Câu I. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2x 3 -x 2 . 2) Giả sử đỷờng thẳngy=acắtđồthị(C)tại3điểm có hoành độ x 1 ,x 2 ,x 3 . Tính tổng x+x+x 1 2 2 2 3 2 . Câu II. 1) Giải bất phỷơng trình 11+- -Êxxx . 2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, thì ta có a 2 +b 2 +c 2 < 2(ab + bc + ca). Câu III. 1) Giải phỷơng trình cotg2x + cotg3x + 1 sinx sin2x sin3x =0 . 2) Tứ giác IAJB có các góc A và B vuông, IA > IB. Chứng tỏ rằng với mọi điểm M trên đỷờng thẳng IJ ta luôn có JA JB MA MB IA IB ÊÊ . Câu IVa. 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta luôn có xdx k xdx k n 0 1 1 ũ ồ ũ << = . 2) Từ kết quả trên, hãy suy ra a) 666,6 < k k= ồ < 1 100 676 ; b) lim n k n n k đ+Ơ = ồ ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ữ = 12 3 3 1 . Câu IVb. Một hình chóp cụt đều có các đáy là các hình vuông với cạnh là a và 2a. Chiều cao hình chóp cụt là h. 1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp cụt. 2) Xác định quan hệ giữa a và h sao cho tồn tại một hình cầu tiếp xúc với 4 cạnh bên và 2 đáy. 3) Tính tỉ số diện tích của hai phần mặt cầu đỷợc tách ra từ mặt cầu nói trên bởi mặt phẳng (P) qua các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh bên. 4) Tính tỉ số thể tích của 2 phần hình cầu đỷợc tách bởi mặt phẳng (P). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Câu I. 1) Bạn hãy tự giải nhé! 2) x 1 ,x 2 ,x 3 là nghiệm của phỷơng trình 2x 3 -x 2 -a=0 x 3 - x 2 - a 2 2 =0 ị x 3 - x 2 - a 2 2 =(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ). Từ đó suy ra x 1 +x 2 +x 3 = 1 2 ,x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =0. Vậy : x+x+x 1 2 2 2 3 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 - 2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 )= 1 4 . Câu II. 1) Điều kiện để các căn có nghĩa:-1Ê x Ê 1. Khi đó nhân hai vế với 1+x + 1-x >0 ,tađỷợc bất phỷơng trình tỷơng đỷơng 2x Ê x( 1+x + 1-x ). (1) Nếu x = 0, (1) đỷợc nghiệm. Nếu 0 < x Ê 1, (1) tỷơng đỷơng với 2 Ê 1+x + 1-x 4 Ê 2+2 1- x 2 1 Ê 1- x 2 không đỷợc nghiệm. Nếu - 1 Ê x<0,(1)tỷơng đỷơng với 2 1+ x + 1-x 1 1-x 2 đ ợc nghiệm. Vậy đáp số là - 1 Ê x Ê 0. 2) Vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, nên |b-c|<a (b-c) 2 <a 2 , |c-a|<b (c-a) 2 <b 2 ,|a-b|<c (a-b) 2 <c 2 . Cộng các vế tỷơng ứng thì đi đến kết quả cần chứng minh. Câu III. 1) Điều kiện : sinxsin2xsin3x ạ 0. Biến đổi phỷơng trình đã cho dỷới dạng sin5x sin2xsin3x + 1 sinxsin2xsin3x =0ị sinxsin5x=-1. Vậy phải có: a) Hoặc sin sin x x = =- ỡ ớ ù ù ợ ù ù 1 51 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Vì sinx = 1 ị x= p 2 +2kp (k ẻ Z) ị5x = p 2 + 2kpịsin5x = 1 mâu thuẫn. b) Hoặc sin sin x x =- = ỡ ớ ù ù ợ ù ù 1 51 Lập luận nhỷ trên, ta gặp mâu thuẫn. Vậy phỷơng trình đã cho không có nghiệm. 2) Tứ giác IAJB đ ợc nội tiếp trong đỷờng tròn đỷờng kính IJ = 2R. Gọi O là điểm giữa của IJ, đặt IOA ^ =a, IOB ^ = b. Thế thì IA = 2Rsin a 2 , IB = 2Rsin b 2 , JA = 2Rcos a 2 , JB = 2Rcos b 2 . Từ IA > IB suy ra JA < JB. Ta định hỷớng đỷờng thẳng IJ theo hỷớng từ J đến I (Hình 71), lấy O làm gốc tọa độ, đặt OM = x. Thế thì AM 2 =R 2 +x 2 - 2Rxcosa = (R - x) 2 + 4Rxsin 2 a 2 ,BM 2 =R 2 +x 2 - 2Rxcosb = (R - x) 2 + 4Rxsin 2 b 2 . Vì sin ab 2 >sin 2 >0,0<cos ab 2 <cos 2 , nên a) nếu x 0 (I và M ở cùng phía đối với O) thì AM 2 BM 2 và ta có 1 Ê AM BM = (R - x) + 4Rxsin 2 (R - x) + 4Rxsin 2 2 2 22 22 a b Ê sin 2 sin 2 = IA IB 2 2 2 2 a b ; b) nếu x Ê 0 (J và M ở cùng phía đối với O) thì AM 2 Ê BM 2 và ta có 1 AM BM = (R + x) - 4Rxcos 2 (R + x) - 4Rxcos 2 2 2 22 22 a b cos 2 cos 2 = JA JB 2 2 2 2 a b . Từ đó suy ra kết luận. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu IVa. 1) kx nếu k x k + 1 và kx nếu k 1 x k nk nn k1 k1 0k1 xdx xdx k == =<< k1 n1 n k1 k1 xdx xdx ++ = = . 2) Ta có : n 0 n 3/2 3/2 0 22 xdx x n 33 == và n1 3/2 1 2 xdx [(n 1) 1] 3 + = + , do đó n 3/2 3/2 k1 22 nk[(n1)1] 33 = <<+ (*) a) Với n = 100 và n = 99 ta có : 100 k1 k666,6 = > và 99 100 k1 k1 k 666 666,6 k 666 10 676 == > < <+= b) Từ (*) 3/2 n 3/2 3/2 k1 21 2n1 1 k 33n nn = + << n 3/2 n k1 12 lim k 3 n = = . Câu IVb. 1) 2 17 Vh(BB'BB')ah 33 =++ = .Đờng trung đoạn d = += + 2 222 a1 ha4h 42 Vậy =+ + 22 toàn phần Sa(5a34ha). 2) Hình cầu đờng kính OO' = h tiếp xúc với 4 cạnh bên khi và chỉ khi h IJ (IJ AA' 2 = , I là tâm hình cần). Dễ thấy AIA' vuông ở I, do đó : 22 a IJ JA'.JA O' A'.OA 2.a 2 a 2 == = = . Từ đó : 2 2 h a 2 = h = 2a. 3) chỏm cầu S2Rh= . Ta có : CC1 1 CC2 2 a2 S h O'K JA' 1 2 ShOKJA 2 a2 == = = = . 4) 2 3 2 1 11 hhhh7h VhR 3329162 = = = , 3 33 21 4h h 10h VVV 32 162 81 = = = 11 11 kk kk kk kk x dx kdx k kdx xdx ++ <==< . đỷơng với 2 Ê 1+x + 1-x 4 Ê 2+2 1- x 2 1 Ê 1- x 2 không đỷợc nghiệm. Nếu - 1 Ê x<0,(1)tỷơng đỷơng với 2 1+ x + 1-x 1 1-x 2 đ ợc nghiệm. Vậy đáp số là - 1 Ê x Ê 0. 2) Vì a, b, c là độ dài. 2x 3 -x 2 -a=0 x 3 - x 2 - a 2 2 =0 ị x 3 - x 2 - a 2 2 =(x-x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ). Từ đó suy ra x 1 +x 2 +x 3 = 1 2 ,x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =0. Vậy : x+x+x 1 2 2 2 3 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 - 2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 )= 1 4 . Câu. (P). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Câu I. 1) Bạn hãy tự giải nhé! 2) x 1 ,x 2 ,x 3 là nghiệm của phỷơng trình 2x 3 -x 2 -a=0 x 3 - x 2 - a 2 2 =0 ị