Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600.. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.. Viết phương trình mặt phẳng P qua d1 và d2... Thí sinh chỉ được là
Trang 1Tổ toán – Tin Môn toán - Khối A
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
Phần A : Dành cho tất cả các thi sinh
Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số : y = x3 – 3x2 + 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2
1
m
x x
x
ư
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
2) Giải hệ phương trình :
x x y y
y y z z
z z x x
Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân :
3 1
ư
+ + + +
∫
2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
4
Câu IV ( 1,0 điểm ) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
AM = 3
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Phần B ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)
Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d1 : 2 1
xư y z+
ư ư ; d2 : 7 2
xư yư z
ư 1) Chứng minh rằng d1 và d2 song song Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua d1 và d2
2) Cho điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VI.a (1.0điểm) Giải phương trình : log (9 x+1)2+log 23 =log 3 4ưx +log (27 x+4)3
Phần 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu V.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
D1 : 2 1
xư yư z
ư , D2:
2 2 3
y
z t
= ư
=
=
1) Chứng minh rằng D1 chéo D2 Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2
2) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D1 và D2
CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phương trình : log25 x+2 log25 x+ ư1 mư2 0= , ( m là tham số )
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đA cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;5 3
……….Hết ………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Hướng dẫn giải : Phần A : Dành cho tất cả các thí sinh
Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị )
2) Đồ thị hàm số y = 2
(x ư 2xư 2) xư 1 , với x ≠ 1 có dạng như hình vẽ :
Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phương trình vô nghiệm
*) Nếu m = - 2 : Phương trình có hai nghiệm *) Nếu – 2 < m < 0 : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m ≥ 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
x π
2
x
= hoặc cos( ) 2
x+π = ư Giải các phương trình cơ bản tìm được nghiệm :
2 , x= 2 , x = k2
k
2) Ta có
x x y y
y y z z
z z x x
⇔
2 2 2 2 2 2
30
30
30
x y
x y z
y z x
z
=
+
=
+
=
+
( 2) Từ hệ ta có x, y, z không âm
*) Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra ( 0;0;0 ) là nghiệm của hệ
*) Nếu x>0, y> 0 , z > 0 Xét hàm số : f(t) =
2 2
30
9 25
t
t + , t > 0
Ta có f’(t) =
( 2 )2
1500
9 25
t
t +
> 0 với mọi t > 0
Do đó hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Hệ (2) được viết lại
( ) ( ) ( )
y f x
z f y
x f z
=
=
=
Từ tính đồng biến của hàm f ta dễ dàng suy ra x= y = z Thay vào hệ phương trình
Ta được nghiệm x = y = z = 5
3
y = m
1+ 3 1- 3
- 2
m
1 2
Trang 3Nghiệm của hệ là (0;0; 0 ,) ; ;
3 3 3
Câu III 1) Tính tích phân I =
3 1
ư
+ + + +
Đặt t = x +1 Ta có I = ( )
2
20 12
2 6
3 2
t
t t
+
2
0 2 0
20 12 6
3 2
t
t t
+
+ +
= - 8 +
2dt 1dt
t+ ư t+
∫ ∫ = - 8 + 28ln2 – 8 ln3 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mAn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
4
x + y + z
Đặt 2x = a , 2y =b , 2z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng :
4
a bc b ca c ab
+ +
( *) ⇔
a abc b abc c abc
+ +
⇔
a b a c b c b a c a c b
+ +
Ta có
a
a b a c
+ + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tương tự
3
3
b b c b a
b
b c b a
c c a c b
c
c a c b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Câu IV :
Tính thể tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
BC SA
⊥
⊥
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao
A
S
M
N
D
H
Trang 4Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
3
3
a a
MN SM MN
ư
Suy ra MN = 4
3
a BM = 2
3
a Diện tích hình thang BCMN là :
4
3
a a
BM
+
+
Hạ AH ⊥BM Ta có SH⊥BM và BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥( BCNM) ⇒ SH là đường cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB = MS = 1
2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒SBH =30 0 ⇒ SH = SB.sin300 = a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 ( )
3SH dtBCNM =
3
10 3 27
a
Phần B (Thí sinh chỉ được làm phần I hoặc phần II)
Phần I (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn)
Câu V.a.1) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: u1
ur (4; - 6; - 8)
2
u
uur ( - 6; 9; 12) +) u1
ur
và u2
uur cùng phương +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
Vậy d1 // d2
*) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n
r = ( 5; - 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2) AB
uuur
= ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
ư
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
27
log 2 log = 4 ưx+ log (x+ 4) (1)
1
x x
ư < <
≠ ư
(1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4)
⇔ log34 x +1 = log3(16 – x2) ⇔ 4 x +1 = 16 – x2
Giải phương trình tìm được x = 2 hoặc x = 2 - 24
Phần II
Câu V b 1) Các véc tơ chỉ phương của D1 và D2 lần lượt là u1
ur ( 1; - 1; 2) và u2
uur ( - 2; 0; 1)
*) Có M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2
Xét u u1; 2.MN
ur uur uuuur
= - 10 ≠ 0
I
A
B
A1
Trang 5*) Gäi A(2 + t; 1 – t; 2t) ∈ D1
B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2
1
2
AB u
AB u
=
uuurur
uuur uur ⇒
1 3 ' 0
t t
= −
=
⇒ A 5 4; ; 2
3 3 3
−
; B (2; 3; 0)
§−êng th¼ng ∆ qua hai ®iÓm A, B lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña D1 vµ D2
Ta cã ∆ :
2
3 5 2
x t
z t
= +
= +
=
*) Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu nhËn ®o¹n AB lµ ®−êng kÝnh cã d¹ng:
b.2) §Æt t = 2
5
log x +1 ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 3 th× t ∈ [1;2]
Ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈[1;2]
⇔t2 + 2t – 3 = m ; t ∈[1;2]
LËp bÊt ph−¬ng r×nh hµm f(t) = t2 + 2t – 3 trªn [1;2] ta ®−îc 0 ≤ f(t) ≤ 5
§ K cña m lµ: 0 ≤ m ≤ 5
D2
A
uur
1
u
ur
D1
