I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số x y x 24 1 - = + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm trên đồ thị (C), hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1). Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: x xxx 4 137 4coscos2cos4cos 242 += 2) Giải hệ phương trình: xx xx 3.2321 =++ Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x x edx x 2 0 1sin 1cos p æö + ç÷ + èø ò Câu IV (1 điểm): Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c, · · · ASBBSCCSA 000 60,90,120 ===. Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xyz 222 222 log1log1log1 +++++ II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d 1 : xy 10 ++= và d 2 : xy 210 = . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(1; 1) và cắt d 1 , d 2 tương ứng tại A, B sao cho MAMB 20 += uuuruuur r . 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): xyz 2210 +-+= và hai điểm A(1; 7; –1), B(4; 2; 0). Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P). Câu VII.a (1 điểm): Kí hiệu x 1 , x 2 là các nghiệm phức của phương trình xx 2 2210 -+= . Tính giá trị các biểu thức x 2 1 1 và x 2 2 1 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy 22 2230 + = và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. Câu VII.b (1 điểm): Tìm các giá trị x, biết trong khai triển Newton ( ) x n x 5 lg(103)(2)lg3 22 + số hạng thứ 6 bằng 21 và nnn CCC 132 2 += . ============================ TRƯ ỜN G THCS & THPT NGUYỄN K H U YẾN Đ Ề T HỬ SỨC Đ ẠI HỌC 2 0 10 LỚP 12D1 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đ Ề S Ố 00 7 http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 7 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng Hng dn: I. PHN CHUNG Cõu I: 2) Phng trỡnh ng thng MN: xy 230 ++= . Gi I(a; b) ẻ MN ị ab 230 ++= (1) Phng trỡnh ng thng d qua I v vuụng gúc vi MN l: yxab 2() =-+ . Honh cỏc giao im A, B ca (C) v d l nghim ca phng trỡnh: x xab x 24 2() 1 - =-+ + (x ạ 1) xabxab 2 2(2)240 ++= (x ạ 1) A, B i xng nhau qua MN I l trung im ca AB. Khi ú: AB I xx x 2 + = ab a 2 4 - = (2) T (1) v (2) ta c: ab ab a 230 2 4 ỡ ++= ù - ớ = ù ợ a b 1 2 ỡ = ớ =- ợ Suy ra phng trỡnh ng thng d: yx 24 =- ị A(2; 0), B(0; 4). Cõu II: 1) PT x x 3 cos2cos2 4 += (*). Ta cú: x x cos21 3 cos1 4 ỡ Ê ù ớ Ê ù ợ . Do ú (*) x x cos21 3 cos1 4 ỡ = ù ớ = ù ợ xk l x 8 3 p p ỡ = ù ớ = ù ợ xm 8 p = . 2) PT x xx 3(21)21 -=+ (1). Ta thy x 1 2 = khụng phi l nghim ca (1). Vi x 1 2 ạ , ta cú: (1) x x x 21 3 21 + = - x x x 21 30 21 + -= - t xx x fx xx 213 ()332 2121 + =-= . Ta cú: x fxx x 2 61 ()3ln30, 2 (21) Â =+>"ạ - Do ú f(x) ng bin trờn cỏc khong 1 ; 2 ổử -Ơ ỗữ ốứ v 1 ; 2 ổử +Ơ ỗữ ốứ ị Phng trỡnh f(x) = 0 cú nhiu nht 1 nghim trờn tng khong 11 ;,; 22 ổửổử -Ơ+Ơ ỗữỗữ ốứốứ . Ta thy xx 1,1 ==- l cỏc nghim ca f(x) = 0. Vy PT cú 2 nghim xx 1,1 ==- . Cõu III: Ta cú: xx x 2 1sin1 1tan 1cos22 ổử + =+ ỗữ +ốứ . Do ú: I = x x edx 2 2 0 1 1tan 22 p ổử + ỗữ ốứ ũ = x xx edx 2 2 0 1 1tantan 222 p ổử ++ ỗữ ốứ ũ = xx xx edxedx 22 2 00 1 1tantan. 222 pp ổử ++ ỗữ ốứ ũũ t x ue x dvdx 2 1 1tan 22 ỡ = ù ổử ớ =+ ỗữ ù ốứ ợ ị x duedx x v tan 2 ỡ = ù ớ = ù ợ ị I = xxx xxx eedxedx 22 2 0 00 tantantan 222 pp p -+ ũũ = e 2 p . Cõu IV: Trờn AC ly im D sao cho: DS ^ SC (D thuc on AC) ị ã ASD 0 30 = . Ta cú: ASD CSD ASSD S ADa CDSc CSSD 0 1 sin30 2 1 2 . 2 === ị a DADC c2 =- uuuruuur ị cSAaSC SD ca 2 2 + = + uuruur uuur ị cSAaSCc SDSBSBSASB caca 22 22 ổử + == ỗữ ++ ốứ uuruur uuuruuruuruuruur = cabc ab caca 0 2 .cos60 22 = ++ S 007 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 43 http://www.VNMATH.com Trn S Tựng v cSAaSCcaSASC SD ca 2222 2 2 44. (2) ++ = + uuruur = acacacac caca 22222222 22 423 (2)(2) +- = ++ ị SD = ac ca 3 2 + Mt khỏc, ã abc SDSB ca SDB SDSB ac b ca .3 2 cos .3 3 . 2 + === + uuuruur ị ã SDB 6 sin 3 = ã SDBCSDB VSCSSCSDSBSDB 11 sin 36 == = abc ca 2 2 . 62 + M ASDB CSDB V ADa VDCc 2 == ị ASDBCSDB aabc VV cca 2 2 . 2122 == + Vy: SABCASDBCSDB abcabc VVVabc ca 22 222 12212 ổử + =+== ỗữ + ốứ . Cõu V: t axbycz 222 log,log,log === ị abcxyz 22 log()log83 ++=== ị P = xyz 222 222 log1log1log1 +++++ = abc 222 111 +++++ t manbpc (;1),(;1),(;1) === rrr . Khi ú: P = mnpmnp ++++ rrrrrr = abc 22 ()(111) +++++ = 32 Du "=" xy ra abc 1 === xyz 2 === . Vy MinP = 32 khi xyz 2 === . II. PHN T CHN 1. Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a: 1) Gi s A(a; a 1) ẻ d 1 , B(b; 2b 1) ẻ d 2 . MAaaMBbb (1;2),(1;22) = = uuuruuur MAMB 20 += uuuruuur ab ab 2210 24220 ỡ -+-= ớ +-= ợ a b 0 3 ỡ = ớ = ợ ị A(0; 1), B(3; 5) ị Phng trỡnh d: xy 210 = . 2) PTTS ca AB: xt yt zt 43 25 ỡ =+ ù =- ớ ù = ợ ị Giao im ca AB vi (P) l: M(7; 3; 1) Gi I l hỡnh chiu ca B trờn (P). Tỡm c I(3; 0; 2). Hỡnh chiu d ca ng thng AB l ng thng MI. ị Phng trỡnh ng thng d l: xt yt zt 34 3 2 ỡ =- ù = ớ ù =+ ợ Cõu VII.a: PT cú cỏc nghim ii xx 12 11 ; 22 +- == ị ii xx 22 12 11 2;2 =-= . 2. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b: 1) (C) cú tõm I(1; 1) v bỏn kớnh R = 5 . IM = 25 < ị M nm trong ng trũn (C). Gi s d l ng thng qua M v H l hỡnh chiu ca I trờn d. Ta cú: AB = 2AH = IAIHIHIM 2222 2252523 -=--=. Du "=" xy ra H M hay d ^ IM. Vy d l ng thng qua M v cú VTPT MI (1;1) =- uuur ị Phng trỡnh d: xy 20 -+= . 2) Phng trỡnh mp(ABC): xyz 1 123 ++= . Gi H(x; y; z) l trc tõm ca DABC. Ta cú: AHBC BHAC HP () ỡ ^ ù ớ ^ ù ẻ ợ uuuruuur uuuruuur yz xz yz x 230 30 1 23 ỡ -+= ù ù -+= ớ ù ++= ù ợ x y z 36 49 18 49 12 49 ỡ = ù ù ù = ớ ù ù = ù ợ ị H 361812 ;; 494949 ổử ỗữ ốứ . S 007 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 44 http://www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Câu VII.b: Phương trình nnn CCC 132 2 += Û nnn 2 (914)0 -+= Û n 7 = Số hạng thứ 6 trong khai triển ( ) x x 7 5 lg(103)(2)lg3 22 + là ( ) ( ) x x C 2 5 5 5lg(103)(2)lg3 7 22 Ta có: x x C 5lg(103)(2)lg3 7 .2.221 = Û x xlg(103)(2)lg3 21 -+- = Û x x lg(103)(2)lg30 -+-= Û xx2 (103).31 - -= Û xx2 310.390 -+= Û xx 0;2 == ===================== Đ Ề S Ố 007 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 45 http://www.VNMATH.com . x x C 5lg(103)(2)lg3 7 .2.221 = Û x xlg(103)(2)lg3 21 -+ - = Û x x lg(103)(2)lg30 -+ -= Û xx2 (103).31 - -= Û xx2 310.390 -+ = Û xx 0;2 == ===================== Đ Ề S Ố 007 http://tranthanhhai.tk http://www.VNMATH.com http://www.VNMATH.com 45 http://www.VNMATH.com . AB = 2AH = IAIHIHIM 2222 2252523 -= -- = . Du "=" xy ra H M hay d ^ IM. Vy d l ng thng qua M v cú VTPT MI (1;1) =- uuur ị Phng trỡnh d: xy 20 -+ = . 2) Phng trỡnh mp(ABC): xyz 1 123 ++= x xx 3(21)21 -= + (1). Ta thy x 1 2 = khụng phi l nghim ca (1). Vi x 1 2 ạ , ta cú: (1) x x x 21 3 21 + = - x x x 21 30 21 + -= - t xx x fx xx 213 ()332 2121 + =-= . Ta cú: x fxx x 2 61 ()3ln30, 2 (21) Â =+>"ạ -