www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm số y= 2x + (1 - m)x + 1 + m x-m 2 . (1) 1)Vớim=1,hãykhảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi mạ -1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định tại một điểm cố định. 3) Xác định m để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng (1;+Ơ). Câu II. 1) Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d+e). 2) Cho a Ê 6, b Ê -8,cÊ 3. Chứng minh rằng với mọi x 1 ta đều có x 4 -ax 2 -bx c. Câu III. 1) Giải phỷơng trình 2 cos 2 3x 5 +1=3cos 4x 5 . 2) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có 2(sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C) < (sinA + sinB + sinC)(sin2A + sin2B + sin2C). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu I. 1) Đề nghị tự giải. 2) Trớc hết tìm điểm cố định A oo (x , y ) sao cho (1) qua A với m 1. Khi đó 2 oo o o 2x (1 m)x 1 m y xm + ++ = , m 1 2 oo o o y(x m) 2x (1 m)x 1 m= + ++ (m) 2 oo oo oo (x y 1)m y x 2x x 1 0 + = (m) oo 2 oo o o xy1 yx 2x x 1 0 = = Giải hệ đó ta đợc o x1= , o y2= . Dễ kiểm tra rằng m 1 (1) đều qua (1, 2). Mặt khác 22 2 2x 4mx m 2m 1 y'(x) (x m) + = ; 2 2 (m 1) y'( 1) 1 (m 1) + == + với m 1. Từ đó ta thấy, các đờng cong (1) đều tiếp xúc với đờng thẳng y = x 1 tại (1, 2). 3) Muốn hàm đồng biến trong khoảng 1 < x < + thì ta cần chọn m sao cho 22 2 2x 4mx m 2m 1 0 (x m) + với 1 < x < + 22 2x 4mx m 2m 1 0+ trong (1 ; + ) m 1 Đặt 22 f(x) 2x 4mx m 2m 1= + ; ' 22 2 4m 2m 4m 2 2(m 1) 0 = ++=+. Nếu m = 1 thì thỏa mãn. Nếu m 1 ta cần có 2f(1) 0 4m 1 4 < 2 m6m10 m1 + < m322 . Kết luận : m322 . Câu II. 1) 22222 abcde++++ a(b + c + d + e) 22 22 aa babcac 44 + + + + 22 22 aa dadeae0 44 + + + 22 2 2 aaaa bcde0 2222 +++ . 2) Đặt 42 f(x) x ax bx= . Ta có : f'(x) = 4 3 x 2ax b, f''(x) = 12 2 x 2a = 2(6 2 x a). Do a 6 và 2 x 1 nên f''(x) 0 f'(x) đồng biến trong khoảng [1 ; + ). f'(1) = 4 (2a + b) 0 (do 2a + b 4). Vậy f'(x) 0 trong khoảng [1 ; + ) f(x) đồng biến trong khoảng đó. Lại có f(1) = 1 (a + b) 3 (do a + b 2). Vậy với mọi x [1 ; + ) ta đều có f(x) 3 c (điều phải chứng minh). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu III. 1) Đặt 2x cos t (| t | 1) 5 = ta sẽ tới 32 4t 6t 3t + 5 = 0 hay (t 1)(4 2 t 2t 5) = 0. Phơng trình này có hai nghiệm 1 t1= , 2 121 t 4 = thích hợp, còn nghiệm 3 121 t 4 + = > 1 bị loại. Từ đó tìm ra x. 2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 0 < sinA(sin2A + sin2B + sin2C) + sinB(sin2A sin2B + sin2C) + sinC(sin2A + sin2B sin2C).(1) Ta có : sin2A + sin2B + sin2C = 2sinAcosA + 2sin(B + C)cos(B C) = 2sinA[cos(B + C) + cos(B C)] = 4sinAcosBcosC, vậy (1) tơng đơng với 2 a cosBcosC + 2 b cosAcosC + 2 c cosAcosB > 0. (2) Nếu ABC là tam giác nhọn hay vuông thì (2) hiển nhiên đúng. Giả thử ABC là tam giác tù, chẳng hạn có góc A tù. Thế thì 222 22 abc2bccosAbc=+ >+, do vậy (cosB, cosC > 0) 2 a cosBcosC + 2 b cosAcosC + 2 c cosAcosB > 22 (b c )+ cosBcosC + 2 b cosAcosC + 2 c cosAcosB = 2 b cosC(cosA + cosB) + 2 c cosC(cosA + cosC) > 0 bởi vì dẫu cosA < 0 nhng cosA + cosB = AB AB 2cos cos 22 + > 0. Câu IVb. 1) Gọi K là chân đỷờng vuông góc hạ từ O xuống (d). Ta có: sin a = OK OA ị OA = a sina . Trong tam giác vuông SOA ta có :SA 2 =SO 2 +OA 2 . Nhỷng SO = 8 3 a ;SA= 5 3 OA = 5 3 a sina . Vậy 25 9 64 9 2 2 22 2 aaa sin sinaa =+ ị 25 = 64sin 2 x+9 sin 2a = 1 4 ị=ị=sinaa 1 2 30 0 (ở đây ta không lấy giá trị sin a = - 1 2 vì a là một góc trong tam giác). 2) Đoạn SO cố định, OES OFC ^^ = =90 o . Điểm E và F di chuyển nhỷng luôn luôn nhìn đoạn cố định SO d ới một góc vuông, do đó E và F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO. Mặt khác E và F di chuyển nhỷng luôn luôn nằm trong mặt phẳng (S, d) cố định. Vậy E và F nằm trên giao tuyến của hai mặt nói trên. Giao tuyến ấy là một đỷờng tròn, kí hiệu là (g), nằm trong mặt phẳng (S, d). Hạ OH ^ SK ta có H thuộc mặt cầu đỷờng kính SO. Mặt phẳng (SOK) là mặt đối xứng của hình cầu đỷờng kính SO. Ta lại có mặt phẳng (S, d) vuông góc với mặt phẳng(SOK). Do đó đỷờng tròn (g) nằm trong mặt phẳng (S, d) phải nhận SK làm trục đối xứng. Do H cũng thuộc (g) nên SH chính là đỷờng kính của đỷờng tròn đó. Đảo lại : Lấy một điểm F trên (g), F khác S và khác H. Nối SF, vì SF thuộc mặt phẳng (S, d) do đó SF kéo dài cắt (d) ở B. Nối OB,dựng góc vuông BOA ^ trong mặt phẳng P (A trên d). Nối SA, nó cắt đỷờng tròn (g) tại E. Vì E, F nằm trên (g) nên E, F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO, do đó OE ^ SA, OF ^ SB. Vậy tập hợp các điểm E và F là đỷờng tròn (g) - giao của mặt cầu đỷờng kính SO và mặt phẳng (S, d) - trừ hai điểm S và H. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ 3) Gọi M là điểm giữa của AB. Vì tam giác AOB vuông ở O nên M chính là tâm đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Tâm I của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOAB phải nằm trên giao của mặt phẳng trung trực R của đoạn SO với đỷờng thẳng (D) vuông góc với P tại điểm M. Do đó ta có MI//SO và SO = 2MI. Nối OI, nó gặp trung tuyến SM của tam giác SAB tại G: Ta có : G'M G'S = MI SO = 1 2 ị G'M SM = 1 3 . Vậy G trùng với tâm G của tam giác SAB. Hay nói cách khác ba điểm O, G, I là thẳng hàng. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ Câu IVa. Trong mặt phẳng cho hai đỷờng thẳng (D 1 ), (D 2 )cóphỷơng trình (D 1 ): kx-y+k=0, (D 2 ): (1-k 2 )x+2ky-(1+k 2 )=0. 1) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đỷờng thẳng (D 1 ) luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Với mỗi giá trị k, hãy xác định giao điểm của (D 1 )và(D 2 ). 3) Tìm tập hợp các giao điểm đó, khi k thay đổi. Câu IVb. Trong mặt phẳng (P), cho điểm O cố định, một đỷờng thẳng (d) cố định không đi qua O, một góc vuông XOY quay quanh điểm O : các cạnh Ox, Oy cắt (d) theo thứ tự tại A và B. Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua O, lấy điểm S. Gọi a là khoảng cách từ O đến (d), OAB = . 1) Tính góc khi OS = 8a 3 ,SA= 5 3 OA. 2) Hạ OE SA, OF SB. Tìm tập hợp các điểm E, F khi góc vuông XOY quay quanh O. 3) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OSAB. Chứng minh rằng 3 điểm O, G, I thẳng hàng. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm số y= 2x + (1 - m)x + 1 + m x-m 2 . (1) 1)Vớim=1,hãykhảo. sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Chứng minh rằng với mọi mạ -1 , đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định tại một điểm cố định. 3) Xác định m để hàm số (1) là đồng. Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d+e). 2) Cho a Ê 6, b Ê -8 ,cÊ 3. Chứng minh rằng với mọi x 1 ta đều có x 4 -ax 2 -bx c. Câu III. 1)