I. PHN CHUNG (7 im) Cõu I (2 im): Cho hm s yxx 32 32 =+ . 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : m xx x 2 22 1 = - . Cõu II (2 im): 1) Gii phng trỡnh: xx 5 22cossin1 12 p ổử -= ỗữ ốứ 2) Gii h phng trỡnh: xyxy xyxy 28 2222 log3log(2) 13 ỡ +=-+ ù ớ ù ++ = ợ Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: x Idx xx 4 2 4 sin 1 p p - = ++ ũ Cõu IV (1 im): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a , AD = 2a . Cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc 0 60 . Trờn cnh SA ly im M sao cho AM = a 3 3 , mt phng (BCM) ct cnh SD ti N. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM. Cõu V (1 im): Cho x , y , z l ba s thc tha món : xyz 5551 ++= .Chng minh rng : xyz xyzyzxzxy 252525 555555 +++ ++ +++ xyz 555 4 ++ II. PHN T CHN (3 im) 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(1; 2), ng cao CHxy :10 -+= , phõn giỏc trong BNxy :250 ++= . Tỡm to cỏc nh B, C v tớnh din tớch tam giỏc ABC. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : xyz d 1 21 : 468 -+ == , xyz d 2 72 : 6912 == - a) Chng minh rng d 1 v d 2 song song . Vit phng trỡnh mt phng (P) qua d 1 v d 2 . b) Cho im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2). Tỡm im I trờn ng thng d 1 sao cho IA + IB t giỏ tr nh nht. Cõu VII.a (1 im): Gii phng trỡnh sau trờn tp s phc: z zzz 2 43 10 2 -+++= 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im): 1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca ng thng dxy 1 :30 = v dxy 2 :60 +-= . Trung im ca mt cnh l giao im ca d 1 vi trc Ox. Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht. 2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: xyz d 1 21 : 112 == - v xt dy zt 2 22 :3 ỡ Â =- ù = ớ ù Â = ợ a) Chng minh rng d 1 v d 2 chộo nhau v vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca d 1 v d 2 . b) Vit phng trỡnh mt cu cú ng kớnh l on vuụng gúc chung ca d 1 v d 2 . Cõu VII.b (1 im): Tớnh tng: SCCCCC 04820042008 20092009200920092009 =+++++ ============================ TR N G THCS & THPT NGUYN K H U YN T H SC I HC 2 0 10 LP 12D1 Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) S 020 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 20 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Ta cú ( ) m xxxxxmx x 22 22221,1. 1 = =ạ - Do ú s nghim ca phng trỡnh bng s giao im ca ( ) yxxxC 2 221,(') = v ng thng ymx ,1. =ạ Vi ( ) fxkhix yxxx fxkhix 2 ()1 221 ()1 ỡ > = = ớ -< ợ nờn ( ) C ' bao gm: + Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x 1. = + Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x 1 = qua Ox. Da vo th ta cú: m < 2 m = 2 2 < m < 0 m 0 S nghim vụ nghim 2 nghim kộp 4 nghim phõn bit 2 nghim phõn bit Cõu II: 1) PT x 55 2sin2sin1 1212 pp ộự ổử -+= ờỳ ỗữ ốứ ởỷ x 551 sin2sinsin 12124 2 ppp ổử -+== ỗữ ốứ x 55 sin2sinsin2cossinsin 1241231212 pppppp ổửổửổử -=-=-=- ỗữỗữỗữ ốứốứốứ () xkxk xk xkxk 5 22 5 12126 sin2sin 5133 1212 22 12124 ppp pp pp ppp pp ộộ -=-+=+ ờờ ổửổử -=-ẻ ờờ ỗữỗữ ốứốứ ờờ -=+=+ ởở Â 2) iu kin: xy xy 0,0 +>- H PT xyxy xyxy 2222 2 13 ỡ +=+- ù ớ ù++ = ợ . t: uxy vxy ỡ =+ ớ =- ợ ta cú h: uvuvuvuv uvuv uvuv 2222 2()24 22 33 22 ỡỡ -=>+=+ ùù ớớ ++++ ùù -=-= ợợ uvuv uvuv uv 2 24(1) ()22 3(2) 2 ỡ +=+ ù ớ +-+ ù -= ợ . Th (1) vo (2) ta cú: uvuvuvuvuvuvuv 2 89389(3)0 ++-=++=+= . Kt hp (1) ta cú: uv uv uv 0 4,0 4 ỡ = == ớ += ợ (vi u > v). T ú ta cú: x = 2; y = 2.(tho k) Kt lun: Vy nghim ca h l: (x; y) = (2; 2). Cõu III: IxxdxxxdxII 44 2 12 44 1sinsin pp pp =+-=- ũũ ã Tớnh Ixxdx 4 2 1 4 1sin p p - =+ ũ . S dng cỏch tớnh tớch phõn ca hm s l, ta tớnh c I 1 0 = . ã Tớnh Ixxdx 4 2 4 sin p p - = ũ . Dựng phng phỏp tớch phõn tng phn, ta tớnh c: I 2 2 2 4 p =-+ Suy ra: I 2 2 4 p = Cõu IV: Ta cú: (BCM) // AD nờn mt phng ny ct mp(SAD) theo giao tuyn MN // AD . S 020 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 78 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng ã BCAB BCBM BCSA ỡ ^ ị^ ớ ^ ợ . T giỏc BCMN l hỡnh thang vuụng cú BM l ng cao. ã SA = AB tan60 0 = a 3 , a a MNSMMN ADSAa a 3 3 2 3 23 3 - === ị MN = a 4 3 , BM = a 2 3 Din tớch hỡnh thang BCMN l : S = BCNM a a BCMNaa SBM 2 4 2 210 3 22 333 ổử + ỗữ + === ỗữ ốứ ã H AH ^ BM. Ta cú SH ^ BM v BC ^ (SAB) ị BC ^ SH . Vy SH ^ ( BCNM) ị SH l ng cao ca khi chúp SBCNM Trong tam giỏc SBA ta cú SB = 2a , ABAM SBMS = = 1 2 . Vy BM l phõn giỏc ca gúc SBA ị ã SBH 0 30 = ị SH = SB.sin30 0 = a ã Th tớch chúp SBCNM ta cú V = BCNM SHS 1 . 3 = a 3 103 27 . Cõu V: t === 5;5;5 xyz abc . T gi thit ta cú: a, b, c > 0 v ++= abbccaabc BT ++ ++ +++ 222 4 abcabc abcbcacab (*) Ta cú: (*) ++ ++ +++ 333 222 4 abcabc aabcbabccabc ++ ++ ++++++ 333 ()()()()()()4 abcabc abacbcbacacb p dng BT Cụ-si, ta cú: ++ ++ ++ 3 3 ()()884 aabac a abac (1) ++ ++ ++ 3 3 ()()884 bbcba b bcba ( 2) ++ ++ ++ 3 3 ()()884 ccacb c cacb ( 3) Cng v vi v cỏc bt ng thc (1), (2), (3) suy ra iu phi chng minh. II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Do ABCH ^ nờn phng trỡnh AB: xy 10 ++= . ã B = ABBN ầ ị To im B l nghim ca h: xy xy 250 10 ỡ ++= ớ ++= ợ x y 4 3 ỡ =- ớ = ợ ị B(-4; 3). ã Ly A i xng vi A qua BN thỡ ABC ' ẻ . Phng trỡnh ng thng (d) qua A v vuụng gúc vi BN l (d): xy 250 = . Gi IdBN () =ầ . Gii h: xy xy 250 250 ỡ ++= ớ = ợ . Suy ra: I(1; 3) A '(3;4) ị ã Phng trỡnh BC: xy 7250 ++= . Gii h: BCxy CHxy :7250 :10 ỡ ++= ớ -+= ợ ị C 139 ; 44 ổử ỗữ ốứ . ã BC 22 139450 43 444 ổửổử =-+++= ỗữỗữ ốứốứ , dABC 22 7.11(2)25 (;)32 71 +-+ == + . Suy ra: ABC SdABCBC 1145045 (;) 32 2244 === S 020 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 79 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng 2) a) ã VTCP ca hai ng thng ln lt l: uu 12 (4;6;8),(6;9;12) = =- rr ị uu 12 , rr cựng phng. Mt khỏc, M( 2; 0; 1) ẻ d 1 ; M( 2; 0; 1) ẽ d 2. . Vy d 1 // d 2 . ã VTPT ca mp (P) l nMNu 1 1 ,(5;22;19) 2 ộự =-=- ởỷ uuuur rr ị Phng trỡnh mp(P): xyz 5221990 ++= . b) AB (2;3;4) = uuur ị AB // d 1 . Gi A 1 l im i xng ca A qua d 1 . Ta cú: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B IA + IB t giỏ tr nh nht bng A 1 B. Khi ú A 1 , I, B thng hng ị I l giao im ca A 1 B v d. Do AB // d 1 nờn I l trung im ca A 1 B. ã Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d 1 . Tỡm c H 363315 ;; 292929 ổử ỗữ ốứ . A i xng vi A qua H nờn A 439528 ;; 292929 ổử - ỗữ ốứ I l trung im ca AB suy ra I 652143 ;; 295829 ổử ỗữ ốứ . Cõu VII.a: Nhn xột z 0 = khụng l nghim ca PT. Vy z 0 ạ Chia hai v PT cho z 2 ta c: zz z z 2 2 111 0 2 ổửổử + += ỗữ ỗữ ốứ ốứ (1) t tz z 1 =- . Khi ú tz z 22 2 1 2 =+- zt z 22 2 1 2 +=+ Phng trỡnh (2) tr thnh: tt 2 5 0 2 -+= (3). i 2 5 14.99 2 D =-=-= ị PT (3) cú 2 nghim i t 13 2 + =, i t 13 2 - = ã Vi i t 13 2 + =: ta cú i zziz z 2 113 2(13)20 2 + -=-+-= (4a) Cú iiiii 222 (13)168696(3) D =++=+=++=+ ị PT (4a) cú 2 nghim : ii zi (13)(3) 1 4 +++ ==+ , iii z (13)(3)1 42 +-+- == ã Vi i t 13 2 - =: ta cú i zziz z 2 113 2(13)20 2 - -= = (4b) Cú iiiii 222 (13)168696(3) D =-+=-=-+=- ị PT (4b) cú 2 nghim : ii zi (13)(3) 1 4 -+- ==- , iii z (13)(3)1 42 == Vy PT ó cho cú 4 nghim : ii zizizz 11 1;1;; 22 =+=-==. 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) Ta cú: Idd 12 =ầị To ca I l nghim ca h: x xy xy y 9 30 2 603 2 ỡ = ù ỡ = ớớ +-= ợ ù = ợ ị I 93 ; 22 ổử ỗữ ốứ Do vai trũ A, B, C, D l nh nhau nờn gi s MdOx 1 =ầ l trung im cnh AD. Suy ra M(3; 0) Ta cú: ABIM 22 93 22332 22 ổửổử ==-+= ỗữỗữ ốứốứ Theo gi thit: ABCD ABCD S SABADAD AB 12 .1222 32 ===== Vỡ I v M cựng thuc ng thng d 1 dAD 1 ị^ ng thng AD i qua M(3; 0) v vuụng gúc vi d 1 nhn n (1;1) = r lm VTPT nờn cú PT: xy 30 +-= S 020 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 80 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Mt khỏc: MAMD 2 == ị To ca A, D l nghim ca h PT: ( ) xy xy 2 2 30 32 ỡ +-= ù ớ -+= ù ợ ( ) ( ) yxyx yx x xyxx 22 22 33 3 31 323(3)2 ỡỡ =-+=-+ ùù ỡ =- ớớớ -= -+=-+-= ợ ùù ợợ x y 2 1 ỡ = ớ = ợ hoc x y 4 1 ỡ = ớ =- ợ . Vy A( 2; 1), D( 4; 1). Do I 93 ; 22 ổử ỗữ ốứ l trung im ca AC suy ra: CIA CIA xxx yyy 2927 2312 ỡ =-=-= ớ =-=-= ợ Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4) Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; 1) 2) a) d 1 cú VTCP u 1 (1;1;2) =- r v i qua im M( 2; 1; 0), d 2 cú VTCP u 2 (2;0;1) =- r v i qua im N( 2; 3; 0) . Ta cú: uuMN 12 ,.100 ộự =-ạ ởỷ uuuur rr ị d 1 , d 2 chộo nhau. Gi Atttd 1 (2;1;2) +ẻ , Bt td 2 (22;3;) ÂÂ ẻ . AB l on vuụng gúc chung ca d 1 v d 2 ABu ABu 1 2 .0 .0 ỡ = ù ớ = ù ợ uuur r uuur r ị t t 1 3 '0 ỡ ù =- ớ ù = ợ ị A 542 ;; 333 ổử - ỗữ ốứ ; B (2; 3; 0) ng thng D qua hai im A, B l ng vuụng gúc chung ca d 1 v d 2 ị D: xt yt zt 2 35 2 ỡ =+ ù =+ ớ ù = ợ b) PT mt cu nhn on AB l ng kớnh: xyz 222 111315 6636 ổửổửổử -+-++= ỗữỗữỗữ ốứốứốứ Cõu VII.b: Ta cú: iCiCiC 20090120092009 200920092009 (1) +=+++ = CCCCCCCCCCCCi 024620062008135720072009 2009200920092009200920092009200920092009 20092009 ( ) -+-+-++-+-+-+ Thy: SAB 1 () 2 =+ , vi ACCCCCC 024620062008 200920092009200920092009 =-+-+-+ BCCCCCC 024620062008 200920092009200920092009 =++++++ ã Ta cú: iiiii 1004 20092100410041004 (1)(1)(1)(1).222 ộự +=++=+=+ ởỷ . ng nht thc ta cú A chớnh l phn thc ca i 2009 (1)+ nờn A 1004 2 = . ã Ta cú: xCxCxCxC 2009012220092009 2009200920092009 (1) +=++++ Cho x = 1 ta cú: CCCCCC 022008132009 200920092009200920092009 +++=+++ Cho x=1 ta cú: CCCCCC 0220081320092009 200920092009200920092009 ( )( )2+++++++=. Suy ra: B 2008 2 = . ã T ú ta cú: S 10032007 22=+ . ===================== S 020 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 81 http://www.VNMATH.com . xyz 222 111315 6636 ổửổửổử -+ -+ += ỗữỗữỗữ ốứốứốứ Cõu VII.b: Ta cú: iCiCiC 200 90 1200 9200 9 200 9200 9200 9 (1) +=+++ = CCCCCCCCCCCCi 024 6200 6200 8135 7200 7200 9 200 9200 9200 9200 9200 9200 9200 9200 9200 9200 9 200 9200 9 ( ) -+ - +-+ +-+ - +-+ . ( ) -+ - +-+ +-+ - +-+ Thy: SAB 1 () 2 =+ , vi ACCCCCC 024 6200 6200 8 200 9200 9200 9200 9200 9200 9 =-+ - +-+ BCCCCCC 024 6200 6200 8 200 9200 9200 9200 9200 9200 9 =++++++ ã Ta cú: iiiii 1004 200 92100410041004 (1)(1)(1)(1).222 ộự +=++=+=+ ởỷ chớnh l phn thc ca i 200 9 (1)+ nờn A 1004 2 = . ã Ta cú: xCxCxCxC 200 9012 2200 9200 9 200 9200 9200 9200 9 (1) +=++++ Cho x = 1 ta cú: CCCCCC 0 2200 81 3200 9 200 9200 9200 9200 9200 9200 9 +++=+++ Cho