sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan đề kiểm tra chất lợng học kỳ II-lần II môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 ( Thời gian lm bi 150, không kể giao đề ) I. Phần chung dnh cho tất cả các thí sinh ( 7,0 điểm) Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hm số 1 2 x y x = + 1. Khảo sát v vẽ đồ thị (C) của hm số 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0; -1) 3. Gọi (H) l hình phẳng giới hạn bởi (C), trục honh v đờng thẳng y = -3x 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox Câu 2 : (2,0 điểm) 1. Giải bất phơng trình ( ) 1 31 3 log (9 9) log 3 7 xx x + + > 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hm số 0 4 () 1 dt 25 x fx t = trên đoạn [7 ; 16] Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 , góc giữa cạnh bên v mặt đáy bằng 45 0 .Xác định tâm v tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x, y. Chứng minh rằng 2 y xy x y e x + + < II. Phần riêng : (3,0 điểm) Thí sinh học chơng trình no chỉ đợc lm theo chơng trình đó 1. Theo chơng trình chuẩn Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng ' 1 2' :53 4 xt dy t z = = + = Hai mặt phẳng () v () lần lợt có phơng trình l x + y -3 = 0 v x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 l giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) v () 2. Chứng tỏ d 1 v d 2 chộo nhau. Tính khoảng cách giữa d 1 v d 2 Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho bốn số phức 4 . (3 3) ; (3+ 3) ; 1 + 3i ; 2 + (1+ 3)iii++ Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn 2. Theo chơng trình nâng cao Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm 11 ( ;0;0), K(0; ;0) 22 H v 1 (1;1; ) 3 I . 1. Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hng. Tính diện tích của tam giác HIK 2. Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d l hình chiếu vuông góc của trục Ox trên mặt phẳng (HIK) Câu 6b : (1,0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức : 10 5 2 10 (1 ) ( 3 ) (1 3) ii z i + = Hết TRNG THCS & THPT NGUYN KHUYN TH SC I HC 2010 LP 12D1 Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt ) S 023 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 23 http://www.VNMATH.com sở gd&đt thái bình trờng thpt bắc đông quan kiểm tra chất lợng học kỳ II - lần II môn : Toán 12 Năm học 2008-2009 hớng dẫn chấm v biểu điểm Nội dung Điểm Câu 1 : (3,5 điểm) Cho hm số 1 2 x y x = + 1. Khảo sát v vẽ đồ thị (C) của hm số 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1) 3. Gọi (H) l hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục honh v đờng thẳng y = -3x 1 . Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh Ox a) Tập xác định : R\{-2} 0,25 b) Sự biến thiên * Giới hạn-tiệm cận , 2 2 , lim x x Lim y y + =+ = Do đó đờng thẳng x = - 2 l tiệm cận đứng của đồ thị hm số , nên đờng thẳng y = -1 l tiệm cận ngang của đồ thị hm số 1 x Lim y = 0,25 1. (2,0) * Bảng biến thiên +) 2 3 ' (2) y x = + < 0 ,x -2 x - -2 + y - - y -1 + - -1 Hm số nghịch biến trên các khoảng (- ;-2) v ( -2 ; +) 0,25 0,25 0,25 c. Đồ thị + Giao với Oy : (0;1/2) + Giao với Ox : (1;0) NX : Đồ thị nhận I(-2;-1) l giao điểm của hai đờng tiệm cận lm tâm đối xứng 0,75 S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 92 http://www.VNMATH.com 2 (1,0) + Gọi x 0 l honh độ tiếp điểm suy ra phơng trình tiếp tuyến có dạng () 0 0 2 0 0 1 3 () 2 2 x yxx x x =+ + + + Vì tiếp tuyến đi qua A(0;-1) nên ta có () 0 00 2 0 0 1 3 1() 2 2 x xx x x 1 =+ + + = 0,25 0,5 Suy ra phơng trình tiếp tuyến l : y = -3x-1 0,25 3 (0,5) +) ĐT y = -3x-1l tiếp tuyến tại tiếp điểm (-1;2) v cắt trục honh tại điểm(-1/3;0) Theo hình vẽ ở trên (Tiếp tuyến ny không cắt (C) tại một điểm no khác nữa) + Gọi (H 1 ) l hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox , x = -1,x=1.Suy ra thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi (H 1 ) khi quay quanh Ox l 22 11 1 1 2 11 1 13 96 11 22 2 (2) x Vdx dx xx x x === ++ + + dx+ Đặt x+2=u du=dx ; x= -1 u=1 , x=1 u =3 3 1 ln 3 1 2 1 96 9 16(86ln3)Vduuu uu u = + = += 0,25 + Gọi (H 2 ) l hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến (ý 2), Ox, x = -1, x =-1/3 . Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H 2 ) khi quay quanh Ox bằng thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 2 v chiều cao bằng 2/3 2 2 12 8 (.2) 33 9 V == + Thể tích khối tròn xoay cần tìm l V = V 1 V 2 = 64 6ln3 9 (Đvtt) 0,25 Câu 2 : (2,0 điểm) 1. Giải bất phơng trình ( ) 1 31 3 log (9 9) log 3 7 xx x + + > 2. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hm số 0 4 () 1 dt 25 x fx t = trên đoạn [7 ; 16] + Điều kiện > 0 1 3 x+ 7 3 7 log 3 x> (*) 0,25 1. (1,0) + Đa bất phơng trình về dạng 2.9 x -7. 3 x 9 < 0 + Giải ra 3 9 log 2 x < 0,25 0,25 + Kết hợp với (*) suy ra 3 79 log log 32 x<< 3 ( Kết luận ) 0,25 + 1 2 00 ( ) d 4 (25 ) d(25- ) xx f xt t =+ t + Tính đợc () 825 40fx x x=+ ( Xác định v liên tục trên đoạn [7 ; 16] ) 0,25 0,25 2. (1,0) + Ta có 4 '( ) 1 25 fx x = v '( ) 0 9 (7;16)fx x = = 0,25 + f(7) = 24 2 33 ; f(9 ) = 1 ; f(16) = 0 Suy ra [] [] 7;16 7;16 ax ( ) 1 , min ( ) 0mfx fx = = 0,25 S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 93 http://www.VNMATH.com Câu 3 : (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy bằng 3 góc giữa cạnh bên v mặt đáy bằng 45 0 .Xác định tâm v tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Gọi tam giác đều ABC có cạnh đáy bằng x dtABC = 20 1 sin60 2 x 2 3x = 4 Theo giả thiết x = 2 + Gọi H l hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) HA = HB = HC hay H l trọng tâm tam giác ABC 222 23 . 33 3 dt ABC AI BC == = HA (Vì AI BC) 0,25 0,25 Mặt khác góc giữa cạnh bên v mặt đáy hình chóp = (SA,(ABC))=(SA,AH) = SAH vuông cân tại H HS = HA = HB = HC 0 45SAH S A B 45 0 H I C = Suy ra H l tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính R = HA = 23 3 0,25 Diện tích mặt cầu S= 4R 2 = 16 3 0,25 Chú ý : Nếu học sinh xác định không chính xác vị trí tâm của mặt cầu m vẫn đa ra đợc kết quả đúng về diện tích mặt cầu thì đợc 0,5 điểm Câu 4 : (0,5 điểm) Cho các số thực dơng x , y . Chứng minh rằng 2 y xy x y e x + + < + ) BĐT 2 ln 2 x yy x xy + (1) .Đặt > + , t > 1 xy t x + = (1) trở thnh lnt > 2( 1) 1 t t + 2( 1) ln 0 1 t t t > + 0,25 + Xét f(t) = l 2( 1) n 1 t t t + trên [1;+) , [ ) 2 2 (1) '( ) 0, 1; (f'(t) = 0 t = 1) (1) t ft t tt =+ + Suy ra f(t) đồng biến trên [1;+ ) .Do đó t >1 f(t) > f(1) = 0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh 0,25 S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 94 http://www.VNMATH.com Câu 5a : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng 1 2' :5 4 xt dy t z = = + = 3' Hai mặt phẳng () v () lần lợt có phơng trình l x+y-3 = 0 v x + 2z -1 = 0 1. Chứng tỏ () cắt (). Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d 2 l giao tuyến của hai mặt phẳng () v () 2. Chứng tỏ d 1 v d 2 chộo nhau. Tính khoảng cách giữa d 1 v d 2 + () có véc tơ pháp tuyến l (1;1; 0)n () có véc tơ pháp tuyến l '(1;0;2)n Dễ thấy hai véc tơ không cùng phơng (Hay ',nknkR G JG ), suy ra () cắt () 0,5 1. + d 2 l tập hợp tất cả các điểm M(x;y;z) thoả mãn hệ 30 21 xy xz 0 + = + = Cho y = 0 x =3 v z = -1 ( ) 3;0; 1M d 2 +Do d 2 vuônggóc với v ' nên dn n 2 có véc tơ chỉ phơng 2 ,'unn = = (2;-2;-1) Suy ra phơng trình tham số của d 2 l 32 2 1 x t yt zt = + = = 0,25 0,25 + Chỉ ra 2 véc tơ chỉ phơng , của d 1 u 2 u 1 v d 2 không cùng phơng , đồng thời hê phơng trình sau vô nghiêm suy ra d 32 2' 253 14 tt t t += =+ = ' t 1 v d 2 chộo nhau 0,5 2. + Mặt phẳng () chứa d 2 v //d 1 , suy ra () đi qua M v có véc tơ pháp tuyến n vuông góc với (-2; 3;0) v nên lấy 1 u 2 u n = [ , ]=(-3;-2;-2) 1 u 2 u Phơng trình () : -3(x-3) - 2y - 2(z+1) = 0 - 3x - 2y - 2z + 7 = 0 0,25 + Khoảng cách giữa d 1 v d 2 bằng khoảng cách giữa d 1 v () v cũng bằng khoảng cách giữa M 1 (0;-5;4) d 1 v () d(d 1 , d 2 )= d(M 1 , ())= 222 -3.0 2.( 5) 2.4 7 (3) (2) (2) + ++ 9 17 = 0,25 Kết luận : S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 95 http://www.VNMATH.com Câu 6a : (1,0 điểm) Trong mặt phẳng phức cho bốn điểm A, B, C, D lần lợt biểu diễn cho bốn số phức 4 (3 3) ; (3+ 3) ; 1+3i ; 2+(1+ 3)iii++ . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn + (4;3 3), (0;3 3), (1;3), (2;1 3)ABCD++ + 0,25 + Dễ thấy (3;3),(1;3) .AC BC AC BC = JJJG JJJG JJJG JJJG 0 ABC vuông tại C Do đó đờng tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm l trung điểm I của đoạn AB v bán kính R=AB/2 Ta có 1 (2;3 3), 2 2 IRAB+= JJJG = Pt của (C): 22 (2)(33)xy 4 + = (1) 0,5 + Rõ rng D(C) , từ đó suy ra đpcm 0,25 Câu 5b : (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho ba điểm 11 ( ;0;0) , K(0; ;0) 22 H v 1 (1;1; ) 3 I . 1. Chứng tỏ ba điểm H, I, K không thẳng hng. Tính diện tích của tam giác HIK 2.Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d l hình chiếu vuông góc của trục Ox trên mặt phẳng (HIK) 1. +) 11 1 1 (;;0) , (;1; 22 2 3 HK HI= = JJJG JJJG ) không cùng phơng (do 11 1 1 ::0 :1: 22 2 3 ) Suy ra ba điểm H, I, K không thẳng hng + )Ta có 11 3 ,;; 66 4 nHKHI == GJJJGJJJG +) 22 2 11113 , 22664 HIK SHKHI ==++ JJJG JJJG 89 24 = (đv dt) 0,5 0,25 0,25 2. +) Dễ thấy l một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (HIK) n G + Gọi (P) l mặt phẳng chứa Ox v vuông góc với (HIK) Suy ra VTPT của (P) l p n JJG n G v p n J JG i G có thể lấy p n J JG =[ n G , i G ]= 31 0; ; 46 + Gọi d hình chiếu vuông góc của Ox trên (HIK) d =(P) (HIK) G 0,25 0,25 l d , d n , do đó d có véc tơ chỉ phơng p n JJG 85 1 1 144. , 144. ; ; (85; 4;18) 144 36 8 p unn == JG = GJG + Trục Ox cắt (HIK) tại điểm 1 (;0;0) 2 H Hd Suy ra pt tham số của d l : 1 85 2 4 18 x t y t zt =+ = = (tR) 0,25 0,25 S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 96 http://www.VNMATH.com Câu 6b : (1.0 điểm) Giải phơng trình sau trên tập các số phức : 10 5 2 10 (1 ) ( 3 ) (1 3) ii z i + = 10 5 2 10 55 2 10 10 2 2cos( ) sin( ) 2cos sin 44 66 44 2cos sin 33 55 55 2 cos( ) sin( ) 2 cos sin 22 66 40 40 2cos sin 33 2co ii PT z i ii z i z + + = + + + = + = 10 2 55 s( ) sin( ) 33 40 40 2cos sin 33 cos( 15 ) sin( 15 ) 1 i i zi zi + + = + == Kết luận : zi= 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý : - Trên đây chỉ l hớng dẫn lm bi; phải lý luận hợp lý mới cho điểm - Những cách giải khác đúng vẫn đợc điểm tối đa - Điểm ton bi đợc lm tròn đến 0,5 S 023 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 97 http://www.VNMATH.com . biến thiên +) 2 3 ' (2) y x = + < 0 ,x -2 x - -2 + y - - y -1 + - -1 Hm số nghịch biến trên các khoảng (- ;-2 ) v ( -2 ; +) 0,25 0,25 0,25 . véc tơ pháp tuyến n vuông góc với (-2 ; 3;0) v nên lấy 1 u 2 u n = [ , ]= (-3 ;-2 ;-2 ) 1 u 2 u Phơng trình () : -3 (x-3) - 2y - 2(z+1) = 0 - 3x - 2y - 2z + 7 = 0 0,25 + Khoảng cách. thái bình trờng thpt bắc đông quan đề kiểm tra chất lợng học kỳ II-lần II môn : Toán 12 Năm học 200 8-2 009 ( Thời gian lm bi 150, không kể giao đề ) I. Phần chung dnh cho tất cả các