ' ,1 > = = m m CC AB Tìm m biết rằng góc giữa hai ñường thẳng ' AB và ' BC bằng 0 60 . Câu V. (1,0 ñiểm) Cho các số thực không âm z y x , , thoả mãn 3 2 2 2 = + + z y x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z y x zx yz xy A + + + + + = 5 . B. PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa . (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ , Oxy cho tam giác ABC có )6;4( A , phương trình các ñường thẳng chứa ñường cao và trung tuyến kẻ từ ñỉnh C lần lượt là 0 13 2 = + − y x và 0 29 13 6 = + − y x . Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2. Trong không gian với hệ toạ ñộ , Oxyz cho hình vuông MNPQ có )4 ;3;2( ), 1 ;3;5( − − P M . Tìm toạ ñộ ñỉnh Q biết rằng ñỉnh N nằm trong mặt phẳng .0 6 :) ( = − − + z y x γ Câu VIIa. (1,0 ñiểm) Cho tập { } 6,5,4,3,2,1,0= E . Từ các chữ số của tập E lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số ñôi một khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao : Câu VIb. (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ , Oxy xét elíp ) ( E ñi qua ñiểm )3 ;2 ( − − M và có phương trình một ñường chuẩn là .0 8 = + x Viết phương trình chính tắc của ). ( E 2. Trong không gian với hệ toạ ñộ , Oxyz cho các ñiểm )2;3;0( ), 0;1;0( ), 0;0;1( C B A và mặt phẳng .0 2 2 :) ( = + + y x α Tìm toạ ñộ của ñiểm M biết rằng M cách ñều các ñiểm C B A , , và mặt phẳng ). ( α Câu VIIb. (1,0 ñiểm) Khai triển và rút gọn biểu thức n x n x x ) 1( ) 1(2 1 2 − + + − + − thu ñược ña thức n n x a x a a x P + + + = ) ( 1 0 . Tính hệ số 8 a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn n C C n n 1 7 1 32 =+ . Hết http://laisac.page.tl . P N THI TH LN 1 NM 2009 Cõu ỏp ỏn im 1. (1,25 ủim) Với 1 = m ta có 1 9 6 2 3 + = x x x y . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )3 4 (3 9 12 3 ' 2 2 + = + = x x x x y Ta có < > > 1 3 0 ' x x y , 3 1 0 ' < < < x y . Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1, ( và ) ,3( + . + H m số nghịch biến trên khoảng ). 3 ,1( 0,5 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1 = x và 3 )1( = = y y CD ; đạt cực tiểu tại 3 = x và 1)3( == yy CT . Giới hạn: + = = + y y x x lim ; lim . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1 ,0( . 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 2. (0,75 điểm) Ta có .9 )1 (6 3 ' 2 + + = x m x y +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 2 1 , x x phơng trình 0 ' = y có hai nghiệm pb là 2 1 , x x Pt 03)1(2 2 =++ xmx có hai nghiệm phân biệt là 21 , xx . < +> > + = 31 31 0 3 )1 ( ' 2 m m m )1( 0,25 I ( 2,0 ủ i m ) +) Theo định lý Viet ta có .3 ); 1 (2 2 1 2 1 = + = + x x m x x Khi đó ( ) ( ) 41214442 2 21 2 2121 ++ mxxxxxx Trờng ại học vinh Khối THPT chuyên đáp án đề khảo sát chất lợng lớp 12 Lần 1 - 2009 Môn Toán, khối A x y y 3 - 1 + 0 0 3 1 + + + )2( 1 3 4 )1 ( 2 + m m Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là 3 1 3 < m và .1 3 1 < + m 0,5 1. (1,0 điểm ) Điều kiện: .0 cos sin ,0 sin + x x x Pt đ cho trở thành 0 cos 2 cos sin cos sin 2 sin 2 cos = + + x x x x x x x 0 2 sin ) 4 sin( cos 0 cos sin cos 2 sin 2 cos 2 = + = + x x x x x x x x +) . , 2 0 cos + = = k k x x 0,5 +) + = + = + = + + = + = n m n x m x n x x m x x x x , 3 2 4 2 4 2 4 2 2 4 2 ) 4 sin( 2 sin . , 3 2 4 + = t t x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là k x + = 2 ; . , , 3 2 4 + = t k t x 0,5 2. (1,0 điểm) Điều kiện . 3 1 > x (*) Với đk trên, pt đ cho )1 2( log 3 1 )1 3( log 5 2 5 + = + x x 3 2 3 5 2 5 )1 2( )1 3(5 )1 2( log )1 3(5 log + = + = x x x x 0,5 II ( 2,0 ủ i m ) = = = = + 8 1 2 0 )1 8( )2 ( 0 4 36 33 8 2 2 3 x x x x x x x Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là .2 = x 0,5 Đặt 3 2 1 3 2 3 1 3 tdt dx x dx dt x t = + = + = . Khi 1=x thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4. Suy ra + = 4 2 2 2 2 3 2 . . 3 1 1 3 1 tdt t t t I += 4 2 2 4 2 2 1 2)1( 9 2 t dt dtt 0,5 III ( 1,0 ủim) . 5 9 ln 27 100 2 4 1 1 ln 2 4 3 1 9 2 3 + = + + = t t t t 0,5 - Kẻ )' ' ( ' // B A D AB BD 0 60 )' , ( )' ,' ( = = BC BD BC AB 0 60 ' = DBC hoặc . 120 ' 0 = DBC 0,5 IV (1,0 điểm) - Nếu 0 60 ' = DBC Vì lăng trụ đều nên ).' ' ' ( ' C B A BB áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 1 ' 2 + = = m BC BD và .3 ' = DC Kết hợp 0 60 ' = DBC ta suy ra ' BDC đều. Do đó .2 3 1 2 = = + m m - Nếu 0 120 ' = DBC áp dụng định lý cosin cho ' BDC suy ra 0 = m (loại). Vậy .2=m * Chú ý: - Nếu HS chỉ xét trờng hợp góc 0 60 thì chỉ cho 0,5đ khi giải đúng. - HS có thể giải bằng phơng pháp ve ctơ hoặc toạ độ với nhận xét: ' '. ' .' )' ,' cos( )' ,' cos( BC AB BC AB BC AB BC AB = = . 0,5 Đặt z y x t + + = 2 3 ) (2 3 2 2 = + + + + + = t zx yz xy zx yz xy t . Ta có 3 0 2 2 2 = + + + + z y x zx yz xy nên 3 3 9 3 2 t t vì .0 > t Khi đó . 5 2 3 2 t t A + = 0,5 V (1,0 điểm) Xét hàm số .3 3 , 2 35 2 ) ( 2 + = t t t t f Ta có 0 5 5 ) (' 2 3 2 > = = t t t t t f vì .3 t Suy ra ) ( t f đồng biến trên ]3 ,3 [ . Do đó . 3 14 )3( ) ( = f t f Dấu đẳng thức xảy ra khi .1 3 = = = = z y x t Vậy GTLN của A là 3 14 , đạt đợc khi .1 = = = z y x 0,5 1. (1 điểm) VIa. (2,0 điểm) - Gọi đờng cao và trung tuyến kẻ từ C là CH và CM . Khi đó CH có phơng trình 0 13 2 = + y x , CM có phơng trình .0 29 13 6 = + y x - Từ hệ ). 1 ;7 ( 0 29 13 6 0132 = + =+ C y x yx - )2 ,1( = = CH AB u n CH AB 0 16 2 : = + y x AB pt . - Từ hệ )5;6( 029136 0162 M yx yx =+ =+ 0,5 A 2 1 m + C C B B A m D 3 1 1 0 120 M (6; 5) A(4; 6) C (-7; -1) B (8; 4) H ). 4 ;8( B - Giả sử phơng trình đờng tròn ngoại tiếp .0 : 2 2 = + + + + p ny mx y x ABC Vì A , B , C thuộc đờng tròn nên =+ = + + + = + + + 0750 0 4 8 80 0 6 4 52 pnm p n m p n m = = = 72 6 4 p n m . Suy ra pt đờng tròn: 0 72 6 4 2 2 = + + y x y x hay . 85 )3 ( )2 ( 2 2 = + + y x 0,5 2. (1 điểm) - Giả sử ) ; ; ( 0 0 0 z y x N . Vì )1( 0 6 ) ( 0 0 0 = + z y x N - MNPQ là hình vuông MNP vuông cân tại N = = 0 . PN MN PN MN = + + + + + + + = + + + 0 )4 )( 1 ( )3 ( )2 )( 5 ( )4 ( )3 ( )2 ( )1 ( )3 ( )5 ( 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 z z y x x z y x z y x 0,5 = + + + + = + )3( 0 )4 )( 1 ( )3 ( )2 )( 5 ( )2( 0 1 00 2 000 0 0 z z y x x z x - Từ (1) và (2) suy ra + = + = 1 7 2 0 0 0 0 x z x y . Thay vào (3) ta đợc 0 6 5 0 2 0 = + x x = = = = = = 2 ,1 ,3 1 ,3 ,2 0 0 0 0 0 0 z y x z y x hay )2 ;1;3( )1 ;3 ;2( N N . - Gọi I là tâm hình vuông I là trung điểm MP và NQ ) 2 5 ;3; 2 7 ( I . Nếu )1 3;2( N thì ). 4 ;3;5( Q Nếu )2 ;1;3( N thì ). 3 ;5;4( Q 0,5 Giả sử abcd là số thoả mn ycbt. Suy ra { } 6 ,4 ,2 ,0 d . +) .0 = d Số cách sắp xếp abc là . 3 6 A +) .2 = d Số cách sắp xếp abc là . 2 5 3 6 A A 0,5 VIIa. (1,0 điểm) +) Với 4 = d hoặc 6 = d kết quả giống nh trờng hợp .2 = d Do đó ta có số các số lập đợc là ( ) . 420 3 2 5 3 6 3 6 = + A A A 0,5 1. (1 điểm) - Gọi phơng trình )0 ( 1 :) ( 2 2 2 2 > > = + b a b y a x E . - Giả thiết = = + )2( 8 )1( 1 9 4 2 2 2 c a b a Ta có ). 8( 8 8 )2( 2 2 2 2 2 c c c c c a b c a = = = = Thay vào (1) ta đợc 1 )8( 9 8 4 = + ccc . 0,5 VIb. (2,0 điểm) = = = + 2 13 2 0 26 17 2 2 c c c c * NÕu 2 = c th× .1 12 16 :) ( 12 , 16 2 2 2 2 = + ⇒ = = y x E b a * NÕu 2 13 = c th× .1 4 / 39 52 :) ( 4 39 , 52 2 2 2 2 = + ⇒ = = y x E b a 0,5 2. (1 ®iÓm) Gi¶ sö ) ; ; ( 0 0 0 z y x M . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra 5 2 2 )2 ( )3 ( )1 ( )1 ( 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 + + = − + − + = + − + = + + − y x z y x z y x z y x + + = + + − − + − + = + − + + − + = + + − ⇔ )3( 5 )2 2 ( )1 ( )2( )2 ( )3 ( )1 ( )1( )1 ( )1 ( 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y x z y x z y x z y x z y x z y x 0,5 Tõ (1) vµ (2) suy ra −= = 0 0 0 0 3 xz x y . Thay vµo (3) ta ®−îc 2 0 0 2 0 )2 3( ) 10 8 3(5 + = + − x x x = = ⇔ 3 23 1 0 0 x x − ⇒ ). 3 14 ; 3 23 ; 3 23 ( )2 ;1;1( M M 0,5 Ta cã = − − + − ≥ ⇔ = + n n n n n n n n C C n n 1 )2 )( 1 ( !3.7 )1 ( 2 3 1 7 1 3 2 .9 0365 3 2 = ⇔ =−− ≥ ⇔ n nn n 0,5 VIIb. (1,0 ®iÓm) Suy ra 8 a lµ hÖ sè cña 8 x trong biÓu thøc . ) 1(9 ) 1(8 9 8 x x − + − §ã lµ . 89 .9 .8 8 9 8 8 = + C C 0,5 . TRƯỜNG ðAI HỌC VINH ®Ò thi thö ®¹i häc n¨m häc 200 9-2 010 Khối THPT Chuyên MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. ñiểm) Cho hình lăng trụ tam giác ñều ' ' ' . C B A ABC có ). 0 ( ' ,1 > = = m m CC AB Tìm m biết rằng góc gi a hai ñường thẳng ' AB và ' BC bằng 0 60 0,5 - Kẻ )' ' ( ' // B A D AB BD 0 60 )' , ( )' ,' ( = = BC BD BC AB 0 60 ' = DBC hoặc . 120 ' 0 = DBC 0,5 IV (1,0 điểm) - Nếu