www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm số y= -m(x+1)+x+2 mx()+11 , (1) trong đó tham số m chỉ nhận giá trị khác 0. 1) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ? Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với giá trị vừa tìm đỷợc của m. 2) Chỷỏng minh rằng với mọi giá trị m ạ 0, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định. Xác định phỷơng trình đỷờng thẳng đó. Câu II. 1) Giải phỷơng trình lỷỳồng giác 3sinx + 2cosx=2+3tgx. 2) Cho hình thang ABCD, có các đáy AB = a, CD = b, các cạnh bên AD = c, BC = d, các đỷờng chéo AC = p, BD = q. Chỷỏng minh rằng pqcd 2222 +=+ + 2ab. Câu III. 1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y= xm xm 22 12 1++++() không lớn hơn 3. 2) Chỷỏng minh rằng nếu aa b b 12 1 2 2+() , thì ít nhất một trong hai phỷơng trình xaxb xaxb 2 11 2 22 0 0 ++= ++= , có nghiệm. Câu I.1)Đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ị0= -m(0+1)+0+2 m(0+1)-1 ị m=2. Khi đó hàm số có dạng y = -2(x + 1) + x + 2 2(x + 1) - 1 = -x 2x + 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này dành cho bạn đọc. 2) Giả sử đỷờng thẳng y = a(x + 1) + b tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị mạ 0. Khi đó hoành độ điểm tiếp xúc là nghiệm của hệ phỷơng trình: +++ + =++ + = mx x mx ax b mx a () () ()() [( )] () 12 11 11 1 1 2 2 với mọi m ạ 0. Từ(2)tacóa<0và(x+1)= 1 -1 a m ; thế vào (1) đỷợc -1 + -1 a + 1 -1 a m 1 -1 a -1 =a 1- 1 a m +b m-1+ - 1 a +1 - 1 a =a- 1 a 1- 1 a mb - 1 a m-1+ - 1 a +b - 1 a +1 - 1 a 1+a - 1 a =0 (3) đúng với mọi m ạ 0 nên + + = + = = 1 11 0 1 1 1 1 0 aa aa ab=1 Vậy đỷờng thẳngy=-(x+1)-1=-x-2luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với mọi giá trị của m ạ 0. Câu II. 1) Xét phỷơng trình: 3sinx + 2cosx=2+3tgx (1) Điều kiện của nghiệm : x ạ (2k + 1) 2 (k ẻ Z). (2) Với điều kiện (2) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ (1) 3sinxcosx + 2cos 2 x = 2cosx + 3sinx 3sinx(cosx - 1) + 2cosx(cosx - 1) = 0 (cosx - 1)(3sinx + 2cosx) = 0. a) cosx = 1 x=2k (k ẻ Z). b) 3sinx + 2cosx = 0 3 3+2 sinx + 2 3+2 cosx = 0 22 22 sin(x + ) = 0, trong đó là góc xác đỵnh bởi điều kiện: cos = 3 3+2 22 , sin = 2 3+2 22 . Từ đó x + =k x=- +k(k ẻ Z). 2) Ta có p 2 =d 2 +a 2 - 2adcos ABC ^ =d 2 +a 2 + 2adcos BCD ^ (1) q 2 =c 2 +a 2 - 2accos DAB ^ =c 2 +a 2 + 2accos ADC ^ . (2) Từ (1) và (2) ta có: p 2 +q 2 =c 2 +d 2 +2a 2 + 2a(ccos ADC ^ + dcos BCD ^ )=c 2 +d 2 +2a 2 +2a(b-a)==c 2 +d 2 + 2ab. Câu III. 1) Đặt x 0 =1-m.Khiđóhàmđãchocódạng: x 2 +(m+1) 2 +2(x+m-1)=y 1 nếu x x 0 x 2 +(m+1) 2 -2(x+m-1)=y 2 nếux<x 0 Parabol y 1 có hoành độ đỉnh x 1 = -b 2a = -1. Parabol y 2 có hoành độ đỉnh x 2 = -b 2a =1. Để giá trị bé nhất của hàm sốy=x 2 +(m+1) 2 +2|x+m-1|không lớn hơn 3 thì m thỏa mãn một trong các trỷỳõng hợp sau: a) y x 1 0 13 1 () hoặc yx x 20 0 3 1 () mm m 2 423 11 + hoặc 223 11 2 m m + 1-mÊ -1 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ 51 2 m m hoặc m m 2 1 2 2 (loại). b) yx x 10 0 3 1 () hoặc y x m m 2 0 2 13 1 223 11 () hoặc m m m m 2 2 23 11 1 2 0 + hoặc m m m 2 1 0 10 . (1) c) yx m 10 3 11 1 () < < hoặc yx m m m m 20 2 3 11 1 1 2 02 0 2 2 () < < << < (2) Từ (1) và (2) ta có đáp số : -1 Ê m Ê 2 2 . 2) Xét tổng các biệt thức của hai phỷơng trình: 1 + 2 = (a - 4b ) + (a - 4b ) 1 2 12 2 2 = = a + a - 4(b + b ) a + a - 2a a 1 2 2 2 12 1 2 2 2 12 =(a 1 -a 2 ) 2 0 (vì a 1 a 2 2(b 1 +b 2 )) ị hoặc 1 0 hoặc 2 0 hoặc cả 1 , 2 0 ị hoặc một trong hai phỷơng trình hoặc cả hai phỷơng trình có nghiệm. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ______________________________________________________ Câu IVa. Số cách chọn bất kì là 3 50 50.49.48 C 19600 31 == cách. Số cách để trong nhóm 3 ngời có cặp sinh đôi (chỉ có thể có 1 cặp sinh đôi và 1 ngời nữa bất kì) ; để lập đợc một nhóm nh thế ta chia thành 2 "giai đoạn". Đa một cặp vào nhóm : có 4 cách ; Đa thêm một ngời nữa : có 48 cách. Suy ra có 4. 48 = 192 cách để trong nhóm có cặp sinh đôi. Vậy số cách không có cặp sinh đôi là 19600 192 = 19408 cách. Câu Va. 1) Trớc hết ta đa phơng trình của (d) về dạng pháp dạng : 3416 xy 0 55 5 +=, suy ra khoảng cách từ F (3, 0) đến đờng thẳng (d) là : 3.3 4.0 16 25 (F,d) 5 55 + = == Từ đó suy ra đờng tròn tâm F (3, 0) tiếp xúc với đờng thẳng (d) có bán kính R = 5, có phơng trình : 22 (x 3) y 25+= hay 22 xy6x160+=. 2) Parabol có tiêu điểm F (3, 0) và có đỉnh tại O (0,0) có phơng trình chính tắc là : 2 y2px= với p 3 2 = , suy ra p = 6. Vậy ta có phơng trình của parabol (P) là : 2 y12x= . Từ phơng trình đờng thẳng (d) ta có : 3x = 4y 16. (1) Thay (1) vào phơng trình của parabol (P) : 2 y4.3x4(4y16)== 22 y16y640(y8) 0+==. Phơng trình này có nghiệm duy nhất, chứng tỏ ràng đờng thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P). Ta có tung độ của tiếp điểm là o y8= , thay giá trị này vào phơng trình của parabol (P) ta có o 16 x 3 = .Vậy tiếp điểm cần tìm là 16 M,8 3 . Câu IVb. 1) Do SD (ABCD) nên các tam giác SDC và SDA vuông ở D. Vì AB DA nên theo định lí ba đờng vuông góc ta có : AB SA. Vậy SAB vuông ở A. Bạn đọc có thể nhờ các kết quả đó và dùng giả thiết, chứng tỏ đợc rằng : SBC vuông ở B (SA a 2= , SB a 3= , SC a 5= ). 2). Gọi O là trung điểm của SC. Do n o SDC 90= và n o SBC 90= nên DO = BO = OS = OC. Vậy O là tâm mặt cầu qua 4 điểm S, C, D, B. Bán kính của mặt cầu này bằng : BC a 5 22 = . 3) Vì CD//AB nên CD//(SAB) MN// CD. Vậy thiết diện MNCD là hình thang. Hơn nữa, do CD (SDA) nên CD (SDA) nên CD MD. Vậy MNCD là hình thang vuông. Diện tích thiết diện MNCD là : 2 CD MN 2a a / 2 a 2 5a 2 S.DM. 2228 ++ === . Câu IVa. Một trỷỳõng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trỷồc chuẩn, cho điểm F(3, 0) và đỷờng thẳng (d) có phỷơng trình 3x-4y+16=0. 1) Tính khoảng cách từ F đến (d), từ đó suy ra phỷơng trình đỷờng tròn tâm F và tiếp xúc với (d). 2) Viết phỷơng trình parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc tọa độ O. Chỷỏng minh rằng parabol tiếp xúc với (d). Tìm tọa độ của tiếp điểm. Câu IVb. Cho hình thang ABCD vuôngởAvàD,AB=AD=a,DC=2a.Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho SD = a. 1) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác gì? 2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, B, C, D. 3) Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (DMC) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ . 0. Từ(2)tacóa<0và(x+1)= 1 -1 a m ; thế vào (1) đỷợc -1 + -1 a + 1 -1 a m 1 -1 a -1 =a 1- 1 a m +b m-1+ - 1 a +1 - 1 a =a- 1 a 1- 1 a mb - 1 a m-1+ - 1 a +b - 1 a +1. I.1)Đồ thị hàm số (1) đi qua gốc tọa độ ị0= -m(0+1)+0+2 m(0+1 )-1 ị m=2. Khi đó hàm số có dạng y = -2 (x + 1) + x + 2 2(x + 1) - 1 = -x 2x + 1 . Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số này dành. - 1 a +b - 1 a +1 - 1 a 1+a - 1 a =0 (3) đúng với mọi m ạ 0 nên + + = + = = 1 11 0 1 1 1 1 0 aa aa ab=1 Vậy đỷờng thẳngy =-( x+1 )-1 =-x-2luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) với