LÝ THUYẾT MẠCH PHẦN 1.1: BÀI TẬP

Chương 1 Mạch điện-thông số mạch Các định luật cơ bản của mạch điện Tóm tắt lý thuyết Một số thuật ngữ và định nghĩa Các nguồn trong mạch điện gọi là các tác động, các điện áp và dòng điện ở các nhánh gọi là các phản ứng của mạch. Điện áp và dòng điện gọi các đại lượng điện (không gọi công suất là đại lượng điện). Các thông số mạch thụ động bao gồm điện trở, điện cảm và điện dung. Điện trở có thể ký hiệu là R hoặc r. Điện dung và điện cảm phải ký hiệu là các chữ in hoa tương ứng L và C. Giá trị tức thời của điện áp và dòng điện ký hiệu tương ứng là chữ u, i thường (không viết hoa) hoặc có viết thêm biến thời gian như u(t), i(t). Giá thị hiệu dụng ký hiệu tương ứng là U và I, giá trị biên độ ký hiệu là U m và I m . Tương ứng sẽ có ký hiệu trong miền phức là m m I,U;I,U Quan hệ dòng - áp trên các thông số mạch: Trên điện trở R: Hình 1.1a. Định luật Ôm u=i. R hay u(t)=i(t).R (1.1) Công suất tức thời p hay p(t)=u 2 R= R i 2 ≥0 (1.2) Năng lượng tiêu hao ở dạng nhiệt năng trong khỏang thời gian t 1 ÷t 2 : W T = ∫ 2 1 t t dt)t(p (1.3) H×nh 1.1 R L C i i i u u u a) b) c) Trên điện cảm L: Hình 1.1b Định luật Ôm: u= dt di L hay ∫ += t t Lo Iudt L i 0 1 (1.4) Trong đó I L0 [hay I L (t 0 ) hay i L0 ] là giá trị của dòng điện qua L tại thời điểm ban đầu t=t 0 . Năng lượng tích luỹ ở dạng từ trường tại thời điểm bất kỳ là: 11 W M = 2 2 i L (1.5) Công suất tức thời: p= dt di L.i dt dW u.i M == (1.6) Trên điện dung C: Hình 1.1.c Định luật Ôm i= ∫ += t Co Uidt C uhay dt du C 0 1 (1.7) Trong đó U C 0 [hay U C (t 0 ) hay u C 0 ] là giá trị của điện áp trên C tại thời điểm ban đầu t=t 0 . Năng lượng tích luỹ ở dạng điện trường tại thời điểm bất kỳ: W E = 2 2 u C (1.8) Công suất tức thời: p= dt du C.u dt dW i.u E == (1.9) Lưu ý: Các công thức (1.1), (1.4) và (1.7) ứng với trường hợp điện áp và dòng điện ký hiệu cùng chiều như trên hình 1.1. Nếu chiều của dòng điện và điện áp ngược chiều nhau thì trong các công thức trên sẽ có thêm dấu “-” vào một trong hai vế của phương trình. Thông số nguồn: Nguồn điện áp hay nguồn suất điện động (sđđ) lý tưởng, nguồn điện áp thực tế (không lý tưởng) ký hiệu tương ứng ở hình 1.2a, b. Nguồn dòng điện lý tưởng, nguồn dòng điện thực tế (không lý tưởng) ký hiệu tương ứng ở hình 12c, d. H×nh 1.2 a) b) c) e hay u e hay u R 0 R 0 d) e) E R 0 R 0 i hay i 0 i hay i 0 0 I 0 0 R E I = 00 IRE = Khi phân tích mạch điện có thể biến đổi tương đương giữa 2 loại nguồn có tổn hao như ở hình 1.2e. Phép biến đổi rất đơn giản: thực hiện theo định luật Ôm. Định luật Kieckhop 1: Định luật cho nút thứ k trong mạch được viết: )'.( i ihay).(i k r vk k k 1011010 ∑∑∑ == 12 Trong (1.10) i k là tất cả các dòng điện nối với nút thứ k, dòng hướng vào nút mang dấu “+”, dòng rời khỏi nút mang dấu “-”. Trong (1.10)’ i Vk là tất cả các dòng điện hướng vào nút thứ k, i r k là tất cả các dòng rời khỏi nút k, chúng đều có dấu “+”. Số phương trình viết theo định luật Kieckhop1 cho mạch có n nút là N=n-1 (1.11) Định luật Kieckhop I1: Định luật cho vòng thứ k trong mạch được viết: )'.(euhay).(u kkk 1211210 ∑∑∑ == Trong (1.12) u k là điện áp của tất cả các đoạn mạch thuộc vòng thứ k, cùng chiều mạch vòng lấy với dấu “+”, ngược chiều mạch vòng lấy với dấu “-”. Trong (1.12)’ u k là tất cả điện áp nhánh, e k là tất các các sđđ nhánh thuộc vòng k; cùng chiều mạch vòng lấy với dấu “+”, ngược chiều mạch vòng lấy với dấu “-”. Số phương trình viết theo định luật Kieckhop 2 cho mạch điện có n nút và m nhánh là: N=m-(n-1)=m-n+1 (1.13) Nguyên lý xếp chồng: Với một mạch có nhiều nguồn cùng tác động đồng thời như trên hình 1.3, để tính phản ứng ở nhánh thứ k nào đó, ví dụ i K thì sẽ sử dụng nguyên lý này như sau: Đầu tiên cho nguồn e 1 tác động, các nguồn còn lại đều dừng tác động (bằng 0), tính được i k1 (chỉ số 1 chỉ lần tính thứ nhất). Tiếp theo cho e 2 tác động, các nguồn còn lại đều dừng tác động, tính được i k2 …Lần cuối cùng cho nguồn thứ N tác động, các nguồn còn lại đều dừng tác động, tính được i kN thì dòng phải tìm i k =i k1 +i k2 +…+i kN Nguyên lý tương hỗ: có thể ứng dụng tính để tính trong trường hợp mạch chỉ có một tác động duy nhất. Định lý nguồn tương đương: Cho phép rút gọn mạch để tính toán ở mọi chế độ. Cách thực hiện mô tả trên hình 1.4. Đoạn mạch a-b tuyến tính có nguồn, được thay thế bằng: H×nh 1.3 1 i e N e 2 k i Nh¸nh k M¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh . . . 13 - Nguồn điện áp có trị số bằng điện áp hở mạch tính được giữa 2 điểm a-b mắc nối tiếp với điện trở tương đương “nhìn” từ a-b khi cho các nguồn tác động bằng 0. (hình 1.4b) - Nguồn dòng điện có trị số bằng dòng điện ngắn mạch tính được khi chập 2 điểm a-b, mắc song song với điện trở tương đương “nhìn”từ a-b khi cho các nguồn tác động bằng 0. (hình 1.4c) Hệ phương trình trạng thái. - Toán tử nhánh: Trong một nhánh thứ k trong mạch có mặt cả 3 thông số R k , L k , C k mắc nối tiếp sẽ có: ∫ ++=++= dti C 1 dt di LiRuuuu k k k kkkCkLkRkk (1.14) (1.14)-ký hiệu cho gọn là u k =L k i k . Trong đó: ℒ k = ∫ ++ dt C 1 dt d LR k kk (1.15) L k - gọi là toán tử nhánh hình thức, tức là “nhân hình thức” L k với i k để được u k . - Công thức biến đổi nút. Một nhánh thứ k nằm giữa hai nút a-b có điện thế tương ứng là ϕ a và ϕ b (dòng điện có chiều từ a sang b) với 3 thông số R k , L k , C k mắc nối tiếp và có thêm nguồn s. đ. đ. là e k thì có thể viết quan hệ: kk k k kkkbak edti C 1 dt di LiRu  ∫ ++=ϕ−ϕ= hay kbak k k kkk edti C 1 dt di LiR ±ϕ−ϕ=++ ∫ . (1.16) Trong công thức cuối e k lấy với dấu “+” nó cùng chiều dòng i k , dấu “-” ngược chiều i k . Phép giải phương trình vi phân cuối để tìm i k ta ký hiệu một cách hình thức là i k =L k -1 (ϕ a -ϕ b ± e k ). Như vậy có thể tìm được dòng nhánh i k bất kỳ theo điện thế nút. Công thức này gọi là công thức bíên đổi nút; L k -1 -gọi là toán tử nhánh đảo. -Công thức bíến đổi vòng: Người ta quy ước dòng mạch vòng là một dòng điện hình thức chạy trong một vòng kín. Nếu một nhánh có nhiều dòng mạch vòng đi qua thì dòng nhánh đó là tổng đại số của tất cả các dòng mạch vòng đi qua nó, dòng nào cùng chiều dòng nhánh thì được lấy với dấu “+”, ngược chiều – dấu “-”, tức ∑ = = m j Vjk Ii 1 . Công thức cuối gọi là công thức biến đổi vòng. -Hệ phương trình (trạng thái) dòng nhánh: 14 Mạch có n nút và m nhánh sẽ phải viết (n-1) phương trình theo định luật Kieckhop 1 dạng  0 1 1 = ∑ = nóti¹T j j i ; và (m-n+1) phương trình theo định luật Kieckhop 2 dạng ∑∑ == = 11 i i j j ei j L . -Hệ phương trình (trạng thái) dòng mạch vòng: có dạng tổng quát ∑ ∑ ∑ =++++ =++++ =++++ ei iii ei iii ei iii NvNvvv vNvvv vNvvv NNN3N2N1 2N232221 1N131211 LLLL LLLL LLLL 321 2321 1321 (1.17) Trong đó:- N=m-n+1-số vòng độc lập với các dòng mạch vòng tương ứng i Vk - kk L - tổng các toán tử nhánh thuộc mạch vòng thứ k, dấu “+”. - lk L với k≠1– Tổng các toán tử nhánh chung của vòng thứ k và vòng thứ l, dấu có thể “+” hoặc “-” tuỳ theo hai dòng vòng i k và i l qua nhánh này cùng chiều hay ngược chiều. - ∑ e k -tổng đại số các sđđ thuộc vòng thứ k, dấu có thể “+” hoặc “-” tuỳ theo nguồn cùng chiều hay ngược chiều dòng mạch vòng. -Hệ phương trình (trạng thái) điện thế nút: có dạng tổng quát ∑ ∑ ∑ =ϕ+−ϕ−ϕ−ϕ =ϕ−−ϕ−ϕ+ϕ =ϕ−−ϕ−ϕ−ϕ J J J NNNNNNN NN NN 1-1-1-1- 1-1-1-1- 1-1-1-1- LLLL- LLLL- LLLL 432211 22323222121 11313212111 (1.18) Trong đó: - N=(n-1) - số nút ứng các điện thế nút ϕ 1 , ϕ 2 ,…ϕ N - -1 L kk - tổng các toán tử nhánh đảo của các nhánh nối với nút thứ k thứ k, luôn mang dấu “+”. - -1 L lk với k≠1 - toán tử nhánh đảo của nhánh nối trực tiếp giữa nút thứ k và nút thứ 1, luôn có dấu “-”. - ∑ J k -tổng các nguồn dòng và nguồn dòng tương đương nối với nút thứ k. 15 Mạch thuần trở: Khi trong mạch chỉ có điện trở thì u k =R k i K , i k = )e(g kbak ±ϕ−ϕ -Hệ phương trình dòng mạch vòng: có dạng tổng quát ∑ ∑ ∑ =+++ =+++ =+++ eiR RiRiR eiR RiRiR eiR RiRiR NVNNN3N2v2N1V1N 2VNN2232v221V21 1VNN1132v121V11 (1.19) ∑ =+++ eiR RiRiR NVNNN3N2v2N1V1N Trong đó: - N=(m-n+1) - số vòng độc lập có các dòng mạch vòng tương ứng i Vk - R kk - tổng các điện trở thuộc mạch vòng thứ k, dấu “+”. - R kl với k≠1 - tổng các điện trở nhánh chung của vòng thứ k và vòng thứ 1, dấu có thể “+” hoặc “-” tuỳ theo hai dòng vòng i k và i l qua nhánh này cùng chiều hay ngược chiều. - ∑ e k - tổng đại số các sđđ thuộc vòng thứ k, dấu có thể “+” hoặc “-” tuỳ theo nguồn cùng chiều hay ngược chiều dòng mạch vòng. -Hệ phương trình điện thế nút: có dạng tổng quát: ∑ ∑ ∑ =ϕ+−ϕ−ϕ−ϕ− =ϕ−−ϕ−ϕ+ϕ− =ϕ−−ϕ−ϕ−ϕ jg ggg jg ggg jg ggg NNNNNNN NN NN 332211 22323222121 11313212111 (1.20) Trong đó: - N=(n-1) - số nút ứng các điện thế nút ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ N - g kk - tổng các toán tử nhảnh đảo của các nhánh nối với nút thứ k thứ luôn mang dấu “+”. - g kl với k≠1 - toán tử nhảnh đảo của nhánh nối giữa 2 nút thứ k và nút thứ l, luôn có dấu “-”. - ∑ J k -tổng các nguồn dòng và nguồn dòng tương đương nối với nút thứ k. Chú ý: - Không lập phương trình cho vòng có chứa nguồn dòng. - Không lập phương trình cho nút có nguồn điện áp lý tưởng nối với nó. Biến đổi mạch loại bỏ nguuồn áp và nguồn dòng lý tưởng: 16 Có thể loại bỏ nguồn điện áp lý tưởng trong mạch nếu ta tịnh tiến nguồn này vào các nhánh nối với cực dương của nguồn và chập 2 cực của nguồn. (Hình 1.5a→b). Có thể loại bỏ nguồn dòng trong mạch bằng cách: -Chọn 1 vòng duy nhất đi qua nguồn dòng. -Thay thế nguồn dòng bằng cách thêm vào các nhánh nằm trong vòng đã chọn các sđđ, có trị số bằng tích nguồn dòng với giá trị của điện trở nhánh tương ứng, có chiều ngược với chiều vòng. (Hình 1.6 a→b) Bài tập 1.1. Một nguồn pin có sđđ E=1,5V, nội trở r 0 =3Ω mắc với điện trở ngoài R=7Ω. a) Xác định sụt áp trên nội trở nguồn và điện áp giữa 2cực của nguồn. b) Các đại lượng trên sẽ là bao nhiêu nếu điện trở ngoài là 17Ω. 1.2. Ba nguồn điện áp một chiều với E 1 =12V, E 2 =18V, E 3 =10V có các nội trở tương ứng là r 01 =4Ω, r 02 =3Ω và r 03 =1Ω mắc như ở hình 1.7 (mắc có lỗi). a) Hãy xác định điện áp giữa từng cặp cực của các nguồn. b) Hãy xác định điện áp giữa từng cặp cực của các nguồn khi nguồn thứ 2 được mắc đảo chiều và mạch ngoài mắc điện trở R=12Ω. 1.3. Điện áp trên điện trở R trong các hình 1.8 xác định thế nào: a) ở hình 1.8a) với e 1 =10V, e 2 =20V, R=10Ω b) ở hình 1.8b) e=10V, I 0 =2A, R=10Ω 17 1.4. Mạch điện hình 1.9 có E 1 =24V, E 2 =12V, R 1 =30Ω, R 2 =20Ω. Hãy xác định trị số của von kế lý tưởng trong mạch nếu bỏ qua các nội trở nguồn. 1.5. Một nguồn sđđ khi bị ngắn mạch tiêu thụ công suất 400mW. Tìm công suất cực đại mà nguồn này có thể cung cấp cho mạch ngoài. 1.6. Cho các đồ thị hình 1.10 là các điện áp khác nhau đặt lên điện trở R=5Ω. Hãy tìm: -Biểu thức tức thời của dòng điện và biểu diễn nó bằng đồ thị. -Biểu thức của công suất tức thời và biểu diễn nó bằng đồ thị. -Tính năng lượng tiêu tán trên điện trở trong khoảng thời gian (0÷1)s 1.7. Cho điện áp là 1 xung có quy luật trên đồ thị hình 1.11. 1. Đem điện áp này đặt lên điện trở R=1Ω. a) Tìm biểu thức và vẽ đồ thị của dòng điện qua điện trở. b) Tìm năng lượng toả ra trên điện trở trong khoảng (0÷4)s 2. Đem điện áp này đặt lên điện cảm L=1H. a) Tìm biểu thức và vẽ đồ thị của dòng điện qua điện cảm L. b) Tìm quy luật biến thiên của năng lượng từ trường tích luỹ trong điện cảm L. c) Vẽ đường cong của tốc độ biến thiên của năng lượng từ trường. 2. Đem điện áp này đặt lên điện dung C=1F. a) Tìm biểu thức và vẽ đồ thị của dòng điện qua điện dung C. b) Tìm quy luật biến thiên của năng lượng điện trường tích luỹ trong C. c) Vẽ đường cong của tốc độ biến thiên của năng lượng điện trường. 1.8. Cho mạch điện hình 1.12 với R=100Ω, L=0,25H, nguồn điện áp lý tưởng e(t)=10sin 400t[V]. Tìm i R (t) và i L (t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng. u(t) t [s] [V] 0 1 2 5 a) t [s] [V] 0 1 2 5 b) t [s] [V] 0 1 2 5 c) 3 u(t) u(t) H×nh 1.10 t [s] [V] 0 1 2 1 3 u(t) 4 -1 H×nh 1.11 18 1.9. Mạch điện hình 1.13a có R=2Ω, L=1H, C=0,5F. Nguồn sđđ lý tưởng tác động lên mạch có dạng đồ thị hình 1.13b. Biết i L (0)=0, u C (0)=0. Hãy tìm và vẽ đồ thị của i R (t), i L (t), i C (t), i(t). Tính trị số của chúng tại các thời điểm t=0,5s; 0,9s; 1s và 1,2s. 1.10. Mạch điện hình 1.14a chịu tác động của nguồn dòng i(t) có đồ thị hình 1.14b. Biết R=2Ω, L=1H. a) Tìm biểu thức u L (t), u R (t), u(t) và vẽ đồ thị của chúng. b) Xác định giá trị U max . c) Tìm biểu thức của công suất tức thời p(t) của mạch và tính p(t) tại các thời điểm t 1 =0,25s; t 2 =0,75s 1.11. Mạch điện hình 1.15 chịu tác động của nguồn dòng i(t) hình 1.14b. Biết R=10Ω, C=0,5F. a) Tìm biểu thức u C (t), u R (t), u(t) và vẽ đồ thị của chúng. b) Xác định giá trị U max . c) Tìm biểu thức tức thời của công suất p(t) của mạch và tính p(t) tại các thời điểm t 1 =0,25s; t 2 =0,75s 1.12. Tác động lên mạch hình 1.12 là nguồn sđđ có dạng hình 1.16. Biết R=1Ω, L=1H, i L (0)=0. Hãy xác định: a) i R (t), i L (t), i(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng. t e(t) e(t) R L H×nh 1.12 1 [V] 2 e(t) R L H×nh 1.13 b) i i i L R C C [s] R i L i a) i u (t) u (t) u(t) R C H×nh 1.15 i(t) 2 t[s] u(t)[V] 1 -1 H×nh 1.16 19 b) I max . c) Biểu thức công suất tức thời của mạch. 1.13. Cũng với mạch hình 1.12, nhưng nguồn tác động là nguồn sđđ lý tưởng e(t)=    ≤ < − tkhie tkhi t 02 00 2 . Biết rằng i L (0)=0, thì i L (0,5s)=1A, i (0,5s)=1,01A. Xác định: a) Trị số của R, L b) Biểu thức i R (t), i L (t), i(t) và vẽ đồ thị thời gian của chúng. 1.14. Tác động lên mạch RC mắc nối tiếp là một xung dòng điện có dạng hình 1.17a. Biết u C (0)=0, tại thời điểm t 1 =1s điện áp trên hai cực của nguồn là u(1s)=10V, tại thời điểm t 2 =2s điện áp trên hai cực của nguồn là u(2s)=14 V. Hãy xác định: a) Trị số của R và C. b) Với các trị số R, C vừa xác định ở a), tìm biểu thức của u(t) và xác định u(1s) và u(2s) nếu nguồn là xung dòng điện tuyến tính hình 1.17b. 1.15. Cho mạch điện hình 1.18a a) Lập phương trình vi phân đặc trưng cho mạch với biến số là i(t) hoặc u L (t). b) Biết R=0,5Ω; L=1H, C=1F, i L (0)=0, u C (0)=0, điện áp u L (t) có đồ thị hình 1.18b. Xác định u R (t), u C (t), u(t) và i(t) trong khoảng (0÷2)s 1.16. Thành lập phương trình vi phân cho mạch điện hình 1.19 với các biến số khác nhau: u, i L và i C . t[s] 2 2 a) 0 t[s] 3 2 b) 0 H×nh 1.17 i(t) [A] i(t) [A] u (t) i(t) L C H×nh 1.18 e(t) R u (t) u (t) t[s] 4 2 u (t) [V] b) 0 L 20 . NNNNNNN NN NN 1- 1 -1 - 1- 1- 1 -1 - 1- 1- 1 -1 - 1- LLLL- LLLL- LLLL 432 211 2232322 212 1 11 313 212 111 (1. 18) Trong đó: - N=(n -1 ) - số nút ứng các điện thế nút ϕ 1 , ϕ 2 ,…ϕ N - -1 L kk - tổng các toán tử. iii NvNvvv vNvvv vNvvv NNN3N2N1 2N2322 21 1N1 312 11 LLLL LLLL LLLL 3 21 23 21 13 21 (1. 17) Trong đó :- N=m-n + 1- số vòng độc lập với các dòng mạch vòng tương ứng i Vk - kk L - tổng các toán tử nhánh thuộc. vòng. -Hệ phương trình điện thế nút: có dạng tổng quát: ∑ ∑ ∑ =ϕ+−ϕ−ϕ−ϕ− =ϕ−−ϕ−ϕ+ϕ− =ϕ−−ϕ−ϕ−ϕ jg ggg jg ggg jg ggg NNNNNNN NN NN 332 211 2232322 212 1 11 313 212 111 (1. 20) Trong đó: - N=(n -1 ) - số